\documentclass[a4j]{jarticle}

%%
%% $Id$
%%

\input{style.tex}
\input{macro.tex}

\newcommand{\tV}[2]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right)}
\newcommand{\TV}[3]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right)}
\newcommand{\FV}[4]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right)}
\newcommand{\V}{v_{you}}

\newcommand{\OL}[1]{\overline{#1}}

\newcommand{\TE}[3]{\left|\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right|}


%%
%%
%%

\title{代数学幾何学演習II (小テスト 2003/12/05 午前クラス の解答案)}
\date{2003年12月19日(Ver 0.01)}
\author{栗野 俊一}

%%
%%
%%

\begin{document}
\maketitle

ユニタリ行列(直交行列)を用いて対角化せよ。

\begin{description}

\item[(1)] \[ \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{array}\right) \]

\begin{Ans}

次の手順で、問題を解く。

  \begin{description}
  \item[固有値] 固有方程式を解き、固有値を求める。
  \item[固有ベクトル] 固有ベクトルを求め、正規直交化する。
  \item[ユニタリ行列] 固有ベクトルを利用してユニタリ行列とその逆行列を求める。
  \item[対角化] ユニタリ行列を用いて、与えられた行列を対角化する。
  \end{description}

以下、与えられた行列 $A$ で表す。

\begin{description}
\item[固有値] まず、固有多項式を求めると、次のようになる。

定義より、行列 $A$ の固有多項式は次のようになる。

\[
\Phi_A(x) = |A - xE|
\]

よって、これを計算すると、


\begin{eqnarray}
\Phi_A(x) &=& |A - xE| \\
          &=& 
\left| \begin{array}{rrr}
   -1 &  0 &  3 \\
    0 &  2 &  0 \\
    3 &  0 & -1
\end{array}\right|
- 
\left| \begin{array}{rrr}
  x &   &   \\ 
    & x &   \\ 
    &   & x
\end{array}\right| \\
          &=& 
\left| \begin{array}{rrr}
   -1 - x &  0     &  3     \\
    0     &  2 - x &  0     \\
    3     &  0     & -1 - x
\end{array}\right| \\
      &=& (-1-x)(2-x)(-1-x) + 0\cdot0\cdot3 + 3\cdot 0 \cdot 0 \\
      & & - 3\cdot (2-x) \cdot 3 - 0\cdot0\cdot(-1-x) - (-1-x)\cdot0\cdot0\\
      &=& (-1-x)(2-x)(-1-x) -9(2-x) \\
      &=& (2-x)\{(1+x)^2 -3^2\} \\
      &=& (2-x)\{((x+1)+3)((x+1)-3)\} \\
      &=& (2-x)\{(x+4)(x-2)\} \\
      &=& -(x-2)^2(x+4)\\
\end{eqnarray}

これより、固有方程式は

\[
-(x-2)^2(x+4) = 0
\]

これを解くと、解は、

\[
x = 2(\mbox{重解}), -4
\]

となるので、行列 $A$ の固有値は、次のようになる。

\[
\mbox{固有値} 2, -4
\]

  \item[固有ベクトル] 固有値がわかったので、これを利用して、固有ベクトルを
求める。

    \begin{description}
    \item[固有値 2 に対応する固有ベクトル]
固有値 2 に対応する固有ベクトルが所属する固有空間$W_{2}$は、次のように
与えられる。

\[
W_2 = \{ v \in V^3 | Av = 2v \}
\]

ここで、固有ベクトル $v$ 要素を $x_1,x_2,x_3$ とすれば、これらに
関する方程式を立てることができ、それは次のようになる。

\begin{eqnarray}
Av - 2v &=& 0 \\ 
Av - 2Ev &=& 0 \\ 
(A - 2E)v &=& 0 \\ 
\left(\left( \begin{array}{rrr}
   -1 &  0 &  3 \\
    0 &  2 &  0 \\
    3 &  0 & -1
\end{array}\right)
   -
\left( \begin{array}{rrr}
    2 &  0 &  3 \\
    0 &  2 &  0 \\
    0 &  0 &  2
\end{array}\right)\right)
\TV{x_1}{x_2}{x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   -1 - 2 &  0     &  3     \\
    0     &  2 - 2 &  0     \\
    3     &  0     & -1 - 2
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2}{x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   -3 &  0  &  3     \\
    0 &  0  &  0     \\
    3 &  0  & -3
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2}{x_3} &=& 0
\end{eqnarray}

