1. Lisp ( List Processer : リスト処理言語 )

1.1 xlisp

1.1.1 xlisp の起動

1.1.2 xlisp の終了

1.1.3 xlisp を少し利用してみよう

[演習 1.1.1] xlisp を使って、123 + 567 の計算をしてみなさい。

[演習 1.1.2] xlisp を使って、123 * 567, 567 - 123, 567 / 123, 567 mod 123 をそれぞれ 計算しなさい。

[演習 1.1.3] xlisp を使って、1.23 * 5.67, 5.67 - 1.23, 5.67 / 1.23 をそれぞれ 計算しなさい。

1.1.4 複雑な計算

[演習 1.1.4] 123 + 567 * 89 の計算をしてみなさい。

[演習 1.1.5] 123 * 45 + 678 の計算をしなさい。

[演習 1.1.7] ( 123 + 567 ) * 89 の計算をしなさい。

[演習 1.1.7] ( 12 + 34 ) / ( 56 - 78 ) の計算をしなさい。

[演習 1.1.8] ( 3 - 5 * 6 ) / ( 1 + 2 ) の計算をしなさい。

1.2 lisp の言葉

[注意] 以下の説明では、所々、解り易さを優先するために、正確さに欠ける 表現が含まれている。詳しくは、各自、書籍や Web 等を当たって欲しい。
なお、この講義で、演習をするぶんには、以下の内容をとりあえず、信じて おいて構わない。

1.2.1 lisp での文字の種類

1. 空白 : 空白 ( 漢字は許されない : xlisp では、日本語は利用できない と思っていて欲しい。) は、一つ以上、いくつ並んでも、一つの空白と 同じ意味になります。
2. 括弧 : 左[開き]括弧 "(" と 右[閉じ]括弧 ")" は、常に対で利用 され、それぞれ単独で意味を持ちます。 "((" と書いてあった場合は、これは、飽くまでも、左括弧が二つある ものとみなされます。
3. 英数字 : 英数字は、次に述べる atom を作る材料になります。一般に 英数字の並び ( 途中に空白を含めずに、英数字を並べたもの ) が atom になります。
   なお、演算記号 ( "+", "-", "/", "*", "%" ) は、原則として、 英字と同じようにして扱われます。
   特に、数字 ( と、必要に応じて、負の符号を表す "-", 小数点を表す "." [ピリオド], あるいは、分数を表す "/" を一つだけ含めても良い ) を空白を入れず に並べたものは、「数」として扱われます。
4. クオート : シングルクオート記号 "'" は、単独で、特別な意味をもちます。 これに関しては、もう一度、「シングルクオート」のところで、説明します。 ので、ここでは、英数字、括弧、空白とは異なる種類の文字だということだけ を理解していてください。

1.2.2 atom (アトム)

1. 数値 atom : 数字ならびに、負の符号を表す "-", 小数点を表す "." (ピリオド), 分数を表す "/" だけからなる atom で、これは、数値を 表しています。
2. symbol atom : 英字から始まり、英数字または、演算記号からなる文字列 で、空白や括弧、シングルークオートを含まない文字列のことを言います。
   これは、一般に、「名前」として利用されます。

1.2.3 list (リスト)

list の定義 :
0 個以上の atom あるいは list を、空白を挟んで、 並べ、左括弧と右括弧で挟んだものを list と呼ぶ。
左括弧と右括弧の間にある、atom あるいは list を、 この list 全体の「要素」と呼び、その要素数を「list の長さ」 と呼ぶ。

1. "()" : 空リスト、左括弧と右括弧の間には何も入っていない、 特別なリスト(要素数が 0 )。
2. "( ringo banana mikan )" : 三つの atom [ "ringo", "banana", "mikan" ] を要素として持つ list
3. "( + 3 ( * 4 5 ) ) " : 二つの atom [ "+" と "3" ] と、 一つの list 要素 [ "( * 4 5 )" ] を含む list
4. "( (a b) (c d (e f)) )" : 二つの list 要素 [ "(a b)" と "(c d (e f))" ] からなる list 二つめの list は更に、list 要素を持っていることに注意。

