これまで、スペクトル分解をやってきて、これはほぼ、終った。
ただ、これまでは、複素空間でおこなってきたので、これの実数
版を行う。

§3 実数計量空間の対称変換

def.	V:実数計量空間
	（Tx y）＝（x Ty）（\for x、y \in V ）
の時 T は対称変換とよぶ。

# もちろん、複素数の世界で考えればエルイート
# したがって、T は正規変換になる。

Col.
	E: V の正規直交基底
	A: E にかんする T の行列
		T : 対称変換 <-> A: 実対称行列
	# prof) エルミート行列を実数空間に限定して考えればよい。

# T の固有値を考える場合は、T の特性根が実数かどうかを確認する必要が
# あるが、.. 実は..

Col.
	T の特性根は、すべて実数。よって、特性根は、すべて固有値。

定理 3.1
	\beta_1, .., \beta_k : T の相異なる固有値全部
	\W_1, .., \W_k : 対応する固有空間
	->
	W_i 直交 W_j ( \forall i \ne j )
	V = W_1 直和 .. W_k
	prof) ( 系 2.5 と同様に行う )
		k = dim V に関する帰納法
		# 以下略

==

系 3.2 ( 定理 2.4 )
	T が適当な正規直交基底に関して対角行列
	<-> T が対称変換
	prof)
		( <= ) T 対称
			定理 3.1 の各 W_i の正規直交基底をあわせて、 V の正規
			直交基底を作ればよい。
		( => )
			対角行列は、対称行列

系 3.2' ( 定理 2.4 )
	\exist P : 直交行列 s.t. P^{-1}AP が対角行列
	<-> T が対称変換
	prof)
		( <= )
		V = R^n, T = T_A として定理 3.2 を用いると、
		\exist < p_1, .., p_n > : 正規直交基底
			s.t. T_A P_i = \alpha_i P_i
		そこで、	
			P = ( p_1 .. p_n )
		とすれば、
                                      \alpha_1
			 T_A P = P (         \alpha_2         )
                                                ...
                                                  \alpha_n
					 ||		
                                          D
		となるので、
			 P^{-1} T_A P = D
		( => )

		P^{-1}AP = D とすると、
			A   = 	PDP^{-1}
			^tA =   ^t(PDP^{-1})
			    =   ^t(P^{-1}) ^tD ^tP
			    =   P D P^{-1}
				where
					^tP = P^{-1}
					^tD = D
==

例 1.
              2 1 1
	A ＝( 1 2 1 )	 
              1 1 2

	まず、固有多項式を計算し、固有値を求める。
		\Phi_A(x) = (x-1)^2(x-4)
	より
		固有値 1(二重), 4	
	固有値 1 に対応する固有空間 W_1 の正規直交基底をとると

                                           1
		p_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}( -1  )
                                           0

                                           1
		p_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(  1  )
                                          -2

	固有値 4 に対応する固有空間 W_2 の正規直交基底をとると

                                           1
		p_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(  1  )
                                           1

	これによって、直交行列 P = ( p_1 p_2 p_3 ) とすれば、

                                     1
		P^{-1}AP = ^tPAP = (   1   )
                                         4

==

# 射影子等も同様に定義できる。

		W \sub V
		V = W 直和 W^直交
 	のとき
		\forall \in V に対して、
			\eixst1 x_1 \in W, x_2 \in W^直交
				s.t. x = x_1 + x_2

		P : x :-> x_1 を V から W への射影子と呼ぶ。

[3.3] (2.6)
	P : 射影子 <-> P が対称変換かつ P^2 = P

定理 3.4 (2.7)
	\beta_1,..,\beta_k : T の相異なる固有値
	\forall i \exist1 P_i : 射影子
		.s.t.
			P_1 + P_2 + .. P_k  = I
			P_i P_j = O (\forall i \ne j)
			\beta_1 P_1 + .. = T
	となるとき、これをスペクトル分解とよぶ。

[3.5] (2.6)
	T の固有値が全て正 ( 非負 )
		<=> (Tx x) > (\ge) 0 ( \forall x )
	これを満す T を (半)正値対称変換

Col.
	T^*T は半正値
		T^* : T の随伴行列
			A_{T^*} = ^tA_T で定義

Col.
	(T^*x y) = (x Ty) (\forall x, y \in V )

Col.
	T : 対称	-> T^2 : 半正値
	T : 対称正則	-> T^2 : 正値

Col.
	T : (半)正値	-> \exist1 P : (半)正値 .s.t P^2 = T
		# P を \sqrt{T} で表す。

定理 3.5 (2。10)
	\forall T : 正則
		\exist1 H:正値対称, P: 直交
			s.t T = HP	 
定理 3.5' (2。10')
定理 3.6 (2。11)
	等も同様


# ここまでは sec 3. は sec 2. の焼き直し
# 	これは、特性根が、すべて、実数で、固有値になるため..


==


§4 二次形式 ( 次数が 2 次だけの項だけからなる )