よって、

\[
\left\{
\begin{array}{rrrrr}
-3 x_1 & + 0 x_2 & + 3 x_3 & = & 0 \\
 0 x_1 & + 0 x_2 & + 0 x_3 & = & 0 \\
 3 x_1 & + 0 x_2 & - 3 x_3 & = & 0
\end{array}
\right.
\]

ここで、二つ目の等式は意味がない
\footnote{
ここでは、この式 ($0=0$は、連立方程式の変数$x_1,x_2,x_3$に対する制限条
件となっていないという意味で、「無意味」だと称しているにすぎない。この
等式も、「固有空間$W_2$ を定める条件の一つという」意味では重要なのだが、
$0=0$ という条件は常に成立するので、以下 ( 成立する以上は.. ) 考慮する
必要がないというだけである。逆に、もし、この式が $0=1$ の様に、逆に、
常に成立しないような式であれば、逆に $W_2$ が空集合 ( この条件を満す要
素がないので.. ) ということを表現しているので、重用度は、当然、他の式
と同じ位いある。
}
し、一つ目の式と三つ目のは同じ\footnote{一つ目の式の全体に (-1) を
掛ければ、三つ目の式と同じになる。} なので結局、

\[
	x_1 = x_3
\]

のみが、固有空間 $W_4$ を定める条件となる。すなわち、

\[
W_2 = \left\{ \left.\TV{t_1}{t_2}{t_1} \right| t_1, t_2 \in R \right\}
\]

である。

変数が 3 つで、条件式が 1 つなので、この $W_2$ の次元は 2 ( 3 - 1 ) となり
これから、独立なベクトルを 2 つ取ることができる
\footnote{
この2 つのベクトルは、互いに独立で、その個数が$W_2$ の次元 (2) に等しい
わけであるから、実は、固有空間 $W_2$ の基底になっている。
}。

そこで、できるだけ、要素の中に $0$ が多くなるよう
\footnote{
これは、「計算を楽にする」ための典型的なテクニックである。
}
に、次のような二つのベクトルを取る。

\[
v_1 = \TV{1}{0}{1}, ( t_1 = 1, t_2 = 0 ) \\ 
v_2 = \TV{0}{1}{0}, ( t_1 = 0, t_2 = 1 )
\]

これが、固有値 2 に対応する 行列 $A$ の固有ベクトルである。

この固有ベクトルは、ユニタリ行列を作るために、利用しなければならないので、
正規直交化を行う必要がある
\footnote{上記の注にあるように、元々この 2 つのベクトルは $W_2$ の基底
になっていたわけであるから、それを正規直交化した結果は、 $W_2$ の正規
直交基底になるわけである。}。

本来ならば
\footnote{
このように、「本来なら沢山の計算 (この場合は、シュミットの直交化法)を
しなければならない」くても、具体的な数が与えられている場合は、愚直に
規則を適用するのではなく、柔軟に扱ってよい。そのために、日頃、「簡単で
済ませてよいパターン」というのを身に付けておく必要がある。
}、ここで、シュミットの直交化法を適用すべきだが、良くみると、
既に、$v_1$ と $v_2$ は、直交している
\footnote{
内積 $(v_1, v_2)$ を計算してみると、次のように $0$ になっているので、
直交していることがわかる。

\begin{eqnarray}
(v_1,v_2)
   &=& \left( \TV{1}{0}{1}, \TV{0}{1}{0} \right) \\
   &=& ( 1\cdot\OL{0} + 0\cdot\OL{1} + 1\cdot\OL{0} ) \\
   &=& 0 + 0 + 0 \\
   &=& 0 \\
\end{eqnarray}
}。

従って、正規化だけを行えばよい。更に、$v_2$ は、既に、正規化されている
\footnote{
実際に $|v_2|$ を計算すると、次のように $1$ になっていることがわかる。
\begin{eqnarray}
|v_2|
   &=& \sqrt{(v_2,v_2)} \\
   &=& \sqrt{\left( \TV{0}{1}{0}, \TV{0}{1}{0} \right)} \\
   &=& \sqrt{( 0\cdot\OL{0} + 1\cdot\OL{1} + 0\cdot\OL{0} )} \\
   &=& \sqrt{0 + 1 + 0} \\
   &=& \sqrt{1} \\
   &=& 1 \\
\end{eqnarray}
}。したがって、$v_1$ のみを正規化すればよい。これは、$v_1$ を $|v_1|$
で割るだけである。

\begin{eqnarray}
|v_1|
   &=& \sqrt{(v_1,v_1)}\\
   &=& \sqrt{\left( \TV{1}{0}{1}, \TV{1}{0}{1} \right)} \\
   &=& \sqrt{( 1\cdot\OL{1} + 0\cdot\OL{0} + 1\cdot\OL{1} )} \\
   &=& \sqrt{1 + 0 + 1} \\
   &=& \sqrt{2} \\
\end{eqnarray}

