2003/10/21

是まで三日日、固有値をやった。

この後は、最後のトピックを除けば、ほとんどは、補間法の応用と言える。

本日は、補間法について

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実験を行うと、有限個の観測点での値が得られる ( これが、関数関係にある
と仮定して.. )。

	観測点でない点での値を予測したい
		観測点での値の値を利用して予測する。
			=> 補間法

		一番単純な場合
			関数関係が一次式だと思う
				線型(一次)補間
		( 観測点が、3 個以上であるとして.. ) 二次式だと仮定
			二次補間

		一般に、n 個の観測点が与えられれば、それを通る n -1 次
		多項式が得られる。
			n 次補間

	関数電卓がなかったころ..
		関数表を調べ、線型補間法で、欲しい値を求めた。

	# 他にも、積分、微分にも、この考え方が応用できる。
	# 本日は、関数補間。

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n 個の観測点が与えられたときに、その点を通る n -1 次多項式を求めるには
どうするか ? ( 多項式近似 )

	2 点の場合
		=> 直線の方程式
			y - f(x_0) = \frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}(x - x_0)

	3 点の場合
		二次式なので、
			y = f(x) = A x^2 + B x + C
		とし、観測点の値
			(a, y_a), (b, y_b),(c, y_c)
		を代入すればよい。
			y_a = A a^2 + B a + c 
			y_b = A b^2 + B b + c 
			y_c = A c^2 + B c + c 
		が成立するので、これから、未知数 A, B, C に関する連立
		方程式を解けば良い。

	# 観測点の外側は、「補外」と呼ぶことがある。
	#	他項式近似の場合、「補外」は、精度が悪い場合がある。
	#		特別扱いが必要な場合が...


	一般に、n の場合も、理論的には、拡張できるが...
		=> 数値計算的な落し穴

		x^n という数は、非常に大きな数になる..
			( n = 100 の時 x = 10, 10^(-1) では、
			係数値が、10^{200} 位の差になってしまう.. )
			# 絶対値の大きい数の差を計算すると ( 桁落ちが生れて.. )
			# 数値計算が不安定になる。

		=> 係数行列が数値計算的に難しいものになる。
			# 上手にスケーリングできれば良いのだが..
			#	一般には、難しい

	ではどうする ?

		Text p.98 ラグランジェ補間

		観測点の 一点の x の値でのみ 1 になり、他の観測点では、
		0 となる関数を考える。

			観測点の x 座標が x_1, .., x_n の時
				g_i(x_j) = \delta_{ij}
			となる関数があるとする。	

			# これは、正規直交係になっている。
			#	f, g の内積は、\Sum_{i=1}^n f(x_i) g(x_i)
			# で定義する。

			この関数を組合せると、求める補間多項式が得られる。
				y_i = f(x_i)
			の時、
				F(x) = \Sum_{i=1}^n y_i g_i(x)
			とすれば、これは、求める関数。
				# つまり..
				#	F(x_i) = y_i
				# となっている。

			# 問題は、g_i(x_j) をどうやって、求める ?
			# 求められるだけでなく、数値計算的にも問題ないか ?

				\phai(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)
			は、観測点 x_1, .., x_n で 0 になる。

			そこで、
				g_i(x) = \lim_{ t \rightarrow x_i } \frac{\phai(x)}{\phai(t}}\frac{(x_i-t)}{(x-x_i)}
			とすれば Okey

			この g_i は、(数値的にも..)簡単に計算できる。

		# なぜ、素直に連立方程式を求めるとだめなのに、これは Okey ?
		#	式が (x_n - x_{n-1}) の形のものの積
		#		それほど、絶対値が大きくならない
		#			# 普通は、x_i が sort されている
		#			=> 数値計算的に、安定する。

		## 結局、計算機で表現できる数値範囲が有限だから。
		##	=> 無限に表現できれば ( つまり数学的には.. )
		##		どちらの方法も結果は同じ。

		## 数値計算の場合は、 「表現できる数値範囲が有限」であ
                ## ることを意識する必要がある点が難しい。


		g_i(x) は、直交基底
			# 旨い方法... !!

			# 与えられた解を求めるのに、「自分に都合の良い
			# 関数を考え、その関数から、求める解を構成する」
			# という考え方は重要 !!

		直交基底を用いる方法は、色々な応用がある。
			# フーリエ変換など..

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実験の結果から法則を導くには ?
	観測結果には、誤差が入っている。
		n 点の観測点を用いて、n -1 次の多項式近似をしても意味がない
			現象をそのものを観測するのではなく、「誤差」観
			測していることになる..

	多項式の問題点
		# 次数が高くなると..
		内点の場合は、観測点で抑えられるため、精度が高い
			外点の場合は、「暴れる」ことがある。
				# 精度がすぐに悪くなる..


	多項式近似では、n 点の観測点で、n-1 次式が決り、次数が簡単に増大する
		=> 暴れる原因

	なぜ、次数が多くなる
		全ての区間を一つの式で表現している
			=> 区分を分割すれば、( 個々の区分では.. ) 観測点が減る
				=> 次数がへる。

		関数を区間的に近似する考えかた
			=> スプライン補間

		n 次スプライン補間
			n + 1 個の未知数
				n 点と、両側との微分係数が一致するようにする
					=> 滑かな接続が可能 ( 解析接続 ? )

			# 元々、微分不能な点があっても、微分できる近似
			# 関数が作れる。

		一般には、3 次補間
			3 点 + 微分係数の一致
				=> 「自在定規」

			# 一般に、n 回微分まで、一致するスプラインが可能だが..
			#	「図形を描画」するなら 3 次で十分

	# 他に、(ニュートンの差分, エルミート)多項式補間法もあるが、一
	# 般に高次の多項式を補間で利用することはない ( 高次だから.. )
	# ので、ここでは説明しない。

	## どうぜ、結果は、同じ..

	# 多項式近似で利用されるのは、スプラインの方が主

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[演習] Text p.104