対角化の話をしてきた。

前回の最後 : 正規変換というものがあった

	正規変換 <=> 正規直交系で対角化できる

	正規変換 : とってもよい形をしている.. ただし条件は厳しい

	本日は、その性質をもう少しみる。

==

例 1:
		0 i 1
	A =    -i 0 i
		1 -i 0

これは、

	A = A^*

なので、エルミート行列となり、したがって、同時に正規行列でもある。

正規行列である以上、ある、ユニタリ行列が存在し、それを利用することに
よって、対角化ができるはずなので、それを求めてみよう..

# この手の問題を解くには、行列式が計算できなければならない。
#	4x4 程度の行列式が計算できるようにしておこう


	\Phai_A(x) = | A - xE | = x^3 -3x + 2
		   = (x-1)^2(x+2)

	よって。

		固有値 : 1(重), -2

	固有値 が 1 の固有空間 W_1 を考える。

	A - \lambda E ( \lambda = 1 ) を考えると、

		-1  i  1
	A -1E = -i -1  i
		 1 -i -1

		# これは、rank = 1 ( 3 - 2 ) なので、固有ベクトルは 2 個

	なので、よって、

		W_1 = { ( x1, x2, x3 ) | x1 - ix2 - x3 = 0 }

	ここで、W_1 の直交基底を考える

	# 必要なら、適当な、直交基底をとりだし、シュミットの直交化等
	# 利用して、つくればよい

	# 個々の空間の直交基底を取り出せば、全体の直交基底になるので..

	# U : ユニタリなので、U^{-1} は簡単に求めることができる (
        #  U^{-1} = U^* )

	正規行列は、かならず、対角化できる
		=> 重解に対する固有ベクトルが複数 ( 重複分 ) あるので、
		必ず、とりだすこと !!

==

正規行列は、スペクトル分解が可能
	スペクトル分解の話をするのに、必要な準備 ( 射影子 ) から..

def 
	V : ユニタリ空間、W を V の部分空間
	W^{直交} : 直交補空間

とすると、

	V = W +直 W^{直交}

なので、

	\all x \in V \exist ! x' \in W \exist ! x" \in W^{直交}
		s.t. x = x' + x"

		# 直和 -> 表現が一通り

この対応関係で、定まる V から W への対応関係 P ( 射影子 ) は、

		P : V  -->  W : 射影子
		   \in     \in	
            	    x  |->  x'

線型変換である。

	prof)
		# 和が和に、定数倍が定数倍に移ることを確かめればよい。


[定理 2.6]
	P : 射影子
		<->
			P^2 = P
			P^* = P

	prof)
		(=>)
			V = W +直 W^(直)
			とすると、
				x = x' + x'
			なので、
				Px = x'
			一方
				x' = x' + 0
			なので、
				Px' = x'
			つまり、
				P^2x = Px
			が全ての x について成立。
			つまり
				P^2 = P

			同様に、
				y = y' + y"
			なので、内積をとって
				( Px y ) = ( x' y' + y" )
					 = ( x' y')
					 = ( x' + x" y')
					 = ( x' + x" Py )
					 = ( x Py )
					 = ( P^*x y )
					 	( P^* の定義 )
			つまり、全ての y について、
				( Px y ) = ( P^*x y )
			よって、
				Px  = P^*x
			つまり
				P  = P^*

		(<=)

				W = P(V) 
				x' \in W
			とすると、
				\exist x \in W s.t. Px = x'
			すると、

				Px' = P^2x = Px = x'

			x" \in W^(直) なら
			   Py \in W ( \all y \in V ) より
			      ( x" , Py ) = .. = ( P^*x', y )
			よって、
				px’＝ 0

			よって、
				射影子
			      
th.
	P が射影子
		<=> P は固有値が全て 0 か 1 のエルミート変換

	prof)
		( -> )
		[2.6] より P = P^* よって、エルミート変換であることは clear
		一方、
			W = { x \in V | Px = x }
		とすれば、これは固有値 1 の固有空間
		同様に、
			W^{直} = { x \in V | Px = 0x = 0 }
		とすれば、これは固有値 0 の固有空間
			V = W + W^{直}
		なので、これ以外の要素はないので、0, 1 のみ

		( <- )

			W = { x \in V | Px = x }
			W' = { x \in V | Px = 0x = 0 }
		とすれば、
			W 直 W'
		一方、
			V = W +^{直}  W'
		なので、
			W ^{直} = W'