よって、$W_2$ の正規直交基底 $u_1, u_2$ は、次のように与えられる。

\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{0}{1}, \TV{0}{1}{0}
\]

    \item[固有値 -4 に対応する固有ベクトル] 固有値が 2 と同様にして固有空間
$W_{-4}$ に所属するベクトル $v$ の要素 $x_1,x_2,x_3$ に関する連立方程式を
たてると、次のようになる
\footnote{
ここで、最初と最後は同じ式なので、結局、有効な式は二つになり、
$W_{-4}$ の次元は、1 となり、独立したベクトル ($W_{-4}$の基底となる)
は 1 つしか取れないことが解る。
}
。

\[
\begin{array}{rrrrr}
 3 x_1 & + 0 x_2 & + 3 x_3 & = & 0 \\
 0 x_1 & + 6 x_2 & + 0 x_3 & = & 0 \\
 3 x_1 & + 0 x_2 & + 3 x_3 & = & 0
\end{array}
\]

よって、これを解くと、次のようになる。

\[
\left\{\begin{array}{rrr}
  x_1 &=& - x_3 \\
  x_2 &=& 0  \\
\end{array}\right.
\]

よって、固有空間 $W_{-2}$ は次のようになる。

\[
W_{-4} = \left\{\left. \TV{t_1}{0}{-t_1} \right| t_1 \in R\right\}
\]

ここから、$0$ でないベクトル $v_3$ を取る。例えば、$t_1 = 1$ とすれば、

\[
v_3 = \TV{1}{0}{-1}
\]

となる。同様に正規直交化しなければならないが、一つしかないので、直交は
保証されているので、正規化のみを行えばよい。

よって、

\[
u_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{0}{-1}
\]

    \end{description}

よって、これから、次のような $R^3$ の正規直交基底となる
\footnote{
$u_1,u_2,u_3$ が正規であることは明かであるが、「直交」で、かつ「基底」
であることは、本来示す必要がある。ところが、$W_2$ と $W_{-4}$ が、直交
しているために、$u_1,u_2$ と $u_3$ が直交し、、独立になることが自然に
示される。さらに、$u_1$ と $u_2$ も、直交化済みである。最後に、
$R^3$ の次元が 3 なので、独立な 3 つのベクトルがあれば、それは基底となる
ので、結局、$u_1,u_2,u_3$ は、$R^3$ の正規直交基底となるわけである。
}固有ベクトルを求めることができた。

\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{0}{1}, \TV{0}{1}{0}, \frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{0}{-1}
\]

  \item[ユニタリ行列] ユニタリ行列 ($U$) は、上記の正規直交化された固有ベクトル
($u_1,u_2,u_3$) が与えられれば簡単に作成できる。

\[
U = ( u_1 u_2 u_3 ) = 
\left(\begin{array}{rrr}
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &   \frac{1}{\sqrt{2}} \\
                  0 & 1 &                    0 \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\right)
\]

また、$U$ の 逆行列 $U^{-1}$ は、$U$ がユニタリ
\footnote{
正規直交基底を並べて作られた行列はユニタリ行列になる。
}
なので$U^{*}$ に等しい
\footnote{
これが、わざわざ、固有ベクトルを元めた後に、正規直交化の労を
取った理由である。直交化を行う行列$V$を、正規直交化しなない
固有ベクトル $v_1, v_2, v_3$ を並べて作成し、これの逆行 $V^{-1}$を
を素直に、(ガウスの消去法等を用いて)計算しても構わないが、それは
計算が大変である。
}。

