2003/05/23

[前回まで]

	有限の線型空間を考えると

		基底が存在する
		その数 ( 本数 ) は一通り
			基底の数 => 線型空間の「次元」

[今回]
	V : K - 線型空間
	E = <e1,..,en>
	F = <f1,..,fn>
		E, F は共に V 基底
	φ : V                ->                     K^n
	     in                                       in
	     x = x1 e1 + x2 e2 + .. + xn en       ( x1, .. xn )^t


	φ' : V                ->                     K^n
	     in                                       in
	     y = y1 e1 + y2 e2 + .. + yn en       ( y1, .. yn )^t
	

           φ
	V ---> K^n
         \     ^
          \φ' |
           \   |φoφ'^{-1}
            v  |
              K^n

	つまり φoφ' は、K^n から K^n への同型対応
	よって、
		\exist P = ( p_{i,j} ) : n 次正則 K 行列
			s.t. φoφ'^{-1} = T_P
		( 即ち φoφ'^{-1}(x) = P x )
	だから
		T_p(φ'(x)) = φoφ'^{-1}oφ'(x) = φ(x)

	( p_11 .. p_1n ) (y_1)   (x_1)
        ( ..      ..   ) (.. ) = (.. )    .. 式(2)
	( p_n1 .. p_nn ) (y_n)   (x_n)

	この P = ( p_ij ) を 基底取り換え ( E -> F ) の行列と言う
		# 試験によく出る。

	特に、x = f_i の時 (y1, .. ,yn) = (0 .. 1 .. 0)
						^ i 番目
	よって、式(2) より、
		(x1,..,xn) = (p1i, .., pni)
	よって、
		fi = p1i e1 + .. + pni en    .. 式(3)

	[定理]
		E = <e1,..,en> が基底の時 P = (p_ij) が正則ならば、
		式 (3) て定義される f1, .., fn から作られる
		F=<f1,..,fn> は基底となる
		(prof)
			fi = P1i e1 + ..+ Pni en
			Q = P^{-1} = (q_ij)
			とすれば、
			f1 = p11 e1 + .. + pn1 en
			...
			fn = p1n e1 + .. + pnn en
			より、
			e1 = q11 f1 + .. + qn1 fn
			...
			en = q1n f1 + .. + qnn fn

		つまり、e1 .., en は f1, .., fn の線型和でかけるので
		V の元も f1, .., fn でかける
			F は基底

	[定理]
		基底の取り換え F -> E の行列は P^{-1}
		(prof)
			φ' o φ^{-1} = ( φ o φ'^{-1} )^{-1}
				      = ( T_p )^{-1}
				      = T_{p^{-1}}

	[定理]
		G = < g1, .. , gn > を基底とする。
		基底の取り換え F -> G の行列が Q 
			=> 基底の取り換え E -> G の行列が PQ
		(prof)
			φ'' : V -> K^n
			とすると、
				T_Q = φ' o φ''^{-1}
			よって、
				 φ o φ''^{-1}
				 = φ o φ'^{-1} o φ' o φ''^{-1}
				 = T_P o T_Q
				 = T_{PQ}

	[例 1]
		E_0 = < e1, .., en > ; 単位ベクトルからなる基底
			ei = ( 0 .. 1 .. 0 )
				    ^ i 番目
		p1, .., pn が線型独立
			E = < p1, .., pn > は基底になる。
		すると、E_o -> E の行列は、式 (3) より
			( p11 .. p1n )
			( ..      .. ) = (p1..,pn)
			( pn1 .. pnn )
		となる。

	[例 2]
		V = { x = ( x1,x2,x3 ) | x1 + x2 + x3 = 0 }
		E = < (1,-1,0)^t, (1,0,-1) >
		F = < (0,1,-1)^t, (1,1,-21) >
		は共に、基底なので E -> F を考えると
		<1,-1,0> ( = e1 ) = -1 f1 + 1 f2
		<1,0,-1> ( = e2 ) = -1 f1 + 2 f2
		P = ( -1 -1 )
                    (  1  2 )
		
§ 4 線型部分空間
			
	def. V の部分集合 W が V と同じ演算とスカラ倍に関して K 上ベクトル空間
	になっている
		=> W は V の(線型)部分空間

	[例] {0}, V 自身は、共に V の部分空間
		これ以外の部分空間を真の部分空間と呼ぶ

	[例 1] V = K^n, A in M_mn(K)
		W = { x in K^n | Ax = 0 }
	とすると、
		W は、V の部分空間
	(prof)
		x , y in W => A(x + y) =A(x) + A(y) = 0 + 0 = 0
		よって x+y in W
		x in W, c in K => A(cx) = c(Ax) = c0 = 0
		よって cx in W
		特に、
			Rank A = r => dim W = n - r 
		に注意

