# 内積の話 ( 計量空間の話をしていた..)

例 5 P_n(R) において、内積 (f,g) を \int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx で定義
において、
	F_k(x)=\frac{d^k}{dx^k} (x^2-1)^k ( k = 0, 1, .., n )
とおくと、
	F = <F_0, F_1, .., F_n>
は、互いに直交するP_n(R)の基底。

	# 直交であっても、ノルムが１でないので、正規直交系ではない

	proof)

	F_k(x) は、2k を k 回微分しているので、k 次式になっている。
	よって、F_k(x) \in P_n(R)

	各 F_k(x) は、k k 次式で、互いに次数がことなるから、独立
	になる

	P_n(R) の次元は n+1 で、F も n+1 個なので、これが基底になる
	ことがわかる。

	# 後は、直交性を示すのみ

	いま、
		G_k(x) = (x^2-1)^k
	とおく。
		# F_k(x) = G_k^{(k)}(x) であることに注意。
	ここで、G_k^{(i)}(x) は、i < k ならば、(x^2-1) という項を
	もつ。つまり、
		G_k^{(i)}(-1) = G_k^{(i)}(1) = 0
	いま、k >= l とする。すると、

		(F_k,F_l) = \int_{-1}^{1} F_k(x) F_l(x) dx
			  = [ G_k^{(k-1)}(x)F_l(x)}_{-1}^{1}
			    - \int_{-1}^{1} G_k(x)^{(k-1)} F_l'(x) dx
				(部分積分)
			  = - \int_{-1}^{1} G_k(x)^{(k-1)} F_l'(x) dx
			  ...
			  = (-1)^l \int_{-1}^{1} G_k(x)^{(k-l)} F_l^{(l)}(x) dx

			  ここで、k >= l なので、
			F_l^{(l)}(x) = G_l^{(2l)}(x)
				     = (2l)!

			  = (-1)^l (2l)! \int_{-1}^{1} G_k(x)^{(k-l)}dx
			  = 0
	よって、直交

# 次に、長さを求める。

	||F_k||^2 = (F_k,F_k)
                  = (-1)^k(2k!)\int_{-1}^{1} (x^2-1)^k dx
	ここで、
		I_k = \int_{-1}^{1} (x^2-1)^k dx
	とおくと、部分積分より、
		I_k = [] - k \int_{-1}^{1} x(x^2-1)^{k-1} 2x dx
	ところが、後半
		\int_{-1}^{1} x(x^2-1)^{k-1} 2x dx
		= 2 \int_{-1}^{1} [ x^2 - 1 + 1 ](x^2-1)^{k-1} dx
	なんので、これは、
		= 2 (\int_{-1}^{1} (x^2-1)^{k} dx \int_{-1}^{1} (x^2-1)^{k} dx)
	つまり、
		= 2k ( I_k +I_{k-1} )
	よって、
		I_k = 2k ( I_k +I_{k-1} )
	なので、
		I_k = -\frac{2k}{2k+1} I_{k-1}
	より、
		I_k = (-1)^k \frac{2^{k+1} (k!)^2}{(2k+1)(2k)!}

	これより、
	||F_k||^2 = \frac{2^{2k+1}(k!)^2}{2k+1}

	||F_k|| = \sqrt{\frac{2}{2k+1}} 2^k k!

	よって、
	E_k(x) = \sqrt{\frac{2}{2k+1}} 
	とおけば、
		E = <E_0, .., E_n>
	は、正規直交系

	# ちなみに 2^k k! \frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)^k をルジャンドル多項式と呼ぶ


	[Memo] E は、基底 <1,x,..,x^n> を、シュミットの直交化した、
	正規直交基底と一致する。

		proof)
			<1,x,..,x^n> からできた正規直交基底を
			E' = < E_0', .., E_n' >
		とする。

		< E_0', .., E_k' > = <1,..,x^{k-1}>_R = P_{k+1}(R)

		一方、E_k(x) も k 次元多項式なので、
			< E_0, .., E_k > = <1,..,x^{k-1}>_R = P_{k+1}(R)

		定理 6.4 ( この後やる ) より
			P_k(R)= P_{k-1}(R) \prod P_{k-1}(R)^{直交}
		よって、P_{k-1}(R)^{直交} は一次元
			P_{k-1}(R)^{直交} \ni E_k, E_k'
		より、
			E_k = c E_k'
		共に、長さが 1 なので、
			E_k = +- c E_k'
		更に E_k, E_k' の作りかたより、x^k の項目は、互いに
		正なので、
			E_k = c E_k'

