2003/12/12

# 二次曲線、二次平面の分類をやっていた。

二次曲線、二次平面の一般形

(q) : A[x]+2(b,x)+c = 0
(Q) : A[x]+2(b,x)+c = 0

拡大係数行列をつかえば、更に、簡単になる。

(q) : \tild{A}[\tild{x}]= 0
(Q) : \tild{A}[\tild{x}]= 0

これを分類するために、まず、簡単な形 ( 標準形 ) に変形することを考える。

==

直交座標変換
	\tild{x} = \tild{T}[\tild{y}]
を考えると、これによって、

	({}^t\tild{T}\tild{A}\tild{T})[\tild{y}]= 0

となる。

# ここで、Th. 4.2 より、A \tild{A} の符号は不変

	\exist T : 直交行列
	       	s.t. {}^tTATが対角行列

	# 直交行列は、対角行列に変換できる。

	このような、座標変換 x = Ty を、予め施したと考え、A は対角化しておく

# 以下、二次曲線と二次曲面では、異るので、別々に議論する。

==

[二次曲線]

	(q): \tild{A}[\tild{x}] = 0

の \tild{A} は次のような形になる。

                     \alpha_1   0        b_1
	\tild{A} = (   0      \alpha_2   b_2  )
                      b_1      b_2       c


ここで、A の Rank で分類する。

	# A は 2 行 2 列なので、Rnak は 0, 1, 2 の三通り考えられるが
	# Rank 0 の場合は、2 次の項が無くなるので、1, 2 の二通りしか
	# 考えない。

(イ) rank A = 2 の場合 ( \alpha_1 \ne 0, \alpha_2 \ne 0 )

	変数変換
		x_i = y_i - \frac{b_i}{\alpha_i} ( i = 1, 2 )
	を施すと、

	\alpha_1 x_1^2 + \alpha_2 x_2^2 + 2b_1x_1 + 2b_2x_2 + c = 0

が、

	\alpha_1 y_1^2 + \alpha_2 y_2^2 + c' = 0
		where c' = c - \frac{b_1^2}{\alpha_1} - \frac{b_2^2}{\alpha_2}

と書き直せる。

	a_1 = \sqrt{|\alpha_1|}, a_2 = \sqrt{|\alpha_2|}

とし、y_i を x_i で表す。

以下、sign A, sign \tild{A} で分類する。

	1. sign A = ( 2, 0 ), sign \tild{A} = ( 2,1 )
		楕円
			a_1^2 x_1^2 + a_2^2 x_2^2 = d^2
			     where d^2 = c'

	1'. sign A = ( 2, 0 ), sign \tild{A} = ( 3, 0 )
		空集合 
		     
	1". sign A = ( 2, 0 ), sign \tild{A} = ( 2, 0 )
		1 点

	2. sign A = ( 1, 1 ), sign \tild{A} = ( 2, 1 )
		双曲線
			a_1^2 x_1^2 - a_2^2 x_2^2 = \pm d^2
			     where d^2 = c'

	3. sign A = (1,1) sign\tild{A}=(1,1)
		互いに交わる二直線
			a_1^2 x_1^2 - a_2^2 x_2^2 = 0
			(a_1 x_1 - a_2 x_2)(a_1 x_1 + a_2 x_2) = 0

(ロ) rank A = 1 の場合 ( \alpha_1 > 0, \alpha_2 = 0 )
	sign A = (1,0)

	x_1 = y_1 - \frac{b_1}{\alpha_1} とすると、

	\alpha_1 x_1^2  + 2b_2 x_2 + c' = 0

つまり、

	\alpha_1 x_1^2  + 2b_2 ( x_2 + \frac{c'}{2b_2} ) = 0

	となる。

	これの拡大係数行列は次のようになる。

		\alpha_1	0		0
		0		0		b_2
		0		b_2		c'

	4. rank \tild{A} = 3 の時 ( b_2 \ne 0 )
		a_1^2 x_1^2 + 2b_2 x_2 = 0
	より
		放物線
			sign \tild{A} = (2,1)

	# この場合が、A の rank が 1 だが、\tild{A} の rank が 3 になる場合

	5. sign \tild{A} = 3 の時 ( b_2 = 0, c' < 0 )
		平行な二直線
			x_1^2 = d^2
			x_1 = \pm d

	5'. sign \tild{A} = (2,0) (b_2 = 0, c' > 0 )
			x_1^2 = -d^2
		空集合

	5". sign \tild{A} = (1,0) (b_2 = 0, c' = 0 )
			x_1^2 = 0
			x_1 = 0
		一直線

[まとめ] ( text p.161 - 162 )


	No.| rank A | sign A | rank \tild{A} |sign \tild{A} | 図形
	-------------------------------------------------------------
	1  |        |        |               | (2,1)        | 楕円
	1' |    2   | (2,0)  | 3             | (3,0)        | 空集合
	   |        |        ---------------------------------------
	1' |        |        | 2             | (2,0)        | 一点

		.........