Th.
	V \sub W_1, W_2
		<=> P_1 P_2 = 0
		<=> P_2 P_1 = 0

	prof)
		( -> )
				W_1 直 W_2
			より
				W_2 \sub W_1^(直)
			なので、
				P_1(W_2) = 0
			つまり、
				P_1(P_2(V)) = 0
			よって、
				P_1 P_2 = 0
		( <- )
				P_1 P_2 = 0
			とすると、
				x_1 \in W_1, x_2 \in W_2
			にたいして、
				(x_1, x_2) = (P_1x_1, P_2x_2)
					   = (x_1, P_1^*P_2x_2)
					   = (x_1, P_1P_2x_2)
					   = 0
			したがって、
				W_1 直 W_2



def. (スペクトル分解)
	T : 正規変換
	\beta_1, .. : 固有値
	W_1, .. : 固有空間
	P_1, .. : 射影子

	prop. 2.5 より
		V = W_1 + .. + W_k 
	である。

	この時

	[3]	P_1 + .. + P_k = I
	[4]	T = \beta_1 P_1 + ..  \beta_k P_k
			# T をこのように表現することをスペクトル分解と呼ぶ

	(prof) [3]
			V = W_1 ..
			W_1 直 W_i
		なので、
			W_i \sub W_1^(直)
		よって、
			W_2 + .. + W_k \sub W_1^(直)
		ところが、ふくまれていて、次元が同じなら、空間として等しい
		ので、
			W_2 + .. + W_k = W_1^(直)
		ここで、
			x \in V = x_1 + x_2 + .. + x_k
		をとると、
			P_1 x = x_1
		したがって、
			( P_1 + .. + P_k ) x = x
		つまり、
			P_1 + .. + P_k = I
		P_i P_j = 0 は、一つ前の定理から

		[4]

			x \in V = x_1 + x_2 + .. + x_k
		をとると、
			T x = T (x_1 + .. x_k)
			    = \beta_1 x_1 + ..
			    = \beta_1 P_1 x + ..
			    = ( \beta_1 P_1 + .. ) x
		よって、
			T x = \beta_1 P_1 + ..


Th.
	T のスペクトル分解は、一意的
	prof)
		..

Th.
	逆に [3] をみたす P_1 .. によって [4] で定義されている
	変換は、正規変換になる。

	prof)
		T^* = \var{\beta_1}P^*	
		    = \var{\beta_1}P
		よって、
			TT^* = |\beta_i|^2 P_i + ..		
			T^*T = |\beta_i|^2 P_i + ..		
		となるので、
			TT^* = T^*T
		すなわち、正規変換

Th. 2.7 ( 上記のまとめ )
	T: 正規変換
	\beta_1, .. : 相異なる固有値全部とする
	\exist ! P_1, .. : 射影子 s.t. [3], [4] を満す
	逆に [3] をみたす P_1 .. によって [4] で定義されている
	変換は、正規変換になる。

Col. 2.8
	T : 正規変換
		1) T がエルミート <=> 固有値が全て実数
		2) T がユニタリ <=>  固有値の絶対値が 1

	prof)
		1)
			T = \beta_1 P_1 + .. 
		なので、
			T^* = \var\beta_1 P_1 + .. 
		とうなる。

		ここで、
			T : エルミート <-> T^* = T
		よって、
			beta_i = \var\beta_i
		これは、	
			beta_i : 実数
		を意味する。

		2)

			T^*T = |\beta_1|^2 P_1 +..
		だった。

		ここで、
			T : ユニタリー <-> T^*T = I
		よって
			|\beta_i|^2 = 1

# 例 2 は、来週回し

P.143 の問 イ)

	A = a i
	    i a		for a \in R

を考える。

	A^* =    a  -i
		-i   a	

なので、

	A^*A = a^2 + 1  0
	       0        a^2 + 1

	     = 	AA^*

つまり、A は正規行列

	\Phai_A(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 1

より、

	固有値 : a +- i

固有値 : a - i に対する正規な固有ベクトル u_1 は
       u_1 = \frac{1}{\sqrt{1}} ( 1  1 )

固有値 : a + i に対する正規な固有ベクトル u_2 は
       u_2 = \frac{1}{\sqrt{1}} ( 1 -1 )

対角化のためのユニタリ行列 U は

	U = ( u_1, u_2 ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( 1   1 )
					        1  -1

対角化すると

	U^{-1}AU = ( a + i       0 )
		         0   a + i

となる。

# この T は、平面上の原点を達直線に関する線対象


ロ)

	A = ( 1 1 1 )
              1 0 0
              1 0 0

	A^* = A なので、エルミート
	固有値は -1, 0, 2
	対角化のためのユニタリー行列 U は、

		U = \frac{1}{\sqrt{6}} (  \sqrt{2}         0  2 )
				         -\sqrt{2}   \sqrt{3} 1
				         -\sqrt{2}  -\sqrt{3} 1
  
	対角化の結果は、

		-1  0  0
                 0  0  0
		 0  0  2

	となる。

# 来週は休み、次回は、例 2 から..