1.2.3 S-式

1.3 lisp の式と計算

1.3.1 atom の値

1. 数値 atom : これは、それ自身の表す数値が、値となります。 実際、単に数値 atom を単独に入力して、改行すると、それそのもの が値として表示されます。
   ただし、分数の場合は、約分された結果が値となります。
2. Symbol atom : これには、更に次の可能性があります。
   1. 予約語 : 予め、値が決められている atom で、ここでは次の二つの 例だけを挙げておきます。
      1. T : 値は T で、これは、lisp の世界での 真偽値の「真[true]」を表します。
      2. NIL : 値は NIL で、これは、lisp の世界での 真偽値の「偽[false]」を表します。
   2. 予約語以外 : 予約語以外の symbol atom は、 「変数」と見なされます。
      「変数」の値は、設定されている場合と設定されていない場合が あり、設定されている場合は、その「設定されている値」が、 「symbol atom の値」になります。
      逆に、設定されていない場合は、 「誤り(error: unbound variable と表示される)」となります。 (任意の symbol atom に好きな値を割り当てる方法は、後述 )。

[演習 1.3.1] 次の数値 atom の値を求めなさい。

1. 1
2. -4/6
3. 1.00

[演習 1.3.2] 次の symbol atom の値を求めなさい。

1. T
2. NIL
3. PI
4. NandakaWakaranai
5. symbol-atom

1.3.2 list の値

括弧の内側から計算される

[演習 1.3.3] 次の list の値を求めなさい。

1. ()
2. (+ 1 2)
3. (mod 5 2)
4. (mod 5 2 9)
5. (1)
6. ((+ 1 2) 3 4)
7. (NandakaWakaranai)

1.4 変数への値の割り当て

[演習 1.4.1] 次の操作を順に行いなさい。

1. zzzz の値を求めなさい
2. (setq zzzz 123) としなさい
3. 再度 zzzz の値を求めなさい
4. (setq zzzz 567) としなさい
5. 再度 zzzz の値を求めなさい
6. (+ zzzz 2) の値を求めなさい
7. (+ zzzz (* zzzz zzzz)) の値を求めなさい
8. 一旦、xlisp を終了し、もう一度 xlisp を起動しなさい
9. 再度 zzzz の値を求めなさい

1.5 関数の定義

1.5.1 常に 1 を返す関数 one

[演習 1.5.1] 常に 10 を返す関数 ten を定義せよ

1.5.2 一つの引数を持ち、これに 1 を加えた値を返す inc

[演習 1.5.2] 実際に inc を定義し、次の値を計算しなさい。

1. (inc 1)
2. (inc 10)
3. n

[演習 1.5.3] 次のような一引数関数を定義しなさい。

1. 引数から 1 を引いた値を返す関数 dec
2. 引数の 2 乗を計算する squre

1.5.3 複数の引数を持つ関数の定義

[演習 1.5.4] 実際に add3 を定義し、次の値を計算しなさい。

1. (add3 1 2 3)
2. (add3 1 2 3 4)

[演習 1.5.5] 次のような関数を定義しなさい。

1. 二つの数の平均を計算する ave
2. 三つの数の積を計算する mul3

1.6 ファイルからの読み込み

[演習 1.6.1]

1. 「演習 1.5.5」で作成したファイルを、実際に load 関数を利用して、読み込み、確かに、動くことを 確認しなさい。
2. "fact.txt" を読み込んで、fact が利用できることを確認 しなさい。

