前期最終日

まとめ

これまでやったこと
	計算機の内部 ( 本来の講義と関係ないが、知っていると理解が進む.. )
		内部表現
			整数
				二進法で表現されている。
					十進数との違いを理解
					0/1 だけで表現できる
						論理回路との関係
			浮動小数点数
			文字
		計算機の動き
			エラーが生じた時の対処方法

	方程式を解く ( Main )
		解法の種類
			直接法
				解の公式を利用する
					手順が決っており、有限 Step で終了する
						=> 必ずあるとは限らない
			反復法
				与えられた方程式に基いて、解を推定する。
					推定解の改良(変形)を繰り返す
						繰り返す回数が決っていない

		非線型方程式
			# 問題としては難しいが、解法は簡単 ( なものしかない )
			反復法のみ
				二分法
					f(a)f(b)<0 となる a, b から始めて..
					区間を詰めて行く.. ( 一次収束 )
					# この a, b を求めることが実は難しい
				ニュートン法
					微係数の情報を利用する
						速い ( 二次収束 )
						# 最初の一桁が遅い
					# 解がでないこともある..

			代数方程式の解法
				n 次式なら n 個解
					ただし、複素数

		線型方程式
			直接法
				ガウスの消去法のみで Okey
				LU 分解は、ガウスの消去法の手順を記憶して再利用する方法

			反復法 ( スパース行列を解く場合に利用 )
				ヤコビ法
				ガウス=ザイデル法
					# この二つは殆ど親戚
					対角優位な行列に適用する。

				a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
				a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
				a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
					より
				x1 = 1/a11 { b1          - a12 x2 - a13 x3)
				x2 = 1/a22 { b2 - a21 x2          - a23 x3)
				x3 = 1/a33 { b3 - a31 x1 - a32 x2         )
					とする ( ヤコビ )

				SOR 法
					ガウス＝ザイデルの修正量Δx を
					w 倍する ( 0 < w < 2 )

				CG 法
					n step で解ける

「講義の目的」

数値計算の over view を眺めてもらう
	=> 細かい内容はふれない
		=> 必要になったら、細かい処は自分で調べる。

	数値計算を専門にすると、利用されるのは、全体の一部
		それぞれ細かくやっても役に立たない ( し、時間的に難しい )
			全体の概要を理解してもらうことが目的

==

数字と数値 ( 数の表現 )
	どの数字がどの数値を表しているかは本質的でない
		表現と値に 1-to-1 の関係があればよい

	負の数の表現
		負号 bit を設ける
			=> 絶対値表現 ( i.e. IBM 7090 )

		二の補数表現
			a + (-a) = 0 であることを
			数の範囲は有限

			逆元をどう定義するか ?
				a が n bit で表現されているとき
					-a = 2^n - a
				で定義。

浮動小数点数
	(符号部と..) 仮数部と指数部からなる
		=> 長さのバリエーションがいくつかるが...
			IEEE が普通
				1+8+23