2003/11/07

正規変換のスペクトル分解を行ってきた。

	# スペクトル分解は、必ずしも、正規変換でなくても定義できる
	# ( 条件を緩めることが可能.. )

正規変換の定義は、

	T = \beta_i P_i + ..
	P_1 + .. = I
	P_i  P_j = O ( i \ne j )
	\beta_i \ne \beta_j 

正規変換がスペクトル分解できることはわかったので、実際の
スペクトル分解の方法から説明する。

[例 2]

	     	0  i  1
	A = (  -i  0  i   )
	     	1 -i  0

これは、ルミート ( だから、正規変換 )

固有値 1, -2

	[\beta_1 = 1]
		W_1 = { (x_1,x_2,x_3) | x_1 - i x_2 - x_3 = 0 }
		u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}( 1 0 1 )
		u_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}( -1 2i 1 )

	[\beta_2 = -2]
		W_2 = { (x_1,x_2,x_3) | x_2 = i x_1, x_3 = - x_1  }
		u_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}( 1 i -1 )


	U = ( u_1, u_2, u_3 ) = ..

		     1
	U^{-1}AU = (   1    )
		        -2
==

これから、スペクトル分解を行う。仮定より、

	P_1 u_1 = u_1
	P_1 u_2 = u_2
	P_1 u_3 = 0

つまり、

	P_1 U = P_1 ( u_1 u_2 u_3 ) = ( u_1 u_2 0 )

これから、

	P_1 = ( u_1 u_2 0 ) U^{-1}

なので、計算すると、 ( ここで、U エルミートなので、U^{-1} = U^{*} に注意 )

                             2  i  1
	P_1 = \frac{1}{3} ( -i  2  i )
                             1 -i  2

		# [注意] Text では、2 行 3 列目の値が間違っている。

同様に、

                             1 -i -1
	P_2 = \frac{1}{3} (  i  1 -i )
			    -1  i  1

が得られる。

# ここで、P_1 + P_2 = I であることを確認する。

これによって、

	A = \beta_1 U_1 + \beta_2 U_2
 
                   2/3  i/3 1/3
 	  = (1) ( -i/3  2/3 i/3 )
                   1/3 -i/3 2/3
 
# 射影子は、エルミートなので、結果がエルミートでなければ、どこかの計算
# で失敗している。

## [注] (x y) = ^tx \var{y} の \var{\ } を忘れる人がいる

==

 T : エルミート

	(Tx y) = (x Ty) ( \forall x, y \in V )
		特に
	(Tx x) = (x Tx) = \var{ (Tx x) }
		# 前は、エルミート、後は、内積の一般的性質 
	なので、
		(Tx x) \in R

[2.3] T : エルミート
	固有値が全て正 ( 非負 )
		<=> (Tx x) > (\ge) 0 ( \forall x \ne 0 )

	prof)
		T : エルミートなので、
			<e_1, .., e_n> : T の固有ベクトル
			からなる V の正規直交基底
			\alpha_1, .., \alpha_n : 固有値
		がとれる。

		( -> )
			x = x_1 e_1 + .. + x_n e_n ( \forall x \in V )
		なので、
			( Tx x ) = ( \sigma_{i=1}^n x_i \alpha_i e_i	\sigma_{j=1}^n x_j e_j	)
			         = ( \sigma_{i=1}^n \sigma_{j=1}^n x_i \alpha_i x_j ( e_i e_j )
				 = \sigma_{i=1}^n x_i \var(x_i) \alpha_i

				 = \sigma_{i=1}^n |x_i|^2 \alpha_i
		ここで、|x_i|^2 >= 0 なので、全ての  \alpha_i が正なら、全体としても正になり、非負なら非負となる。

		( <- )
			x = e_i とすれば、
			(T e_i e_i) = ( \alpha e_i e_i ) = \alpha > 0

==

def. 2.9 を満すエルミート変換を、半正値エルミート変換という。

remark
	T : エルミート -> T^2 半正値エルミート
	prof)
		(T^2 x x) = (Tx Tx) = (x T^2 x)
			なので、T^2 はエルミート
		(T^2 x x) = (Tx Tx) \ge 0
		        なので、T^2 は半正値

remark
	T : 線型変換 -> T^*T は半正値エルミート
	prof)
		(T^*T x x) = (T x T x) = (x T^*T x)
			なので、T^*T はエルミート
		(T^*T x x) = (T x T x) \ge 0
		        なので、T^*T は半正値

remark
	T ：正則エルミート
		T^2 : 正値エルミート
	prof)
		T^2 は、半正値エルミート ( 前 remark )
		一方、正則なので、 x \ne 0 -> Tx \ne 0
		よって、 (Tx x) \ne 0 よって、正値

remark
	\forall T (半)正値エルミート
		->
			\exist 1 S (半)正値エルミート
			s.t.
				S^2 = T

	prof) [存在]
		T :  (半)正値エルミート より、T のスペクトル分解が存在し、
			T = \beta_1 P_1 + ..
		となり、各々の \beta_i は正 ( 非負 ) 値
		よって、各々の \beta_i の平方根をとって、次のような S
		をつくる
			S = \sqrt{\beta_1} P_1 + ..
		すると、S は、正規変換で、固有値が、\sqrt{\beta_i}
		となる ( 半 ) 正値エルミート
		また、計算すると S^2 = T となる。