したがって、$U^{-1}$ は次のように求めることができる。

\begin{eqnarray}
U^{-1} 
   &=& U^{*} \\
   &=& \OL{{}^tU} \\
   &=&\OL{{}^t
\left(\begin{array}{rrr}
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &   \frac{1}{\sqrt{2}} \\
                  0 & 1 &                    0 \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\right)} \\
   &=&\OL{
\left(\begin{array}{rrr}
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &   \frac{1}{\sqrt{2}} \\
                  0 & 1 &                    0 \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\right)} \\
   &=&
\left(\begin{array}{rrr}
 \OL{\frac{1}{\sqrt{2}}} & \OL{0} &   \OL{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\
                  \OL{0} & \OL{1} &                    \OL{0} \\
 \OL{\frac{1}{\sqrt{2}}} & \OL{0} & \OL{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \\
\end{array}\right) \\
   &=&
\left(\begin{array}{rrr}
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &   \frac{1}{\sqrt{2}} \\
                  0 & 1 &                    0 \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\right) \\
\end{eqnarray}

  \item[対角化] 既に、対角化のための行列 $U$ が与えられ、その逆行列 $U^{-1}$ 
が求まっているので、後は計算するだけである。

\[
AU = U\Lambda
\]

より、

\[
\Lambda = U^{-1}AU \\
\]

なので、対角変化行列 ($\Lambda$) は、次のように計算される
\footnote{
実際には、この行列の計算を行わなくても、計算結果となる$\Lambda$ は、
対角要素に固有値が並ぶ対角行列になることは分っている。

もちろん、並びかたにバリエーションがあるので、簡単に、どれとはいえない
が、これは $U$ を決める時の、固有ベクトルの並びによって、確定するので、
簡単に判断できる(つまり、左から固有ベクトルを並べてゆくと、そのベクトル
に対応した固有値が、左からならぶ。今回の例では、$U=(u_1 u_2 u_3)$ 
と並べたので、それぞれ、$u_1, u_2, u_3$ に対応した固有値 $2, 2, -4$ が
対角要素として並ぶことになる。)。
}
。

\begin{eqnarray}
\Lambda
  &=& U^{-1}AU \\
  &=& 
\left(\begin{array}{rrr}
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &   \frac{1}{\sqrt{2}} \\
                  0 & 1 &                    0 \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\right) 
\left( \begin{array}{rrr}
   -1 &  0 &  3 \\
    0 &  2 &  0 \\
    3 &  0 & -1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rrr}
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 &   \frac{1}{\sqrt{2}} \\
                  0 & 1 &                    0 \\
 \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array}\right) \\
  &=& 
\left(\begin{array}{rrr}
   2 & 0 & 0 \\
   0 & 2 & 0 \\
   0 & 0 & -4 \\
\end{array}\right) \\
\end{eqnarray}

  \end{description}

\end{Ans}


\item[(2)] \[ \left(\begin{array}{rrr} 3 & -i & -1 \\ i & 5 & -i \\ -1 & i & 3 \end{array}\right) \]

\begin{Ans}

\end{Ans}

\end{description}

\section{スペクトル分解}
スペクトル分解を求めよ。

\begin{description}

\item[(1)] \[ \left(\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right) \]

\begin{Ans}
解答は、以下のようになります。

\begin{description}
\item[固有多項式] $x^3-12x+16$
\item[固有値] $2, -4$
\item[固有ベクトル] 
\[
u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{-1}{0}, 
u_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{1}{1}{-2}, 
u_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{1}{1}{1}
\]
\item[ユニタリ行列]
\[
 \left(\begin{array}{rrr}
   \frac{1}{\sqrt{2}} &     \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
 - \frac{1}{\sqrt{2}} &     \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
                    0 &  - 2\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
  \end{array}\right)
\]
\item[ユニタリ行列の逆行列] 
\[
 \left(\begin{array}{rrr}
   \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
   \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & - 2\frac{1}{\sqrt{6}} \\
 \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
  \end{array}\right)
\]
\item[射影子]
   \begin{description}
   \item[2 の 射影子]
\[
P_2 = 
 \left(\begin{array}{rrr}
   \frac{1}{\sqrt{2}} &     \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 \\
 - \frac{1}{\sqrt{2}} &     \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 \\
                    0 &  - 2\frac{1}{\sqrt{6}} & 0
  \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{rrr}
   \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
   \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & - 2\frac{1}{\sqrt{6}} \\
 \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
  \end{array}\right)
=
 \left(\begin{array}{rrr}
   \frac{2}{3} &  -\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\
  -\frac{1}{3} &   \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\
  -\frac{1}{3} &  -\frac{1}{3} &   \frac{2}{3}
  \end{array}\right)
\]
   \item[-4 の 射影子]
\[
P_{-4} = 
 \left(\begin{array}{rrr}
   0 &   0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
   0 &   0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
   0 &   0 & \frac{1}{\sqrt{3}}
  \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{rrr}
   \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
   \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & - 2\frac{1}{\sqrt{6}} \\
 \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
  \end{array}\right)
=
 \left(\begin{array}{rrr}
   \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
   \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
   \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}
  \end{array}\right)
\]
   \end{description}
\end{description}