1.7 論理演算と条件判定

1.7.1 真偽値を返す関数

1. 数値比較 : 数値の比較の結果を真偽値として返します。

   関数名	名称	引数の個数	関数の値
   =	等しい	2	2 つの引数の値が等しければ真[T]、そうでなければ偽[NIL](以下同様)
   /=	等しくない	2	2 つの引数の値が異なれば真[T]
   <	小さい	2	一つ目の引数の値が二つ目の引数の値より小さければ真
   <=	以下	2	一つ目の引数の値が二つ目の引数の値以下 ( 等しいか小さい ) ならば真
   >	大きい	2	一つ目の引数の値が二つ目の引数の値より大きければ真
   >=	以上	2	一つ目の引数の値が二つ目の引数の値以上 ( 等しいか大きい ) ならば真

2. 属性判定 : 引数の属性の判定結果を真偽値として返します。

   関数名	名称	引数の個数	関数の値
   zerop	ゼロ判定	1	引数の値が 0 ならば真
   numberp	数判定	1	引数の値の形式が数値形式ならば真
   plusp	正判定	1	引数の値が 正の数 ならば真
   minusp	負判定	1	引数の値が 負の数 ならば真
   null	NIL 判定	1	引数の値が NIL ならば真
   atom	atom 判定	1	引数の値が atom ならば真(*1)
   listp	list 判定	1	引数の値が list ならば真(*1)

   [注 *1 : NIL は、atom であると同時に、List でもある唯一の存在です。]
3. Symbol の比較 : 数値以外も比較可能です。

   関数名	名称	引数の個数	関数の値
   eq	同一性比較 ( identity )	2	二つ引数の値が同じ物ならば真(*2)
   equal	同一形式 ( equality )	2	二つ引数の値が同じ表現ならば真(*2)

   [注 *2 : この区別はし難いかもしれませんが、例えていえば、 「双子は、equal ( 同じように見える ) だが、eq ( 同一人物 ) ではない」 というところでしょうか..。
   一般に、eq なら、equal が常に成立するのですが、その逆は、成立するという 保証がありません。
   実際、atom は、equal なら eq が言えるのですが、 list の場合は、equal だからといって、eq が言えないことがほとんどです。 ( 偶然 言えることもありますが.. )。
   結論からいえば、「普通は、equal を使うのが無難」で、まあ、eq は使わないという ことでしょうか。 ]

[演習 1.7.1] 上記の関数に関して、成立する場合としない場合の例 を考え、実際に、その例を試してみなさい。

1.7.2 論理演算

[演習 1.7.2] 上記の関数に関して、成立する場合としない場合の例 を考え、実際に、その例を試してみなさい。

[演習 1.7.3] and や or に、全く引数を与えない場合にどうなるか を考え、その上で、実際に、xlisp での計算を行って、その 考えが正しいかどうかを確かめなさい。

1.7.3 条件分岐

[演習 1.7.4] 次の点を確かめなさい。

1. (+ 1 2 3) はどうなるか ?
2. (+ 1 NIL 3) はどうなるか ?
3. (+ 1 (+ 1 NIL) 3) はどうなるか ?
4. (if NIL (+ 1 NIL) 3) はどうなるか ?
5. (if T (+ 1 NIL) 3) はどうなるか ?
6. (and T (+ 1 NIL) 3) はどうなるか ?
7. (or T (+ 1 NIL) 3) はどうなるか ?

[演習 1.7.5] 引数が正の数かどうかを判定する関数 pos-num を作りたい。 すなわち、「引数が正の数ならば、T そうでなければ NIL を返す」とする。 この時、次の問いに答えなさい。

1. なぜ、関数 plusp では駄目なのだろうか ( ヒント : (plusp T) の結果は ? )
2. if, numberp, plusp を利用して、 pos-num を定義しなさい。

[演習 1.7.6] 絶対値の計算を行う関数 myabs を作りなさい。すなわち、 「引数が正の数ならそのまま、負の数ならその符号を変えたもの、そうでなければ 0 を返す」関数である。もちろん、数以外の引数が与えられた場合でも「エラーにならず、 0 を返す」ものとします。

[演習 1.7.7] myif という関数を次のように定義した
(defun myif (condition then else) ( if condition then else ) )
すなわち、「myif は、if の私家版」としたい。これは巧く行くだろうか ?

