2003/04/22

数の表現

	数 0-9 は、記号と対応させてある
		対応関係は任意
			現実の世界では、一つのルールが (たまたま) 採用

		十は、桁上げをする

	2 進法
		0-1 までを記号 ( Switch の on/of ) に対応付け
		二は、桁上げをする

		Why ?
			半導体で、十進法を実現することはできる
				例
					電圧を 10 段階で...
			=>
				安定性に問題
					温度の影響を受けやすい
					=>	特性を安定させるにはコストが..

			(計算機を作りはじめた頃の..) 技術では 2 進回路位
			しか、安定に提供できなかった
				電流が流れているかいないか..
				2 進 ( on/off ) の組合せで、大きな数を..
					=>	現在の形式

				on  <-> 1
				off <-> 0
					対応付けを行う ( 物理から情報へ .. )
					# この対応は、常に成立するわけでなく
					# 0/1 が反転したり、電圧で表現したり
					# することがある。
					## 世界によって違う

				0/1 が区別できる最小の情報単位が bit


	情報の記憶

		CMOS 回路


計算機で扱う情報 ( の基本単位 ? )
	整数 ( 16/32/64 bit )
	浮動小数点数 ( 32/64/128 bit )
	文字
	絵、

	整数 ... ( 計算機で扱う「整数」は、数学的な整数の近似.. )
		数学の「整数」は、無限
		計算機の「整数」は、有限桁
			i.e. 32bit
				この「有限性」が色々とやっかい
					=> オーバーフロー !!

				自分のオケットマネーなら問題ない
				国家予算だと問題

				# 条件さえ整えば、区別する必要はない。
				#	=> 条件が整っているかを判断すること !!

		整数の 2 進表現
			32 bit 整数 : 32 個の bit (on/of) が並んでいるもの
			一つの bit は二つの状態 ( on/off .. 0/1 ) が表現可能
				32 bit 整数は 2^32 個の状態が表現できる

                                          233
				      01..901

				      00..000
					..
				      11..111

			例 ( 3 bit 整数 : 正の数 [ 韭負の数 ] )

			   000		0
			   001		1
			   010		2
			   011		3
			   100		4
			   101		5
			   110		6
			   111		7

			bit パターンと整数の対応関係 ( の例 )
			    => 対応関係は自由

			32 bit で表現可能なパターンと
			整数の集合 ( 2^32 個 ) の対応関係を考える
				=> 色々ある

			例 3 bit は 8 個しか、区別できない
				=> 対応方法は色々ある。

				0 - 7 に対応 (一つの例)

				1 - 8 に対応させるという手もある

				-4 から 3 も Okey
					# 0 は正負がない..

				-3 から 4 も Okey
					# -2 から 5 でも良い..

	文字
		数は、「計算」の都合で、ある程度「自然」な対応が生れる
		文字の方法の対応は、本当に自由
			例 ASCII (JIS) Code
				=> 通信系なので、パターンがちょっと変
					=> 歴史をしらないと..

計算機の「表現」
	N bit あれば 2^N の状態が区別できる
		それらを何に対応させるか ?
			# 対応の方法を「表現」と呼ぶ


「整数」の表現例 ( 3bit で.. )
	自然数はまあ、問題ない...
	負の数は ?

		[案 1 : 絶対値表現]

			符号を表現する bit を用意する

				+/- 十 一

				0   0   0	+00	0
				0   0   1	+01	1
				0   1   0	+10	2
				0   1   1	+11	3

				1   0   0	-00	-0
				1   0   1	-01	-1
				1   1   0	-10	-2
				1   1   1	-11	-3

			素直だが..
				=> -0 が ( 0 が二つ.. ) 出てしまう...
					# 歴史的にある。IBM 709 真空管計算機
					#	=> Fortran が最初に載った
					# 7090/7094/7040/7044 トランジスタ

			=> 廃れた..
				演算回路を作るのが大変だった (当時の技術)

				例 和差の計算
					演算対象の符号によって、区別する必要がある
						回路が増える
							コストが増える
							故障率が増える


	演算回路を簡単にしつつ、かつ、負の数を表現するには ??
		2 の補数表現
			=> 原理
				整数が有限であること
				負の数の定義 ( 逆元 )

			回路の都合を考えるなら..
				回路はまず確定する
					その回路で、負の数として振舞うもの
						それを負の数だと思う
						-a は a を加えると 0 のもの..

				0   0   0		0
				0   0   1		1
				0   1   0		2
				0   1   1		3
				1   0   0		-4
				1   0   1		-3
				1   1   0		-2
				1   1   1		-1

		a の bit パターンから -a のビットパターンを作る手順
			1) 0/1 を反転
			2) 1 を加える

		加算回路と 0/1 反転 (これは凄く簡単) だけで、減算も可能
			# この加算は符号なしと同じ回路 !!

			=> 絶対値表現では、こんなに簡単ではない..

	[1 の補数表現]もある.. ( CDC 6600 .. 当時の Super Computer )
		0/1 を反転だけ..

==

# 来週の話

	整数は固定小数点演算と考えると...