章末問題

# 遅刻したので、冒頭部分はメモなし... (_v_)

8.
i) x^2+2y^2+3z^2+2xy-2xz+2yz

   x^2+2y^2+3z^2+2xy-2xz+2yz
= (x+y-z)^2+y^2+2z^2+4yz
= (x+y-z)^2+(y+2z)^2+(\sqrt{2}z)^2

よって、符号は、(2,1)

ii) x^2+2y^2-z^2-u^2+2xy-2yz+2yu-6zu

  x^2+2y^2-z^2-u^2+2xy-2yz+2yu-6zu
= (x+y)^2+y^2-z^2-u^2-2xy
= (x+y)^2+(y-z+u)^2-2z^2-2u^2-4zu
= (x+y)^2+(y-z+u)^2-(\sqrt{2}z+\sqrt{2}u)^2

よって、符号は、(2,1)

9. X=(xij) の二次形式を考え、その Tr X^2 を考える。

X^2=Y=(yij) とすると

	yij=\Sum_{k=1}^{n} xik xkj

なので、

	Tr X^2 = \Sum_{i=1}^{n} yii
	       = \Sum_{i=1}^{n}\Sum_{k=1}^{n} xik xki
               = (x11^2 + x22^2 + .. + xnn^2)
                 +2( x12x21 + x13x31 + .. + x_{n-1}_{n} x_{n}_{n-1})

前者は、既に、標準化しているので、そのまま
後者は、次のような変数変換をすれば、

		 x12' = \frac{x12+x21}{2}
		 x21' = \frac{x12-x21}{2}

	より、

		2 x12 x21 = \frac{1}{2}x12' - \frac{1}{2}x21' 

結局、
	Tr X^2 の符号は
		正 :  n (前者) + nC2 (後者) = \frac{n(n+1)}{2}
		負 :           + nC2 (後者) = \frac{n(n-1)}{2}

10.
A=(aij) : が正値エルミート
	=> |A| \le a11 a22 .. ann

prof)
	A 正値 => A{-1} は正値エルミート
	prof)
			A = \beta_1P_1 + .. + \beta_nPn : スペクトル分解
		ここで、
			B = \frac{1}{\bata_1}P_1 + .. + \frac{1}{\bata_1}P_1
		とおけば、B は正値エルミート、一方、
			AB = E
		なので、B は、A の逆行列

	ここで、

		A = ( An-1     | b   )
        	      ^t\bar{b}| ann

	とすると、An-1 は、正値エルミート
	prof)	
		A^* = A より An-1^* =  An-1 つまり、エルミート
		(An-1x,x) = (A\~x,\~x) > 0 (\all x \ne 0)
			  for \~x = (x)
                                     0
		よって、An-1 は、正値

	定理 4.3 と同様にして

		|A| = |An-1|(ann-An-1{-1}[b])
                    = ann|An-1| |An-1| An-1^{-1}[b]

	ここで、後の項目は、|An-1|は正, An-1^{-1}[b] も非負 ( b = 0 の時 0 )
	なので、
		|A| \ge |An-1|ann

	以下、帰納法を利用すると、
		|A| \ge |An-1|ann
	より、
		|A| \ge a11..ann
	符号は、
		b=0 の時だから、対角行の時となる。


11. アダマールの不等式
	A = ( a1, .., an )
		=>
	| det A | \ge ||a1|| ||a2|| .. ||an||

prof)
	^tA \bar{A} = ( ^t a1 ) ( a1^* .. an^* )
                        ^t a2
                         ..
                        ^t an

                    = ( (ai,aj) )

ここで、10 より
	det( ^tA \bar{A} ) \ge (a1 a1) (a2 a2) .. (an an)
よって、
      	(det( ^tA ))(det( \bar{A} ) \ge ||a1||^2  ||a2||^2  ||an||^2 
             ||
             |det A|^2

二乗同士でこの関係なので、

	| det A | \ge ||a1|| ||a2|| .. ||an||

が成立。

なお、等号の成立に関しては、
	等号の成立 <=> tA \bar{A} が対角行列
                   <=> (ai aj) = 0
                   <=> ai, aj が直交
                   <=> A がユニタリ 

==

後期の問題
	1. 第4 と 第5 の間の問題
	2. 第4 と 第5 の間の問題
	3. シュミット
	4. スペクトル分解
	5. 二次形式関係

後期の点が、成績の主な内容
次が、演習の成績