[演習 1.7.8] if と cond の関係を知るために、次の問いに答えなさい。

1. (if a b c) と書かれている場所を if の代わりに、cond を利用して、書き変えるとしたら、どのようにすれば良いか ?
2. [演習 1.7.5] の pos-num を、if の代わりに cond を利用して書き換えなさい。
3. (少し難しい)
   同様に、if, cond の代わりに、and と or の両方を利用して、pos-num を定義してみなさい。

[演習 1.7.9] 二番目の引数の値によって、挙動を変える次のような関数 mcalc を定義しなさい。

1. 引数は 3 つで、いずれも数である。
2. 最初の引数はと三つめの引数は任意の数が入り、これが計算の対象となる。
3. 二つ目の引数は、整数で次のような意味がある。
   1. 値が 1 の時、関数の値は、一つ目と三つ目の和になる。
   2. 値が 2 の時、関数の値は、一つ目と三つ目の差になる。
   3. 値が 3 の時、関数の値は、一つ目と三つ目の積になる。
   4. 値が 4 の時、関数の値は、一つ目と三つ目の商になる。
   5. その他の時、関数の値は、0 になる。

1.8 関数の定義(その 2)

1.8.1 定義した関数の呼び出し

[演習 1.8.1] 「演習 1.7.9」を次のような形で実現する。

1. まず、次の 4 つの関数を作りなさい。
   1. myadd : 引数は二つで、足し算を行う。ただし、 + とことなり、引数に数以外が指定されたら 0 と とする。
   2. mysub : 引き算。後は、myadd に同じ
   3. mymul : 掛け算。後は、myadd に同じ
   4. mydiv : 割り算。後は、myadd に同じだが、 0 で割り算をしても、結果を 0 とする。
2. 上記の 4 つを利用して、「演習 1.7.9」と同じ機能 の mcalc2 を作れ。

1.8.2 再帰呼び出し

[演習 1.8.2] 次の定義を打ち込み、何がおきるかを 考えなさい。

1. 階乗を計算する関数 fact の定義は次のようになる
   (defun fact (n) (if (plusp n) (* n (fact (- n 1))) 1 ))
2. 次の計算をしてみなさい。
   (fact 6)

[演習 1.8.3] 一つ前の演習を参考に、階和を計算する 関数、sum を定義しなさい。

[演習 1.8.4] 二つの引数の最大公約数を計算する gcm を 定義しなさい。

2. list 処理

2.1 quote

[演習 2.1.1] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。

1. (setq a 1)
2. a
3. 'a
4. (add 1 2)
5. '(add 1 2)
6. (atom (add 1 2))
7. (atom '(add 1 2))
8. (listp (add 1 2))
9. (listp '(add 1 2))

2.2 list 処理の基本関数

1. car : list の先頭の要素を返す。 この結果を元の list の 「car 部」と呼ぶ。
2. cdr : list の先頭の要素を取り除いた残りの部分を返す。 この結果を元の list の 「cdr 部」と呼ぶ。
3. cons : 二つの引数 ( 二つ目は list ) を持ち、 最初の引数を car 部、二つ目の 引数を cdr 部に持つ list を作る。

1. (car (cons X L)) = X
2. (cdr (cons X L)) = L
3. (cons (car L) (cdr L)) = L

2.2.1 car

[演習 2.2.1] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。

1. (car '(a b c))
2. (car '(a))
3. (car NIL)
4. (car 'a)
5. (car '(add 1 2))
6. (car (add 1 2))
7. (setq l '(x y z))
8. (car l)

