2003/10/17

# ずっと、対角化の話をしてきた。

# 前回、[例 8]をやった.. ( ちょっと、復習 )

[例 8]
	V = { {x_n} | x_{n+3} - 4x_{n+2} + x_{n+1} + 6x_{n} = 0 }
		は、3 次元の線型空間
	基底として、
		e_0 = { 1, 0, 0, .. }
		e_1 = { 0, 1, 0, .. }
		e_2 = { 0, 0, 1, .. }
	がとれる。

	T : V -> V として、 要素を一つシフトする写像を取ると、これは線型変換
	これの上記の基底にかんする T の行列 A をとると

			0   1  0	   
		A = (   0   0  1  )
		        -6 -1  4

	で、これの固有値は、

		x = -1, 2, 3

	となる。これに対する固有ベクトルは、

		f_1 = { (-1)^n }
		f_2 = { 2^n }
		f_3 = { 3^n }

	となり、

	{ x_n }  \in V は、 { \alpha f_1 + \beta f_2 + \ganma f_3 }

	更に、P を E から F へのとりかえ行列とすれば、

		\alpha		  x_0
	P^{-1}( \beta   ) = 	( x_1 )
		\ganmma		  x_2

	となるので P^{-1} がわかれば、初項 x_0, x_1, x_2 が決れば、
	( それから、上記の \alpha, \beta \gamman ) がわかり、
	それら初項を持つ一般項を求めることができる。

# 漸化式ができれば、それに対応して、微分方程式も求められる。

[例 9]
	V = { y=f(x) | \frac{d^3y/dx^3} - 4\frac{d^2y/dx^2} + \frac{dy/dx} + 6 y = 0 }
	は、3 次元の線型空間

	E = < e_0, e_1, e_2 >
		e_i^(j)(0) = \delta_{i,j} ( i, j = 0, 1, 2 )
	とすれば、線型変換

	D : V ---> V
	   \in    \in
	    y |-> dy/dx

	に関する行列 A は、
	
			0   1  0	   
		A = (   0   0  1  )
		        -6 -1  4

	となり、固有値は、

		x = -1, 2, 3

	となる。これに対する固有ベクトルは、

		D y_1 = - y より y_1 = e^{-1}
			# 本来は、積分定数 C を利用して、
			# y_1 = C e^{-1} となるが、定数倍しても、同じなので、
			# C = 1 としてもよい。 
		y_2 = e^{2}
		y_3 = e^{3}

	となり、
		y ( \in V ) = { \alpha y_1 + \beta y_2 + \ganma y_3 }

	なので、			

		\alpha		  x_0
	P^{-1}( \beta   ) = 	( x_1 )
		\ganmma		  x_2

	となる P がえられれば、初期条件
		f(0) = x_0
		f'(0) = x_1
		f''(0) = x_2
	にたいする任意の微分方程式の解を得ることができる。
	
	# 微分方程式や漸化式の一般解を求めるために、対角化が利用できる。

==

Sec. 2 ユニタリ空間の正規変換

	# ユニタリ空間 : 線型空間かつ、内積が入っている。

	V : ユニタリ空間, T : V 上の線型変換
	E : 正規直交基底
	A : E に関する T の行列

	A^{*} = \var{{}^tA} : A の随伴行列

	T^{*} : E に関するの行列が A^{*} になるような V の線型変換

	T = \phai^{-1}T_A\phai の時
	T^{*} = \phai^{-1}T_{A^{*}}\phai となる。

	この T^{*} を T の随伴変換と呼ぶ。

	[prop.]
		(T^{*}x,y) = x,Ty) ( \forall x,y \in V )
		prof)
			(T^{*}x, y) = ( \phai T^{*}x, \phai(y) )
				 # \phai は内積を変えないので..
				    = ( T_{A^{*})\phai x, \phai(y) )
				    = ( A^{*}\phai x, \phai(y) )
				    = ( A^{*}\phai x, \phai(y) )
					..
				    = (	\phai(x), \phai(Ty) )	

	# T^{*} の定義にはは、E を利用しているので、場合によっては、
	# E が異れば、T^{*} が異なる可能性がある。したがって、
	# ( 定義が well defined であるためには.. ) T^{*} が、
	# E の取りかたによらないことをチェックする必要がある。

	E' での随伴変換を T' とすれば、
		(T'x,y) = (T*x,y) = (x,Ty) なので T' = T*

def.
	T がユニタリ変換とは、
		T^{*} = T^{-1}
			( A がユニタリ行列 : A^{*} = A^{-1} )
	T がエルミート変換とは、
		T^{*} = T
			( A がエルミート行列 : A^{*} = A )

prop.
	A : E に関する T の行列

		T : エルミート <=> A : エルミート


def. Tが正規変換とは、

	T^{*}T = TT^{*}


# エルミート変換や、ユニタリ変換は、特別な正規変換
# 正規変換は、かならず、対角化できる ( しかも、正規基底で.. )

Th.[2.1] T,S : V の線型変換 ( ここで、V は、線型空間でよい )

	TS = ST ならば、T, S は少くても、一つの共通な固有ベクトルをもつ。

	prof)
		T の固有値 \alpha に対する固有空間を W とする
		W は、(定義により)T-不変であるが、実は、S-不変でも
		ある。

		実際、x \in W について
			T(S x) = S( T x)
				= S \alpha x
			        = \alpha S x
		よって、
			S x \in W