==

	def 直交補空間
		W \subset V
		W^{直交} = { x \in V | (x,y) = 0 \forall y \in W }
	は部分空間になる。

		prof)
			x, x' \in W^{直交}, a \in K とする
			\forall y in W に対して
				( y, x + x' ) = ( y, x ) + ( y, x' )
					      = 0 + 0
					      = 0
				( y, a x )    = a (y, x)
					      = a 0
					      = 0

定理 6.4
	V = W \prod W^{直交}
		prof)
			<e1,..,er> を W の正規直交系とする
			\forall x in V にたいして
				x_1 = \Sum_{i=1}^r (x, e_i)e_i
			とし、さらに
				x_2 = x - x_1
			とおく。

			すると、x_1 \in W である。
			また、
				x_2 \in W^{直交}
			となる
				proof)
				(x_2, e_i) = (x, e_i) + (x_1,e_i)
					   = (x, e_i) - \Sum_{j=1}^r (x, e_i)(e_i, e_j)
					   = (x, e_i) - (x, e_i)
					   = 0
			つまり、
				x \in V にたいして、
					x = x_1 + x_2
						x_1 \in 
						x_1 \in W^{直交}
				がいえるので、
					V = W + W^{直交}
			特に、
				W \cap W^{直交} = {0}
				proof)
					x \in W \cap W^{直交}
					=>
					(x,x) = 0
			なので、[定理 4.8] より
				V = W \prod W^{直交}

==

例6
	A \in M_{m,n}(R) とし、Ax = 0 とすると、
	A = ( tb1, .., tb_n )
	V = <b1, .., bn>_R とすると、
	V^{直交} = { x | Ax=0 } 
	となる。

==

定理 6.4
	(1) (W^{直交})^{直交} = W
	(2) ( W_1 + W_2 )^{直交} = W_1^{直交} \cap W_2^{直交}
	(3) ( W_1 \cap W_2 )^{直交} = W_1^{直交} + W_2^{直交}

proof)
	(1) x \in W とすれば、
		(x,y) = 0 ( \forall y \in W^{直交} )
	よって、
		x \in (W^{直交})^{直交}
	よって、
		W \subset (W^{直交})^{直交}
	一方、
		V = W \prod W^{直交}
		  = W^{直交} \prod W^{直交}^{直交}
	つまり、
		dim W^{直交}^{直交} = dim W
	よって、Th.6.4 より、
		W^{直交}^{直交} = W

	(2)
		x \in ( W_1 + W_2 )^{直交}
	<->
		(x,y) = 0 (\forall y \in W_1 + W_2 )
	<->
		(x,y) = 0 (\forall y \in W_1 )
		(x,y) = 0 (\forall y \in W_2 )
	<->
		x \in W_1^{直交}
		x \in W_2^{直交}
	<->
		x \in ( W_1^{直交} \cap W_2^{直交} )

	だから
		( W_1 + W_2 )^{直交} = W_1^{直交} \cap W_2^{直交}

	(3)
		(2) で、W_1, W_2 を W_1^{直交}, W_2^{直交} とすればよい

==

def
	V, V' : K-計量空間
	φ : V -> V' : 同型写像
この時
	(φ(x),φ(y)) = (x,y)		( 内積を保存する )
ならば、
	φ を V から V' への計量(空間としての)同型写像と呼ぶ


例:
	V, E=<e_1, .., e_n> : 正規直交基底

	φ : V        ->         K^k : 同形対応
	     in                  in
	   x = \Sum x_i e_i :->  (x1,..,xn)

	は、計量同型

	proof)
		# 同形は判っているので、内積を保存するかを Check
		x, y \in V とする
		(x,y) = .. = \Sum x_i \^y_i
		一方、
		(φ(x),φ(y)) = \Sum x_i \^y_i
		つまり、保存

	[Memo]
		K 上の次元の等しい計量空間は、どれも計量同型

	[Memo]
		(E;φ), (E';φ') を共に、V の正規直交基底
		P を基底の取り換え E -> E' 行列
			=>
		P はユニタリ行列 ( where {}^t\-P = P^{-1} )