2.2.2 cdr

[演習 2.2.2] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。

1. (cdr '(a b c))
2. (cdr '(a))
3. (cdr NIL)
4. (cdr 'a)
5. (cdr '(add 1 2))
6. (cdr (add 1 2))
7. (setq l '(x y z))
8. (cdr l)

[演習 2.2.3] car と cdr を用いて、次のような関数を定義しなさい。

1. list の最初の要素を取り出す関数 ( つまり car と同じ ) first

   (first '(a b c)) の結果は a

2. list の二番目の要素を取り出す関数 second

   (second '(a b c)) の結果は b

3. list の三番目の要素を取り出す関数 third

   (third '(a b c)) の結果は c

2.2.3 cons

[演習 2.2.4] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。

1. (cons 'a '(b c))
2. (cons 'a NIL)
3. (cons '(a b c) '(d e f))
4. (setq l '(x y z))
5. (car (cons 'a l))
6. (cdr (cons 'a l))
7. (cons (car l) (cdr l))
8. (eq l (cons (car l) (cdr l)))
9. (equal l (cons (car l) (cdr l)))

[演習 2.2.5] car, cdr, cons を用いて次のような関数を定義

1. 二つの引数を持ち、その二つの要素からなる list を作る pair

   (pair 'a 'b) の結果は (a b)

   (pair '(a b c) '(x y z)) の結果は ((a b c) (x y z))

2. 二つ以上の要素を持つ list の最初要素と二番目の要素を交換する 関数 exchange

   (exchange '(a b c)) の結果は (b a c)

2.3 list 処理と再帰呼び出しのパターン

1. list は、NIL でない限り、car 部とcdr 部の二つに分けられる
2. cdr 部は再び list になる (ので、再帰呼び出しが使える)
3. car 部の処理をどうするかで、結果が異なる。

2.3.1 走査型

1. もし、引数が NIL なら、走査は失敗したので NIL を返す
2. そうでなければ、car 部を調べる
   1. car 部が求めるものなら、走査終了、結果を返す。
   2. そうでなければ、 cdr 部を探す ( 再帰呼び出し )

[演習 2.3.1] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。inatom は、list の要素に atom があるか どうかを調べ、 atom があれば、その atom を、そうでなければ、NIL を返す関数である。

1. (defun inatom (L) (if (NULL L) NIL (if (atom (car L)) (car L) (inatom (cdr L)))))
2. (inatom '( (a b) c (d e) ) )
3. (inatom '( (a b) x (d e) y ) )
4. (inatom '( (a b) (d c f) (d e) ) )

[演習 2.3.2] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。関数 memberp は、二つの引数もち、 一つ目の引数が、二つ目の引数である、list に要素として含まれている かどうかを判定し、含まれていれば T そうでなければ NIL を 返す関数である。

1. (defun memberp (X L) (if (NULL L) NIL (if (equal X (car L)) T (memberp X (cdr L)))))
2. (memberp 'c '( (a b) c (d e) ) )
3. (memberp 'c '( (a b) x (d e) ) )
4. (memberp 'c '( (a b) (c) (d e) ) )

[演習 2.3.3] 次のような走査型関数を定義しなさい

1. inlist : 一つの list を引数とし、その list の要素に list が 含まれていれば、T そうでなければ NIL を返す関数
2. inplus : 一つの list を引数とし、その list の要素に 正の数が 含まれていれば、T そうでなければ NIL を返す関数
3. ingt : 二つの引数を持ち、一つ目は、数、二つ目は、数の list とする。 この関数は、二つ目の引数の list の中に、一つ目の 引数より大きな数があれば、その値を返す。そうでなければ。一つ目の 数を返す。
4. memberpp : 二つの引数を持ち、二つ目は list の list とする。 memberpp は、二つ目の list の要素 ( これは、list である ) の内 一つ目の要素を含む list があれば、それを返す。そうでなければ NIL を返す。
   [ヒント:memberp を利用してよい]