 二次形式 ( 次数が 2 次だけの項だけからなる )
	x_1, .. x_2 に関する実数係数の斉二次形式を二次形式と呼ぶ

	x_ix_j の係数を a_ij

 二次形式は、一般に、

	F(x_1, .., x_n) = \Sum_{i=1,j=1}^n a_ij x_i x_j

で表現できるが、この形では、左辺があたえらたときに、右辺の a_{ij} と
a_{ji} が
一意に定まらない。そこで、a_{ij} と a_{ji} に制限をあたえ、 ( 制限
の与え方は色々があるが.. ) a_{ij} = a_{ji} とする。

この時、係数 a_{ij} の行列 A を F の行列とよぶ。

定義より、A は実対称行列になる。

	x = ( x_1,.. x_n ) とおくと
		F( x_1,.. x_n ) = F(x) = ^txAx となる。
	逆に、実対称行列 A によって、定まる二次形式 ^txAx を
		A[x] = ^txAx
	と表現する。

==

	x を 線型の変数変換をおこなって y で表現することを考える。

	P : 正則行列を与えて
		x = Py
	とする変換を考える。

	すると、
		F(x) は y にかんしても二次形式になるので、
		G(y) = F(x)
	とおくと、
		G(y) = txAx
                     = tytPAPy
		     = tPAP[y]

	# つまり、変数変換を係数行列の変換で考えることができる。

==

	# もっと、広くて ( 正則.. ) も成立するが、ここでは、すこし狭い 
        # 直交行列で考える

	P: 直交行列とすると
		tP = P-1
	なので、系 3.2' より

	[4.1] F(x) = A[x] にたいして、適当な直交行列 P をとって、 x = Py
	として、
		F(x) = G(y) = \alpha_1 y_i^2 + ..
		ただし、(固有値の順番を適当に入れ替えて..)
			 \alpha_1 .. \alpha_p > 0 
			 \alpha_p+1 .. \alpha_p+q < 0 
			\alpha_p+q+1 .. = 0 
	とできる。

	更に、
		y_i = \frac{1}{\sqrt{\alpha_i}}z_i  (\forall i \in 1 .. p )
		y_j = \frac{1}{\sqrt{\alpha_i}}z_j  (\forall i \in p+1 .. p+q )
		y_k = z_k ( これは係数が 0 なので、意味がないが形式を整え.. )
	とおきかえれば、
		F(x) = H(z) = z_1^2 + .. + z_p^2 - z_{p+1}^2 - .. - z_{p+q}^2
	とかける ( これを正規形とよぶ )

[定理 4.2] (シルベスタの慣性法則)
	標準形は一意

	prof)
		相異なる P, Q によって、それぞれ、
			x = Py
			x = Qz
		と変数変換した結果、共に標準形になったとする。つまり
		F(x) = G(y) = y_1^2 + .. y_p^2 - y_{p+1}^2 - .. y_{p+q}^2
	               H(z) = z_1^2 + .. z_s^2 - z_{s+1}^2 - .. z_{s+t}^2
		# p != s だと矛盾であることをしめす。

		 p != s なので、仮に p > s 仮定する。

		x_1, .. x_n に関する斉次一次方程式系
			y_i = P^{1}x = 0 ( \for i = p+1 .. n )
			z_j = Q^{1}x = 0 ( \for j = 1 .. s )
		を考える。これは、n - p + s 本の式で、しかも
			n - p + s < n
				( because p > s )
		を満すので、自明でない解
			x = ( x_1 ... x_n ) = ( a_1 .. a_n ) = a
		をもつ。
		また、この解が上の方程式系の根なので、
			P^{-1}a = ( b_1 b_2.. b_p 0 0 .. 0 )
			Q^{-1}a = ( 0 0          c_{s+1} .. c_{s+t} )
		よって、
			F(a_1..a_n) =
                        G(a_1..a_n) = b_1^2 + .. + b_p^2 >= 0
                        H(a_1..a_n) = - c_{s+1} - .. + c_{s+t}p^2 <= 0
             	非負と非正が等しいので、これは、全体として 0 しかありえない
		ところが、
			G(a_1..a_n) = b_1^2 + .. + b_p^2 = 0
		ということは、
			b_1 = .. = b_p = 0
		しかありえず、
			a = Pb = P(0) = 0
		なので、
			a = 0
		つまり、a が、非自明解であることに反して、矛盾
		これは、
			p > s 仮定
		したことに誤りがある。
		同様に、
			p < s 仮定
		も矛盾するので、
			p = s
		となる。
==


(p,q) 二次形式 F(x) = A[x] の符号と呼ぶ。
	p : A の正の固有値
	q : A の負の固有値

==


来週 小さなテスト  ( 9:15 から 1 時間程度 )

	1A 1B .. にたもの
	2A 2B .. にたもの

次回は、     前 1A と 後 2B
次々の回は、 前 2A と 後 1B