2003/07/11

本日は、「中テスト」が、9:00 - 10:00 の間、実行された。

問題の簡単な解説をする。

[1]

E = <e1, e2, e3, e4>
F = <f1, f2, f3, f4>

E -> F の基底取り換え行列を計算するには、

f1 = p11 e1 + p21 e2 + p31 e3 + p41 e4
f2 = p12 e1 + p22 e2 + p32 e3 + p42 e4
f3 = p13 e1 + p23 e2 + p33 e3 + p43 e4
f4 = p14 e1 + p24 e2 + p34 e3 + p44 e4

とするのだが、いきなり、f1 - f4 を e1 - e4 で表すのは不便なので..
基本基底をまず、e1-e4 であらわし、

(1 0 0 0) = (e3+e4)/2
(0 1 0 0) = e2 - (e3-e4)/2
(0 0 1 0) = e1 - (e3+e4)/2
(0 0 0 1) = (e3-e4)/2

更に、基本基底で f1 - f4 を表すようにすればよい。

逆も同様

[2]
基本は、e1 = 1, e2 = x, e3 = x^2, , e3 = x^3 として、

T e1 = a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 +a41 e4

となる A={ aij } を計算する。aij は具体的に T に e1, .. e4 を代入する。

(T e1)(x) = \int_0^1 (x-t)^3 1 dt 
= \int_0^1 x^3 -3x^2t + 3xt^2 - t^3 1 dt
= \left[ }x^3t - \frac{1}{2}3x^2t^2 + 3xt^2 -t^3 1 \right_0^1
=...

[3] |a1|^2 = 2 なので、

e1 = \frac{1}{\sqrt{2}} a1

a2' = a2 - (a2 e1)e1 = .. = \TVec{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}i}{1}
e2 = a2' / |a2'| = \frac{1}{\sqrt{6}\TVec{-1}{i}{2}

[4]
a1 = 1, a2 = x, a3 = x^2, , a3 = x^3 として、シュミットを適用するだけ。

|a1|^2 = (a1,a1) = (1,1) = \int_0^1 1 dx = 1
e1 = \frac{a1}{|a1|}=\frac{1}{1}=1

a2' = a2 - (a2,e1)e1 = x - (x,1)1 = x - \frac{1}{2}
      ( (x,1) = \int_0^1 1x dx = \frac{1}{2} )

|a2'|^2 = (a2',a2') = \int_0^1 (x - \frac{1}{2}) dx
= \int_0^1 x^2 - x + \frac{1}{4} dx
= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x \right_0^1
= \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

e2 = \frac{a2'}{|a2'|} = \sqrt{12}a2' = 2\sqrt{3}(x-\frac{1}{2})

以下、同様..