2.3.2 累積型

1. もし、引数が NIL なら、定値を返す
2. そうでなければ、
   1. car 部を処理する
   2. cdr 部を処理する ( 再帰呼び出し )
   3. car 部の処理結果と cdr 部の処理結果を合わせた処理をし、全体の結果とする

[演習 2.3.4] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。関数 alladd は、数の list を引数と し、その数の値を全て加えた結果を返す。

1. (defun alladd (L) (if (NULL L) 0 (+ (car L) (alladd (cdr L)))))
2. (alladd NIL )
3. (alladd '(1 2 9 10) )
4. (alladd '(9) )

[演習 2.3.5(mapcar 型)] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。関数 mapsquare は、数の list を引数と し、要素をすべて二乗した結果の list 返す。

1. (defun mapsquare (L) (if (NULL L) NIL (cons (* (car L) (car L)) (mapsquare (cdr L)))))
2. (mapsquare '(2 3 5 9) )
3. (mapsquare NIL )

[演習 2.3.6] 次のような累積型関数を定義しなさい

1. listlen : 一つの list を引数とし、その要素数を数える
2. maxpnum : 正の数からな list を与え、その中で最大の要素を返す
3. allmul : 数の list を与え、その要素を全て掛けた結果を返す関数
4. allcar : list の list を与え、その各要素の一つ目要素からなる list を返す。
   (allcar '( (a b c) (e f g) (x y z))) = (a e x)
5. mulv : 二つの引数を持ち、一つ目は、数、二つ目は数の list とする 結果は、二つ目引数の各の要素に、一つ目数をそれぞれ掛けた結果の list とする。
   (mulv 3 '( 1 2 3 4 ) ) = (3 6 9 12)
   これは、list をベクトルとしてみたときの定数倍に相当する。
6. addv : 二つの引数を持ち、ともに同じ数の要素を持つ 数 list とする。 結果は、二つの引数のそれぞれ n 番目同士の要素の和を結果とする list になる。
   (addv '(3 4 5) '(10 20 30) ) = (13 24 35)
   これは、list をベクトルとしてみたときのベクトルの和に相当する。
7. prodv : addv と同様で、ベクトルの内積を計算する。

2.3.3 順累積型

1. 順累積型は、main 関数と sub 関数の二つからなる。
2. main 関数は、sub 関数に、引数が NIL のときの値と その他の引数全てを sub 関数に与える。
   この main が渡す値を累積値と呼ぶ
3. sub 関数は次のような再帰で定義する
   1. もし、引数が NIL なら、累積値を返す
   2. そうでなければ、
      1. car 部を処理する
      2. car 部の処理結果と累積値の処理結果を求め、 新しい累積値とする。
      3. 新しい累積値を利用して cdr 部を処理する ( 再帰呼び出し )

[演習 2.3.7] 次の入力を行い、どのような結果が表示 されるかを確認しなさい。関数 revlist は、list の要素を の順を逆順にした結果を返す。

1. (defun revlist (L) (revlistsub NIL L)
2. (defun revlistsub (V L) (if (NULL L) V (revlistsub (cons (car L) V) (cdr L))))
3. (revlist NIL )
4. (revlist '(a b c))
5. (revlist '((a b)(c d)(e f)))

[演習 2.3.8] maxnum : 少なくても一つの要素を含む数の list を与え、 その中で最大の要素を返す関数を定義しなさい。

[演習 2.3.9] 行列の計算をする関数群を考え、定義しなさい。

3. 小さな application 例

3.1 データ表現

3.1.1 ベクトルの表現

[注意] 縦ベクトルと横ベクトルを区別して 扱いたい場合は、何らかの表現が必要になります。 ここで、重要なことは、それを表現する規則を自分なり に決めて統一的に扱うことです。
例えば、三つの要素が 3, 4, 9 の三次元縦ベクトルを (v 3 4 9) で表し、同じ要素をもつ横ベクトルを、 (h 3 4 9) で表す ( つまり、最初の要素が v なら 縦、 h なら横と考えます ) とします。そうすれば、 縦ベクトルと横ベクトルは、異なる表現になるので、 区別して扱うことが可能になるわけです。