		[一意性]
		S' = \beta_1' P'_1 + .. が存在して、S'^2 = T とする
		仮定より、
			S'^2 = \beta_1'^2 P'_1 + .. 
		で、これが、
			T = \beta_1 P_1 + ..
		に等しい。ところが、スペクトル分解の一意性質より、
			# もちろん、適切に番号を振り直して..
			\beta_1 = \beta_1'^2
			P_1 = P_1'
		ここで、S' が正値なので、結局
			\sqrt {\beta_1} = \beta_1'
		となるので、
			S' = S

	# この定理より、正値エルミート行列 T に対して、S^2 = T
	# が唯一存在するので、以下これを \sqrt{T} で表す。

Th.[2.10]
	\all T : 正則
		\exist1 H : 正値エルミート
		\exist1 U : ユニタリ
	s.t.
		T = HU

	prof) [存在]
		TT^* は正値エルミート ( by remark )
		H = \sqrt{ HH^* } とすれば、H も正値エルミート
		U = H^{-1}T とすれば、
			U U^* = (H^{-1}T)(H^{-1}T)^*
			      = H^{-1}TT^*(H^{-1})^*
			      = H^{-1}TT^*H^{-1}
			      = H^{-1}(TT^*)H^{-1}
			      = H^{-1}HHH^{-1}
			      = I
			よって、U はユニタリ
		したがって
			T = HU
				T : 正値エルミート
				U : ユニタリ
		と表すことができる。
				   
		[一意性]

		T = H_1U_1 とすれば、
			HU = H_1U_1
 		なので、
			H_1   = H_1U_1U^{-1}
			H_1^* = ..
			      ...
			H_1^2 = H^2
		よって、
			H_1 = H	= \sqrt{TT^*}
		同様に、
			U_1 = U

==

Th. [2.10'] (行列の場合)
	任意の正則行列は、正値エルミート行列と、ユニタリ行列の積で
	一意に表現できる

	# 注意 T = HU = U'H' ともできる。


# この分解を、n = 1 と考えると、
#	z = |z| e^{i\thita}
#	    |z| .. エルミート
#	     e^{i\thita} .. ユニタリ
# と表すことができること意味するので、この一般化になっている。

==

Th. [2.11]
	H : エルミート
		# 固有値が、全て実数なので、比較可能になり..
		\alpha : 最大の固有値
		\beta  : 最小の固有値
	とすると、
		\alpha = \sup_{||x|| = 1} (Hx x) = sup_{||x|| \ne 1}\frac{(Hx x)}{(x x)} 
		\beta  = \inf_{||x|| = 1} (Hx x) = inf_{||x|| \ne 1}\frac{(Hx x)}{(x x)} 

		# これは、固有値の解析的性質の一つ

	prof)
		今、
			\alpha_1,.. を H の固有値、
		 	e_1, .. を対応する正規直交基底
		とすると、
			x = x_1 e_1 + .. ( \forall x \in V )
		と表すことができる。

		ここで、||x|| = 1 となる x を考えると、
			||x||^2 = \sigma_{i=1}^n |x_i|^2 = 1
		となることに注意。

		ここで、
			(Hx x)  = \sigma_{i=1}^n \alpha_i|x_i|^2 
		であり、\alpha は、\alpha_i の最大値なので、
		               <= \sigma_{i=1}^n \alpha|x_i|^2 
		                = \alpha \sigma_{i=1}^n |x_i|^2 
		                = \alpha
		つまり、
			(Hx x) <= \alpha

		一方、\alpha_i = \alpha となる i が存在するので、
		それに対応した固有ベクトル e_i を取ると、
			(He_i e_i) = (\alpha_i e_i e_i)
			           = (\alpha e_i e_i)
			           = \alpha (e_i e_i)
			           = \alpha
		よって、\alpha が上限であることがわかる。

		# 後ろの方は、
		#	||x|| > 0 に対して x' = x/||x|| とすれば、
		#	成立する。

		# \beta に関しても同様に証明できる。

	# これまで、エルミート空間に関して述べてきたが、これを
	# 実内積空間でも同様に述べることができるので、それをこれの続き
	# として、次回から説明する。

==

来週は、普通に講義だが、再来週と、その次は、講義の時間に、小さなテストを
行う可能性があるので、注意のこと