2003/11/28

前回 : 二次形式の定義
	変数変換を行って、簡単な形にしよう
		結局は、二乗の項目に正負の符号を付ただけ
			これを標準形と呼ぶ ( 一意性がある )
		この符号は、結局は、固有値の符号に一致するが、
		固有値を求めるより、正負を求める方が簡単なので...
			# という話を後でやる。

==

def. 二次形式 F(x) に対して
	F(x)が (半) 正値
	       <-> F(x) > (\ge) 0 ( \forall x \ne 0 )
	を満すこと。


Th.
	 F(x)が (半) 正値 <-> F を表す実対称行列 A が(半) 正値
			  <-> A の固有値の符号の個数に関して、 n = p ( q = 0 )

	prof)
		F(x) = ^txAx = (Ax x) だから。

def.
		A = {a_nn}
	の時
		A_k = {a_kk}
	と置く

Th. 4.3
	A[x] が正値
		<-> |A_k| > 0 ( \forall k = 1..n )

	prof)
		( -> )
		\vec{x} = ( x_1, .., x_n )
		\vec{x_k} = ( x_1, .., x_k )
		とすると、
			A_k[x_k] = A[x] > 0 (\forall x \ne 0 )
		よって、
			A_k[x_k] は、正値
		よって、
			A_k の固有値は全て正値
		よって、
			|A_k| は A_k の固有値を全て掛けたものに等しい
		よって、
			|A_k| は正値


		( <- ) n に関する帰納法で行う

		n = 1 の時
			A = (a_11) より明か
		n = k+1 の時
			A_k[x_k] は正値 ( 帰納法の仮定 )
			A = ( Ak | b )
                              ---+--
		              ^tb| c
			とし、
			P = ( E_k | Ak^{-1}b )
                              ----+---------
                              ^t0 | 1 
			とすると、
				A = ^tP ( Ak | 0           ) P
                                          ---+------------
					 ^t0 | c-Ak^{-1}[b]
			となる。
			ここで、 
				B = ( Ak | 0           )
                                      ---+------------
				     ^t0 | c-Ak^{-1}[b]
			とすれば、				

			定理 4.2 より、A の正値性と、B の正値性は同じ。

			また、
				|A| = |B| = |Ak| (c-A_k^{-1}[b])
					( where |P| = 1 )
			ここで、帰納法の仮定より、
				|Ak| > 0
			また仮定より
				|A| > 0
			したがって、
				d = c -Ak^{-1}[b] > 0
			ここで
				x = ( x' )
                                      -
                                     x_{k+1}
			とすると、
				B[x] = (^tx'|x_{k+1} ) ( A_k | 0 ) ( x' )
                                                         ^t0 | d   ( x_{k+1} )
				     = A_{k}[x'] + dx_{k+1}^2 < 0 ( \forall x \ne 0 }
			よって、全て正値。

	# 小さな行列式の符号判定の方が固有値の符号判定より簡単
	#	計算機などで利用される。


def. 二次形式 F(x) に対して
	F(x) が (半)負値とは
	       <-> F(x) < (\le) 0 ( \forall x \ne 0 )
	を満すこと。

		F[x] = A[x]
	の時
		-F[x] = (-A)[x]
	のなので、
		A[x] が負値 <-> -A[x] が正値

Col. 4.4
	A[x] が負値 <-> (-1)^k|A_k| > 0 ( k=1..n )
		prof)
			|-A_k| = (-1)^k|A_k| > 0


	# 全ての符号が正値或は負値の場合は、小行列の符号だけで解る
	# 一般には、符号が全て同じとは解らないので、別の方法を考える。


ラグランジェの方法 ( 符号を調べる方法 )

	二次形式に含まれる自乗の項を含む変数に関して、平方完成して、そ
	の符号だけをみればよい。

	自乗の項目がなかったらどうする ?
		xy という項目を探し、
			x' = x + y
			y' = x - y
		と変数変換すれば良い。

	# 結局は、xy という形の項目を減らす ( その結果として自乗の項目
        # しか残らない.. )

	例 1 :
	   F(x,y,z) = x^2+y^2-z^2+4xz+4yz
	            = (x+2z)^2 + (y+2z)^2 - 9z^2
		符号は、(2,1)