[演習 3.1.1] 縦ベクトルの和を計算する関数 vadd に 関して、次の作業を行いなさい。

1. matrix.txt に、vadd が定義されているので、 load を利用して、これを読み込みなさい。
2. 二つの 3 次元縦ベクトル (1 2 3) と (4 5 6) の 和を vadd を利用して計算しなさい。具体的には、 次の式を入力しなさい。
   (vadd '(1 2 3) '(4 5 6))

[演習 3.1.2] ベクトルのスカラー倍を計算する sprod を 定義しなさい。
(sprod 3 '(3 5 9) ) の結果は、(9 15 27)

[演習 3.1.3] もし、縦ベクトルと横ベクトルを、それぞれ ( v x1 x2 x3 ), ( h x1 x2 x3 ) のように、先頭の要素で 区別した形で、表現するとしたとき、それに対応したベクトル の和を計算する vvadd, hvadd をそれぞれ作成しなさい。
(vvadd '( v 1 2 3 ) '( v 4 5 6 ) ) の値は ( v 5 7 9 )
(hvadd '( h 1 2 3 ) '( h 4 5 6 ) ) の値は ( h 5 7 9 )

3.1.2 行列の表現

[演習 3.1.4] 行列の和を計算する madd を考え、定義しなさい(ヒント: vadd を利用)。
(madd '( (1 2 3) ( 4 5 6) (7 8 9) ) '( (1 -1 2) ( 2 1 -2) (-3 0 2))) の値は ((2 1 5) (6 6 4) (4 8 11))

[演習 3.1.5] 行列と縦ベクトルの積を計算する mvprod を考え、定義しなさい(ヒント: vprod を利用)。
(mvprod '((1 2 3)(4 5 6)(2 2 2) '(1 -1 2)) の値は (5 11 4)

[演習 3.1.6] 行ベクトルの list で表現されている行列 を、列ベクトルの list に変換する trans について、 次の問いに答えなさい。

1. list の list が与えられたときに、各要素の car 部 だけを集めて作られる list を返す関数 carlist を 定義しなさい。
   (carlist '( (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9))) の結果は、 (1 4 7)
   この関数は、行列の最初の縦ベクトルを求める ことに、注意しなさい。
2. list の list が与えられたときに、各要素の cdr 部 だけを集めて作られる list を返す関数 cdrlist を 定義しなさい。
   (cdrlist '( (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9))) の結果は、 ((2 3) (5 6) (8 9))
   この関数は、行列の最初の縦ベクトル取り除いた 行列を求めることに、注意しなさい。
3. 上記の carlist, cdrlist を利用して、trans を実現 しなさい。
   (trans '( (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9))) の結果は、 ((1 4 7) (2 5 8) (3 6 9))
4. trans を二回適用するとどうなるかを考えなさい。
   (trans (trans '( (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9))))
   の結果は、どうなるだろうか ?

[演習 3.1.7] 行列の掛け算を計算する mprod について、 次の問いに答えなさい。

1. 最初の引数が、行ベクトルの list, 二つ目の 引数が、列ベクトルの list で表現されている 二つ行列の積を列ベクトルの list の形で求める 関数 mprodsub を考えなさい(ヒント: mvprod を利用)。
   (mprodsub '( (1 2) (3 1) ) '((5 6) (-1 1))) の結果は、 ((17 21) (1 -2))
2. mprodsub と trans を組み合わせれば、mprod が 完成できる。実際に mprod を定義しなさい。
   (mprod '( (1 2) (3 1) ) '( (5 -1) ( 6 1 ) ) ) の値は、 ((17 1) (21 -2))