# この表をみれば、A, \tild{A} の符号だけで、形を答えることができる。

	本来の二次曲線は、楕円、放物線、双曲線の三つのみ
		rank \tild{A} = 3
==

[2 次曲面]
	# 二次元と同様、対角化する。

(イ) rank A = 3 の時
	1. sign A = (3,0), sign \tild{A} = (3,1)  ( c' < 0 )
		楕円面
			a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 + a_3^2 x_3^2 = d^2

	1'. sign A = (3,0), sign \tild{A} = (4,0)  ( c' > 0 )
		空集合

	1''. sign A = (3,0), sign \tild{A} = (3,0)  ( c' = 0 )
		一点

	2. sign A = (2,1), sign \tild{A} = (2,2)  ( c' < 0 )
		一葉双曲面 (一葉 とは一つながりの意味 )
			a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 - a_3^2 x_3^2 = d^2

	2'. sign A = (2,1), sign \tild{A} = (3,1)  ( c' > 0 )
		二葉双曲面 (二葉 とは二つの部分からなるの意味 )
			a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 - a_3^2 x_3^2 = -d^2

	2". sign A = (2,1), sign \tild{A} = (2,1)  ( c' = 0 )
		楕円錘面
			a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 - a_3^2 x_3^2 = 0

# Text p.164 の図形を確認

(ロ) rank A = 2 の時

		x_i = y_i - \frac{b_i}{\alpha_i}
	とする ( 平行移動 ) と、
 
	a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 - 2 b_3^2 x_3 - c' = 0

	この時、係数行列は次のようになる。	

	\alpha_1 	0		0	0		
	0		\alpha_2 	0	0
	0		0		0	b_3
	0		0		b_3	c'

	5. sgnA=(2,0) rank\tild{A} = 4 ( b_3 \ne 0 )
		楕円放物面
			a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 = b_3^2 x_3^2
				# sign\tild{A} = (3,1)

	6. sign A = (2,0) sign \tild{A} = (2,1) ( b_3 = 0, c' < 0 ) 
		楕円柱面
			a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 = d^2 ( d > 0 )

	6' sign A = (2,0) sign \tild{A} = (3,0) ( b_3 = 0, c' > 0 ) 
		空集合

	6" sign A = (2,0) sign \tild{A} = (2,0) ( b_3 = 0, c' = 0 )
		一直線 ( x_1 = x_2 = 0 )
			a_1^2 x_2^2 + a_2^2 x_2^2 = 0

	7  sign A = (1,1), rank \tild{A} = 4( b_3 \ne 0, sign\tild{A} = (2,2) )
		双曲放物面
			a_1^2 x_2^2 - a_2^2 x_2^2 = b'x_3

	8. sign A = (1,1), sign\tild{A}=(2,1) ( b_3 = 0, c' \ne 0 )
		双曲柱面
			a_1^2 x_2^2 - a_2^2 x_2^2 = \pm d^2

	9. sign A = (1,1), sign\tild{A}=(1,1) ( b_3 = 0, c' = 0 )
		互いに交わる二平面
			a_1^2 x_2^2 - a_2^2 x_2^2 = 0
			(a_1 x_2 - a_2 x_2)(a_1 x_2 + a_2 x_2) = 0

(ハ) rank A = 1 の時
		x_1 = y_1 - \frac{b_1}{\alpha_1}
	とすれば、拡大行列は次のようになる。

	\alpha_1 	0		0	0		
	0		0		0	b_2
	0		0		0	b_3
	0		b_2		b_3	c'

	# ここで、二列目と三列目は独立でないので、rank は 3 以下
	sign A = ( 1, 0 )

	10. sign A = ( 1, 0 ) rank \tilda{A} = 3 ( b_2^2 + b_3^2 \ne 0 )
		# b_2 と b_3 のどちらかが 0 でないので、b_2 \ne 0 の場合のみ
		# を考える

		b_2 \ne 0 とすると

	
		a_1^2x_1^2 + 2 b_2 ( x_2 + \frac{b_3}{b_2} + \frac{c'}{2b_2} ) = 0

		放物柱面
			x_2^2 = b' x^2

		この時、拡大係数行列は以下のようになるので、

	\alpha_1 	0		0	0		
	0		0		0	b_2
	0		0		0	0
	0		b_2		0	0

		sign\tild{A} = (2,1)



	11. sign A = ( 1, 0 ) sign \tilda{A} = (1,1) ( b_2 = b_3 = 0, c' < 0 )
		平行な二平面
			x_1^2 = d^2
			x_1   = \pm d

	11'. sign A = ( 1, 0 ) sign \tilda{A} = (2,0) ( b_2 = b_3 = 0, c' > 0 )
		空集合

	11". sign A = ( 1, 0 ) sign \tilda{A} = (1,0) ( b_2 = b_3 = 0, c' = 0 )
		一平面
			x_1^2 = 0
			x_1 = 0

同様に、二次曲面に関する表を書くことができる ( text p.162-164 )。

	本来の二次曲面は、
		rank \tild{A} = 4

==

問題の形式
	二次式を与えて、それが表す図形の名前言わせる問題