2003/09/30

前回から、固有値の話
	今週は、対称行列
	来週は、非対称行列

	# 一般に、対称行列の方が、非対称行列が難しい。

固有値問題も対称行列と非対称行列の二種るいがある。
	対称行列
		ヤコビ法
		G法, H法 
	非対称行列
		べき乗法 
		...

	問題はもちろん、対称行列の方が簡単な問題なのだが、
	解法としては、べき乗法 ( つまり、非対称行列の方法 ) の方が簡単
		# 条件が多い方が、問題を解くには、簡単だが、
		# 解法は、その条件を考慮して作られるので、複雑になる。

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固有値問題の形式
	A x = \lambda x

	# 前期にやった方程式の解法は..
	#	A x = b
	# 右辺に、x が現れるかどうかの違いでしかない。
	#	# その違いがおおきいのだが...

	方程式の解法では、A を書換えて、在る特別な形に
	変換できたことを「解ける」と呼ぶ。
		# この時に、「書き換え」が方程式の根を変えないことが本質

	固有値問題に関しても、同様で、A を書換えて、対角化すればよい
		ポイントも同じく、その変換が固有値を変えない
			=> 相似変換 ( ほぼ、座標回転とみなしてよい.. )
				# ベクトルのエネルギーを変えない変換

		# 図形的には、
		#	二次元の対称固有値問題は、楕円で表現され、
		#	その長軸と単軸の長さが答
		#		=> 回転して軸に合せれば、x, y 軸の長さになる
		#			=> ヤコビ法

	ヤコビ法で、
		一つの操作をすると、一つの要素をゼロとできる
			次の操作で、戻ってしまう可能性がある。
				しかし、戻っても絶対値は、小さくなる
					その要素のエネルギーが対角要素に移るので...
				非対角要素の絶対値が十分に小くなれば Okey

	ヤコビ法では、反復回数を予想することはできない
		行列によって、反復回数が異なる。


	ヤコビ法の欠点 ( 連立方程式の解法に比較して.. )
		反復回数が確定しない
		常に、行列全体を扱う必要がある。
			なんとか ( 連立方程式の解法のように.. ) ならないか.. ?

	# ある工夫をすると..

	三重対角行列 ( 対称の場合、非対称の場合は上三角はゼロにならない.)
	までは、座標回転だけで確定的 ( 一定回数で.. ) に行うことができる
		=> ギブンス法
		   ハウスホルダー ( 鏡像変換 ) 法
			# 本質的には、同じ手法

	## 基本的に、操作の順を工夫しているだけ... ?

		これは、まだ、解けていないので、更に解く必要がある
			=> 何が嬉しい ?
			   三重対角行列なら、その要素 ( 3n しかない.. )
			   だけを対象に計算すれば済む

			バイセクション法
				# 固有値のは、ある代数方程式の根
				# その固有値を二分法で求める。
			QR 法 ( LR 法... )

			# 固有値の参考文献 戸川隼人「行列計算」
	
			この二つの解法は、実は、密行列でも適用可能だが
			演算量が多い
				三重対角行列程に要素数を減らさない、話にならない

		# 512M memory なら 6000 の行列が計算できる
		#	full -> 三重対角 ( n^2 -> 3n ) 
		# の書き換えによって 2000 ( 6000/3 ) 倍の効率

	解法の違い ( 基本は、相似変換の繰り返し !! )

		ヤコビ法
			素直で扱いやすい

					 ( 非対称の場合は、ヘッセンベルグ行列 )
		密行列 ----------------> 三重対角行列 ----------> 答
			ギブンス			二分法
			ハウスホルダー			QR 法		

			組合せは自由 ( 2 x 2 = 4 )
				対称行列の場合、二分法の方が簡単
				非対称行列の場合、QR法の方が簡単

			# 組合せで作成することが Point !!

	# 非対称行列の場合
	#	固有値と固有ベクトルが同じ組があると、三重対角にできない
	#		=> 同じ組の個数だけ四重対角、五重対角になる
	#			# 伊理先生、かん先生
	#	物理的な性質をもつ行列では、「保存則」が成立するので、
	#		# 固有値が互いに異り..
	#	かならず、三重対角化できる。
	#	# このような変な例は、「線型代数」を参照

	## 理論的には、全く 0 にできない場合もありそうだが.. 解らない
	## 四重対角になる例は ( 数学的には.. ) 簡単に作れるが..


	# 今回は、QR 法の詳細には入らない。
	#		     LINPACK
	#	ライブラリ ( EISPACK : アウスパック ) があるので、そこから入手
	#		=> netlib site ( このような Library を収集している )
	#		=> phase site ( 日本の mirror )
	#	by アルゴンス国立研究所 ( ジャック・ドンガル )
	# 全体の流れと利用法を理解しておくことの方が大事

	## 世の中には、ひどいライブラリがあるので注意 !!
	##	LINPACK/EISPACK は Okey

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課題の提出

	「ヤコビ法」09/30 日の日付で、提出は、10/13 日まで
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偏微分方程式の解法の為に ..
	Excel を利用するので、ちょっと、勉強しておいてください。

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次回
	べき乗法
		# 行列をかけるだけ...

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programming は、「作文」
	自分の思っていることが、プログラムなっているとはかぎらない

	生き残っているプログラミング言語.. ( Fortran/C )
		ハードウエァにデペンド	   
		分割コンパイルできる..
			but.. モジュール間チェックができないことが問題