3.2 行列の application

3.2.1 ガウスの消去法

1. ある行に 0 でない数を掛ける
2. m 行から n 行 ( m 以外 ) に定数を掛けた数を引く
3. m 行と n 行を入れ替える

1. 与えられた行列と同じ次元の単位行列を用意する
2. 前進消去を行う。その際に、同じ操作を、単位行列にも 適用する。
3. 前進消去に成功したら、後退消去を行う。 その際にも、同じ操作を、単位行列にも適用する。

3.2.2 行列を操作するための基本関数

[演習 3.2.1] 行列を操作するための基本関数として、 次の三つの関数を定義しなさい。

1. 行列 a の n 行目横ベクトルを返す関数 (nraw a n)
   (nraw '((1 2 3) (3 5 6) (7 8 9)) 2) の結果は (3 5 6)
   (nraw '((1 2 3) (3 5 6) (7 8 9)) 1) の結果は (1 2 3)
2. 行列 a の n 行、m 列の要素を返す関数 (nmelm a n m)
   (nmelm '((1 2 3) (3 5 6) (7 8 9)) 2 1) の結果は 3
   (nmelm '((1 2 3) (3 5 6) (7 8 9)) 1 2) の結果は 2
3. 行列 a の n 行目横ベクトルを v に変更した結果を 返す関数 (nreplace a n v)
   (nreplace '((1 2 3) (3 5 6) (7 8 9)) 2 '(0 0 0)) の結果は ((1 2 3) (0 0 0) (7 8 9))
   (nreplace '((1 2 3) (3 5 6) (7 8 9)) 3 '(0 0 0) ) の結果は ((1 2 3) (3 5 6) (0 0 0))

[演習 3.2.2] ガウスので利用する三つの基本操作を行う 関数を定義しなさい (ヒント:上記の nraw, nreplace を利用しよう..)。

1. 行列 a の n 行目を c 倍する関数 (ncprod a n c)
   (ncprod '( (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9) ) 2 3) の結果は ((1 2 3) (12 15 18) (7 8 9))
2. 行列 a の n 行目から m 行目の c 倍を引く (nmcsub a n m c )
   (nmcsub '( (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9) ) 3 1 7 ) の結果は ((1 2 3) (4 5 6) (0 -6 -12))
3. 行列 a の n 行目と m 行目を交換する (nmchange a n m)
   (nmchange '((1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)) 1 2) の結果は ((4 5 6) (1 2 3) (7 8 9))
   (nmchange '((1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)) 3 2) の結果は ((1 2 3) (7 8 9) (4 5 6))

3.2.3 単位行列

3.2.4 対処理

1. 二つの要素 a, b の対を保持するデータ構造を考える、具体的には、 これを、a, b をそれぞれ、第一要素、第二要素に持つ、長さ二の list で表現することにします。すると、次のような三つの関数を作ることが できます。
2. (makepair a b) : a と b の対を作る。
   (makepair '(1 2) '(3 4)) の結果は、 ( (1 2) (3 4) )
3. (pair1 p) : a と b の対 p の最初の要素 a を取り出す。
   (pair1 '((1 2) (3 4)) ) の結果は、 (1 2)
4. (pair2 p) : a と b の対 p の二つ目の要素 b を取り出す。
   (pair2 '((1 2) (3 4)) ) の結果は、 (3 4)

[演習 3.2.3] 上記の makepair, pair1, pair2 を定義しなさい。

3.2.5 後退消去

[演習 3.2.4] 次の、上三角行列の逆行列を求めなさい。また、それが本当に、 逆行列になっているかどうかを確認しなさい。

1. ( (1 2) ( 0 1 ) )
2. ( (1 2 3) (0 1 2) (0 0 1) )
3. ( (1 2 3 4) (0 1 2 3) (0 0 1 2) (0 0 0 1) )

3.2.6 前進消去

[演習 3.2.5] 様々な行列の逆行列を計算してみなさい。