		S_{W} の一つの固有ベクトル a をとれば、 a は、
		S の一つの固有ベクトルかつ、T の固有ベクトル

Th[2.2] T,S : V の線型変換

	TS = ST => \exist W0,..,Wn : V の部分変換 ( n は V の次元 )
	s.t.
		1) W_i は T-不変、かつ S-不変
		2) {0} = W_0 \sub W_1 \sub .. \sub W_n = V
		3) dim W_i = dim W_{i-1} + 1 

	# 2), 3) を満すには、適当な V の基底をとり、それをひとつずつ、
	# をついかするだけでよい。問題は、1) を満すものをどうさがすか?

	prof) n に関する帰納法で行う。

	n=1 の時 {0} = W_0 \sub W_1 = V は明かに成立
	n が一般の時 n-1 で成立すると仮定する。
		T^{*},S^{*} を T, S の随伴変換とする。
			TS=ST より T^{*}S^{*}=S^{*}T^{*}
		そこで、[2.1] より、\exist a s.t. T^{*} と S^{*} の共通固有ベクトル
		よって、この a を使い、a の直交空間を W_{n-1} とする。
		つまり、
			W_{n-1} = <a>_{C}^{直交} = { v \in V | (a,v) = 0 }
		とすると、
			n - 1 次元空間
		で、しかも
			 T-不変、かつ S-不変
		実際、
			\all x \in V
			     (a, Tx) = (T^{*}a, x)
				     = (\alpha a, x )
				     = \alpha ( a, x )
				     = \alpha 0
				     = 0
			よって、Tx \in W_{n-1}。 つまり W_{n-1} は T-不変
			同様に、S-不変

		T' = T_{W_{n-1}}, S' = S_{W_{n-1}} とすれば、
			T'S' = S'T'
		よって、帰納法の仮定より、

		1) W_i は T'-不変、かつ S'-不変
		2) {0} = W_0 \sub W_1 \sub .. \sub W_{n-1} = W_{n-1}
		3) dim W_i = dim W_{i-1} + 1 

		がとれるで、これに V = W_n を追加すれば、結論がでる。

Th.[2.2'] AB=BA => \exist U : ユニタリ行列 s.t. 
	U{-1}AU, U{-1}BU : 上三角行列 

	V=C^n
	T=T_A S = T_B
	すると、[2.2] より W_i がとれる。
		W_i の元で W_{i-1} と直交する元を u_i とすれば
		E = < u_1, ., u_n > は正規直交系
		E 関する T_A の行列 C は 上三角
		prof)
			T_A u_i \in W_i より
			T_A u_i = c_{1i}u_1 + .. + c{ii} u_i
		つまり、
			C は対角行列
		更に、
			(u_i, T_A u_j) = c_{ij}

			U{-1}AU  = U*AU  = C
		なので、対角化される。

[[
正規直交系を並べた行列は、ユニタリ行列。

prof)
	U = ( u_1, .., u_n )
とすると、
		  \var{{}^tu_1}
	U^{*} = ( \var{{}^tu_2} )
		  \var{{}^tu_n}

	U^{*}U = ( (  \var{{}^tu_i},  u_j ) )
	       = ( \delta_{i,j} )
	       = E
つまり、
	U は、ユニタリ行列。

]]


Th. [2.3]
	1) AB=BA の時
		A+B (AB) の固有値は、A の固有値と B の固有値の
		和 (積) で表現できる。
	2) A の固有値が、\alpha_1, \alpha_2,..,\alpha_n の時
	   A^k の固有値は、\alpha_1^k, \alpha_2^k,..,\alpha_n^k

	prof)
		[2.2] より \exist U : ユニタリ

		U^{-1}AU、 U^{-1}BU が上三角

		# 上三角行列の固有値は、対角線上の成分要素値だった

		A + B の固有値
			U^{-1} (A+B) U の固有値
			U^{-1} A U + U^{-1}BU の固有値
			U^{-1} A U + U^{-1}BU の対角要素
			U^{-1} A U の対角要素 と U^{-1}BU の対角要素の和
			U^{-1} A U の固有値 と U^{-1}BU の固有値の和
			A の固有値 と B の固有値の和

		A B の場合は、 U^{-1}ABU = U^{-1}AUU^{-1}BU として同様

Th. [2.4]
	T が適当な、正規直交基底にかんして、対角行列で表現される
		<=>
	T が正規変換


Th. [2.4']
	\exist U : ユニタリ s.t. U^{-1} A U が対角行列
		<=>
	A 正規行列

	prof)
		[2.4] で、V=C^n, T=T_A とすればよい。

系 [2.5]
	T : 正規変換
	\beta_1, .., \beta_n : T の相異なる固有値全体
	対応するベクトルは互いに直交する。

	W_1, .., W_k : 対応する固有空間

		W_i (直) W_j ( i \ne j )
	V = W_1+..+W_n ( 直和 )

	prof)
		[2.4] 固有ベクトルからな正規直交基底 E = <e_1, .., e_n >
		が存在する。
		E の \beta_i に対応する固有ベクトルからなる
		空間を W_i とすれば、W_i (直) W_j ( i \ne j ) がいえる。


# 今回のポイント
#	「正規変換は、正規直交基底で、対角化できる」