	[例 2] V = Mn(K) とするこの時
		W1 = { X in V | tX =   X } : 対称行列全体
		W2 = { X in V | tX = - X } : 交代行列全体
		W3 = { X in V | tr X = 0 }
	は、全て V の部分空間
		(prof)
			和とスカラ倍で閉じていることを示すだけ
	ここで、W1,W2,W3 の次元を知りたい
		=> 具体的に基底を作り、そのサイズを調べる

		def. E_ij = (i,j) 成分だけが 1 で、他は 0 

		W1 の基底として、
			Eij + Eji ( 1 =< i < j =< n )
			Eii	  ( 1 =< j =< n )
		を考える。
			# これは、独立であることは明か
		実際に、これらは W1 の基底になっていることは
		次のように示すことができる ( 具体的に線型和で表す )
			X1 in W1 とすると tX = X より xij = xji を満す
		よって
			X = \Sum_{i=1}^n \Sum_{j=1}^n xij Eij

		つまり、dim W1 は n(n+1)/2

		W2 の基底は、
			Eij - Eji
		なので dim W2 = n(n-1)/2

		W3 は、
			tr X = x11+x22+..+xnn =0
		という連立方程式を満す。

		X の変数は n^2 で、式は 1 つなので、dim W3 = n^2 - 1


	[例 3]
		V^3 in a, b : 線型独立

		W = { p a + q b | p, q in R } とすればこれは V の部分空間
			# とうぜん、次元は 2

	[定理 4.1] W1, W2 : V の部分空間
		=> W3 = W1 \cap W2 も V の部分空間
		(prof)
			x, y in W3, a in K
				=>
					x, y in W3 \sub W1
					よって
						x + y, a x in W1

					x, y in W3 \sub W2
					よって
						x + y, a x in W2

					つまり x + y, a x in W3

	def				
		V \sub S \= 0
		S の元の線型結合の全体
		def <S>_K = { c1 x1 + .. + cn xn | ci in K, xi in S }

	[定理] <S>_K は部分空間
		(prof)
			閉じていることを示す
		
			# <S>_K を 「S から生成される部分空間」と呼ぶ
			#          「S よって張られる部分空間」

	def 和空間
		W1, W2 : V の部分空間
		def W1 + W2 = { x1 + x2 | x1 in W1, x2 in W2 }


	[定理 4.3] W1+W2 は部分空間
			# W1 + W2 を W1 と W2 の和空間と呼ぶ
		(prof)
			# 閉じていることを示す
			
		# 一般には W1 + W2 != W1 \cap W2 だか、
		#  W1 + W2 = <W1 \cap W2>_k はいえる。

	[定理 4.4] T : V -> V' ; 線型写像
		=>
			T(V) は V' の部分空間 ( Im T )
			T^(-1)(0) はV' の部分空間 ( Ker T )
		(prof)
			# 閉じていることを示す

	[Remark]
		A in Mmn(K)	
		W = { x in K^n | Ax = 0}
		とすると、実は、これは、
		{ x in K^n | T_A(x) = 0}
		と考えることがでいるので、
		W = Ker T_A

	[定理 4.5]
		dim V = dim Ker T + dim Im T
		(prof)
			Ker T の基底 e1, .., es を拡大して、
			V の基底 e1, .., en が得られるならば、
			E' = < Te_{s+1}, .. , T(e_n) > が Im T の基底
			であることを示せばよい。

			# 基底 互いに独立で、任意の元を線型和で表現できる

			[線型和]
				x = x1 e1 + .. + xn en in V
			を考えると
				T(x) in Im T は、
				T(x) = T( x1 e1 + .. + xn en )
				     = T( x1 e1 ) + .. + T ( xn en )
			ところが、前の e1, .. es は Ker T の要素基底なので、
			0 つまり

				     = T( x_{s+1} e_{s+1} ) + .. + T ( xn en )
			よって、x' = T(x) in V' は、
				T(e_{s+1}), .., T(en) 
			の線型和で表現できたことになる。


			[独立]
				x = x_{s+1} e_{s+1} + .. +x_{n} e_{n} = 0
			とすると、
				T(x) = 0
			なので、x は Ker T の要素である。
				T(x_{s+1} e_{s+1} + .. +x_{n} e_{n}) = 0
			つまり、
				x = x_1 e_1 + .. + x_s e_s
			とできる。

			この結果、
			x_{s+1} e_{s+1} + .. +x_{n} e_{n} = x_1 e_1 + .. + x_s e_s
			となるが、e_i は、互いに独立なので、x_i は全て 0
			つまり、さいしょの、e_{s+1}, .., s_n も独立

	[定理 (1)]
		W1, W2 : V の部分空間とする
			W1 \sub W2 => dim W1 <= dim W2

		(prof)
			W1 の基底 <e1,..,e_s> を拡大して W2 の基底
			<e1,..,e_r> ( s <= r ) が作れる。

	[定理]
		W1, W2 : V の部分空間とする
			W1 \sub W2 & dim W1 = dim W2 => W1 = W2

		(prof) (1) より r = s, <e1,..,es > は W2 の基底にもなる