\end{Ans}

\item[(2)] \[ \left(\begin{array}{rrrr}
 0 &  i &  1 & -i \\ 
-i &  0 &  i &  1 \\ 
 1 & -i &  0 &  i \\
 i &  1 & -i &  0 \end{array}\right) \]

\begin{Ans}
解答は、以下のようになります。

\begin{description}
\item[固有多項式] $(x-1)^3(x+3)$
\item[固有値] $1,-3$
\item[固有ベクトル] 
\[
u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\FV{1}{0}{1}{0}, 
u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\FV{0}{1}{0}{1}, 
u_3 = \frac{1}{2}\FV{i}{1}{-i}{-1}
u_4 = \frac{1}{2}\FV{-1}{-i}{1}{i}
\]
\item[ユニタリ行列]
\[
 \left(\begin{array}{rrrr}
\frac{1}{\sqrt{2}} &                 0 & \frac{1}{2} i & - \frac{1}{2}   \\
                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}   & - \frac{1}{2} i \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &                 0 &-\frac{1}{2} i &   \frac{1}{2}   \\
                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{2}   &   \frac{1}{2} i \\
  \end{array}\right)
\]
\item[ユニタリ行列の逆行列] 
\[
 \left(\begin{array}{rrrr}
\frac{1}{\sqrt{2}}&                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &                0 \\
                0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}}\\
  - \frac{1}{2} i & \frac{1}{2}       &     \frac{1}{2} i & -  \frac{1}{2} \\
  - \frac{1}{2}   & \frac{1}{2} i     &     \frac{1}{2}   & -  \frac{1}{2} i \\
  \end{array}\right)
\]
\item[射影子] 固有値が二つあるので二つの射影子がある。
   \begin{description}
   \item[1 の 射影子]
\[
P_1 =
 \left(\begin{array}{rrrr}
\frac{1}{\sqrt{2}} &                 0 & \frac{1}{2} i & 0 \\
                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}   & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &                 0 &-\frac{1}{2} i & 0 \\
                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &-\frac{1}{2}   & 0 \\
  \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{rrrr}
\frac{1}{\sqrt{2}}&                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &                0 \\
                0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}}\\
  - \frac{1}{2} i & \frac{1}{2}       &     \frac{1}{2} i & -  \frac{1}{2} \\
  - \frac{1}{2}   & \frac{1}{2} i     &     \frac{1}{2}   & -  \frac{1}{2} i \\
  \end{array}\right)
    =
\frac{1}{4}
 \left(\begin{array}{rrrr}
  0 &  i &  1 & -i \\
  i &  0 &  i &  1 \\
  1 & -i &  0 &  i \\
  i &  1 & -i &  0 \\
  \end{array}\right)
\]
   \item[-3 の 射影子]
\[
P_{-3} = 
 \left(\begin{array}{rrrr}
   0 &   0 & 0 & - \frac{1}{2}   \\
   0 &   0 & 0 & - \frac{1}{2} i \\
   0 &   0 & 0 &   \frac{1}{2}   \\
   0 &   0 & 0 &   \frac{1}{2} i \\
  \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{rrrr}
\frac{1}{\sqrt{2}}&                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &                0 \\
                0 &\frac{1}{\sqrt{2}} &                 0 &\frac{1}{\sqrt{2}}\\
  - \frac{1}{2} i & \frac{1}{2}       &     \frac{1}{2} i & -  \frac{1}{2} \\
  - \frac{1}{2}   & \frac{1}{2} i     &     \frac{1}{2}   & -  \frac{1}{2} i \\
  \end{array}\right)
=
\frac{1}{4}
 \left(\begin{array}{rrrr}
  1 & -i & -1 &  i \\
  i &  1 & -i & -1 \\
 -1 &  i &  1 & -i \\
 -i & -1 &  i &  1 \\
  \end{array}\right)
\]
   \end{description}

\end{description}

\end{Ans}

\end{description}

\section{実交代行列の固有値}

実交代行列の固有値は全て純虚数または 0 であることを示せ。

\end{document}
