「小テスト」 ( 20 分位 ) : 来週行う「中テスト」の予告編

# 小テストは、せいぜい 2 点程度

中テストは、前期試験 ( = 後期試験 ) より軽い程度。

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[問題の解説]

[1] F=< 1, x, x^2, x^3 > より、4 次の

E -> F :
	E = <e_1, e_2, e_3, e_4>
	F = <f_1, f_2, f_3, f_4> として、
f_1 を e_1, .., e_4 で表現し、その係数を縦に並べれば、A ができる。

基本は、連立方程式を解くだけであるが、問題形に着目して、次のような
簡単な方法がとれる。

	まず、
		S = 1/3 { e_1 + e_2 + e_3 + e_4 } 
	を計算すると、
		1 + x + x^2 + x^3
	となる。これに着目すると、

		f_1 = 1 = S - e_3

	となるので、簡単に計算できる。

[2] 方法通り ( 複素数係数なので、内積を取る時に、後の要素にバーが付く
ことに注意 )


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来週がんばれ

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前回まで、
	正規直交基底の間の取り換え行列はユニタリ
今回は、その逆から、

E: 正規直交基底
P: ユニタリ行列
とすると、
P によって、E を変換してできるベクトル群 F も正規直交基底

prof)
		P = (p_{ij})
	とすると、
		f_i = Pe_i = \Sum_k P_{ki} e_k
	よって
		(f_i f_j) = \Sum

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def ユニタリ[実計量]空間 V から V 自身のへの計量同型写像を V の
ユニタリ[直交]変換写像を V のユニタリ[直交]変換という

Th. T : V の変換
	||Tx|| = ||x|| (\forall x \in V) <-> T : ユニタリ変換

	prof)
	( <= ) は clear

	( => )
		# one-to-one
		x \neq y <=> x -y \neq
		         <=> || x - y || \neq 0
                         <=> || T(x - y) || \neq 0
                         <=> || T(x) - T(y) || \neq 0
                         <=> T(x) - T(y) \neq 0
                         <=> T(x) \neq T(y)

		# onto
		dim V = dim T(V) + dim T^{-1}(0)
		    ここで、1-to-1 より、
		T^{-1}(0) = {0} よって、dim T^{-1}(0) = dim {0} = 0
		    つまり、
		dim V = dim T(V)
		あきらかに、 T(V) \subset V で、かつ次元が同じなので、
			V = T(V)
		よって、onto

		# 計量同型

		x, y \in V に対して、
			||  x+y || = || x|| + ( x, y) + \~( x, y) + || y||
			||T(x+y)|| = ||Tx|| + (Tx,Ty) + \~(Tx,Ty) + ||Ty||
		ここで、
			||T(x+y)|| = ||  x+y ||
			||T(x)||   = ||x||
			||T(y)||   = ||y||
		なので、	
			(x, y) + \~( x, y) = (Tx,Ty) + \~(Tx,Ty)
		つまり、
			Re( (x, y) ) = Re( (Tx,Ty) )
		同様にして、
			( xi, y )
		に関して同様におこうと
			Im( (x, y) ) = Im( (Tx,Ty) )
		よって、Re, Im ともに等しいので、同じ

Th.
	C^n のユニタリ変換とは、ユニタリ行列によって、定まる線型変換

	T = T_A : 変換
		T がユニタリ <=> Aがユニタリ

	prof)
		    (Tx, Ty) = (x,y) ( \forall x,y \in C^n )
		<=> (Ax, Ay) = (x,y) ( \forall x,y \in C^n )
		<=> (A^*A-Ex,y) = 0 ( \forall x,y \in C^n )
		<=> A^*A-E = 0
		<=> A^*A = E ( A がユニタリ )

Th.[6.6]
	T : 変換
	(E,φ) : 正規直交基底
	A : E に関する T の行列
	ならば、
		T : ユニタリ <=> A : ユニタリ	
	prof)
		T が計量同型 <=> T_A : が計量同型 <=> A : ユニタリ


例 7:
	V = <1, \cos{x}, \cos{2x}, .., \cos{nx}, \sin{x}, \sin{2x}, .., \sin{nx}>
	は、 2n+1 次元実線型空間となる。
	ここで、内積を次のように定義する。
		(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx
	すると、V は実計量空間

	c ( \in R ) に対して、「平行移動」T を
		(Tf)(x) = f(x+c)
	とすると、T は線型変換。

	prof)
		# T が V で閉じているかどうかが問題

		\sin{k(x+c)} = \sin{kx}\cos{kc} + \cos{kx}\sin{kc}
		\cos{k(x+c)} = \cos{kx}\cos{kc} + \sin{kx}\sin{kc}

		これは、基底の線型和になっているので、T(V) \subset V
		であることがわかる。

	T は、V の直交変換
	prof)
		f \in V とすると、 f(x + \pi) = f(x) である。
			# V の基底は、どれも、周期 \pi だから..
		よって、

		(Tf, Tg) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x+c)g(x+c) dx
		         = \int_{c-\pi}^{c+\pi} f(x)g(x) dx
		         = \int_{c-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx
		         + \int_{\pi}^{c+\pi} f(x)g(x) dx
		         = \int_{c-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx
		         + \int_{-\pi}^{c-\pi} f(x)g(x) dx
		         = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx
			 = ( f, g )

		つまり、内積が保存されるので、直交変換

	上記の基底は、直交基底

	prof)	
		\int_{-\pi}^{\pi} 1\cos{kx} dx = 0
		\int_{-\pi}^{\pi} 1\sin{kx} dx = 0
		\int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx}\sin{lx} dx = 0
		\int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx}\cos{lx} dx = 
			\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \{\cos{kx+lx} + \cos{kx-lx}\} dx
				= 0 ( if k \neq l )
		\int_{-\pi}^{\pi} \sin{kx}\sin{lx} dx = 
			-\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \{\cos{kx+lx} - \cos{kx-lx}\} dx
				= 0 ( if k \neq l )

		よって、どれも直交

	そこで、正規化を行う。

		(1,1) = \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = 2\pi
		(\cos{kx}, \cos{kx}) = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2{kx} dx = \pi
		(\sin{kx}, \sin{kx}) = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2{kx} dx = \pi

	なので、
		e_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
		e_{2k-1} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos{kx}
		e_{2k} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin{kx}
	とすれば、<e_i> は、正規直交基底となる。

	# T に対応した、変換行列を求める

		T1 = 1 より、Te_1 = e_1

		T\cos{kx} = \cos{kc}\cos{kx} - \sin{kc}\sin{kc}
			より、_
		Te_{2k-1} = \cos{kc}e_{2k-1} - \sin{kc}e_{2k}

		T\sin{kx} = \sin{kc}\cos{kx} + \cos{kc}\sin{kc}
			より、_
		Te_{2k} = \sin{kc}e_{2k-1}} + \cos{kc}e_{2k}


	より、
			1      0       0          0       0
		A =     0   \cos{c}  \sin{c}
                        0  -\sin{c}  \cos{c}
                        0      0       0      \cos{2c}  \sin{2c}
                        0      0       0     -\sin{2c}  \cos{2c}
			
                        0      0       0         0       0      \cos{nc}  \sin{nc}
                        0      0       0         0       0     -\sin{nc}  \cos{n2c}


	ここで、AA^* を計算すると、E になるの、直交行列

	# V の元を n 次以下のフーリエ多項式