	例 2 :
	   F(x,y,z) = 2xy+2yz
	            = \frac{1}{2}(x'+z)^2-\frac{1}{2}(y'+z)^2
			ただし、
				x' = x + y
				y' = x - y
		符号は、(1,1)

==

# 二次形式の応用

§7 二次曲線および二次曲面

	# 曲面の式が与えられたときに、これを都合がよい座標で表現して、
	# 単純化するために、座標変換の仕組が欲しい。

def. 座標系 ( O ; E )

	空間 V^3 (平面 V^2) において、
		原点 O と、正規直交基底 E=<e_1,e_2,e_3> (=<e_1,e_2>) を考える。
			# 議論上では、単なる基底でよいが、話を簡単にするため、
			# 正規直交基底として議論する
		これによって、空間 (平面) 座標系が決定する。

	二つの座標系 (O ; E), (O' ; E') において、基底の取り換え ( E
	-> E' )行列 を T = (tij) ( これは直交行列となる ) とする。
	点 O' の座標系 ( O;E) に関する位置ベクトルを t_0 = ( t_1, t_2, t_3 )
	とする。
	点 P の (O;E), (O';E') に関する位置ベクトルを
		x = (x1,x2,x3)
		y = (y1,y2,y3)
	とすれば、
		x = t_0	+ Ty
	となる。

	# これは、線型変換ではない。そこで、疑似的に線型変換の形にするため
	# 工夫を行う。

# 非斉次 ( アファイン ) ベクトル

	ここで、

		\tild{x} = ( x )
        	             1

		\tild{y} = ( x )
        	             1

		\tild{T} = ( T | t_0 )
		             0 | 1

	とすれば、上の座標変換は、

		\tild{x}=\tild{T}\tild{y}

	と表現可能できる。

==

def.
	空間における二次曲面とは、ある座標系にかんする座標の二次式
	の零点の集合のこと
	この定義は、座標系によらない
		# 二次式を変数変換しても、二次式のままだから..

def. (二次曲線の一般形)

	二次曲線(q)
		(q) : a_11 x_1^2 + a_22 x_2^2 + 2 a_12 x_1 x_2
		    	+ 2 b_1 x_1 + 2 b_2 x_2 + c = 0

	ここで、
		A = ( a_11 a_12 )
                      a_21 a_22		( where a_21 = a_12 )
		b = (b_1)
                     b_2
		x = (x_1)
                     x_2
	とすると、
		(q): A[x] + 2(b x) + c = 0
	更に、斉次化すると..

	\tild{A} = ( A   | b )
                    -----+---
                     ^tb | c

	として、
		(q): \tild{A}[\tild{x}]
	と表現できる。

def. 
	上記の A : 係数行列
	上記の \tild{A} : 拡大係数行列


==

def 2 次曲面 (Q)
	(Q) : a_11 x_11^2 + ..

	A = (aij) ( where aij = aji )
	b = (bi)
	x = (xi) 

	(Q) : A[x] + 2(b x) + c = 0

	\tild{A} = ( A   | b )
                    -----+---
                     ^tb | c

	(Q) : \tild{A}[\tild{x}] = 0

==

二次曲線、二次曲面を A と \tild{A} の階数及び、符号で分離する。

	sgn A = ( p, q )
	sgn \tild{A} = ( \tild{p}, \tild{q} )

	この時、 p < q ならば、元の式を -1 倍する。そうすると、
	これにより、 p \ge q, \tild{p} \ge \tild{q} となる。

	# p, q と \tild{p} \ge \tild{q} が連動するかどうかが問題

	実際は、
		( \tild{p}, \tild{q} ) の可能性は、
			( p, q )
			( p + 1, q )
			( p, q + 1 )
			( p + 1, q + 1 )
	の可能性しかないので、この結果、 p > q の場合は、\tild{p} \ge
	\tild{q} が必ず成立する。