\documentclass[a4j]{jarticle}

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\newcommand{\tV}[2]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right)}
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\title{代数学幾何学演習II (対角化)}
%\date{2003年12月19日}
\date{2007年9月19日\footnote{4 年振に内容をみたら細かい所で誤りが沢山あったので、訂正した}}
\author{栗野 俊一\thanks{日本大学理工学部数学科 (kurino@math.cst.nihon-u.ac.jp)}}

\begin{document}
\maketitle

\section{対角化}

\subsection{対角行列}

正方行列 $A$ が、対角行列ということは、対角要素以外の要素が全て、 $0$ で
ある場合を言う。

\begin{description}
\item[例]

\[
\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
\]

ここで、対角要素 $a_{11} = 3, a_{22} = 2,  a_{33} = -1 $ 以外の要素が
全て $0$ になっていることを注意しよう。

\end{description}

\subsection{対角化すること}

対角行列以外の行列 $A$ が与えられた時に、ある正則行列 $V$ と、
対角行列$\Lambda$ を見つけ出し、$\Lambda = V^{-1}AV$ を満すように
できたとき、「行列 $A$ は、$V$ 利用して、$\Lambda$ と対角化された」という
\footnote{このような$\Lambda$ と $V$ の組は複数組あることに注意しよう。}。

したがって、「対角化せよ」と言われた場合は、この対角行列$\Lambda$と
正則行列$V$ を具体的に求めればよい
\footnote{
狭い意味では、行列 $A$ から、このような対角行列$\Lambda$を求めることが
「対角化」であり、$V$ は不要なのだが、通常に問題がでる場合は、$V$ も
一緒に求められることが多い。}。

\section{対角化の解法}

\subsection{対角化の流れ}

対角化を行う場合、$V$ をユニタリ行列とするかどうかを決める必要がある
\footnote{それによって、手順が異なる。}
。

特に、問題に「ユニタリ行列を使って」とある場合は、これを使わなければ
ならないが、そうでなければ、別にユニタリ行列にする必要はない
\footnote{
もし、$V$ をユニタリにしない場合は、$V^{-1}$ の計算が面倒になるので、
$V^{-1}$ を計算するのであれば、ユニタリにした方が簡単になる。

しかし、後で述べるように、「対角化」の場合は、実際には、$V^{-1}$ を
計算する必要はない。
}。

\subsubsection{ユニタリ行列を利用しない場合}

ユニタリ行列を利用しない場合の手順は以下のようになる。

\begin{enumerate}
\item 固有値を求める ( 例えば、$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 $ としよう )。
\item 固有ベクトルを求める ( 例えば、$v_1, v_2, v_3 $ としよう )。
\item 固有ベクトルを縦ベクトルとする行列 $V=(v_1, v_2, v_3)$ を作る
\footnote{この $V$ が、$A$ を対角化するために利用される正則行列となる。}
。
\item $V$ の逆行列 $V^{-1}$ を計算する。
\item $\Lambda = V^{-1}AV$ を計算する。この $\Lambda$ が、対角行列となる。
\end{enumerate}

実は、計算してみると解るのだが、$\Lambda$ は、対角要素に、固有値 
$\lambda_1,\lambda_3,\lambda_3$ が並んだ行列となっている。 したがって、
実際には、固有値と固有ベクトルの二つが求められた時点で、解となる、
対角行列と、対角を行うための行列の二つが分っており
\footnote{
もちろん、$\lambda_i$ や、$v_i$ を求める計算が正しければという前提であ
る。実際に、計算が正しかったかどうかは、具体的に、$V^{-1}$ や、
$\Lambda$ を計算し、確認しなければならない。}、
その後の逆行列の計算や、実際の対角行列の積の計算は(結果的に..)不要にな
る。

したがって、問題としては、通常 $V^{-1}$ を具体的に求めるように要求され
たることが多い。その場合は、$V^{-1}$ の計算を楽にするために、
特に、指示されてなくても、次のユニタリ行列を利用する方法を選んだが方が
結果的に計算が楽になる。

\subsubsection{ユニタリ行列を利用する場合}

$V$ をユニタリ行列にする場合の手順は、次のようになる。

\begin{enumerate}
\item 固有値を求める ( 例えば、$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 $ としよう )。
\item 固有ベクトルを求める ( 例えば、$v_1, v_2, v_3 $ としよう )
\footnote{ここまでは、ユニタリ行列を利用するしないにかかわらず同じである。}。
\item 固有ベクトルを正規直交化する
\footnote{ベクトルの正規直交化のためには、シュミットの直交化技法を利用
する。}。( 例えば、$u_1, u_2, u_3$ としよう )
\item 正規直交化された固有ベクトルを縦ベクトルとする行列 $U=(u_1, u_2,
u_3)$ を作る
\footnote{この $U$ が、$A$ を対角化するために利用される正則行列となるという
点は、上と同じだが、ポイントは、それと同時にこの $U$ がユニタリ行列になるとい
う点である。これは、$u_1, u_2, u_3$ を正規直交化した御陰である。}。
\item $U$ の逆行列 $U^{-1}$ を計算する替りに $U^{*} = \overline{{}^tU}$ 
を計算する。実は、この $U^{*}$ は $U^{-1}$ に等しい
\footnote{$U$ がユニタリであることから $U^{*} = U^{-1}$ が成立する。し
たがって、ここでやっていることも、実は、上と同じ $U^{-1}$ を計算してい
るという点で同じ作業を行っていることがわかる。ただ、$U^{-1}$ を計算す
るより、$U^{*}$ を計算する方がずっと、簡単にできるというだけである。}。
\item $\Lambda = U^{-1}AU = U^{*}AU$ を計算する。この $\Lambda$ が、対
角行列となる。
\end{enumerate}

$V$ をユニタリを利用する場合は、途中で、固有ベクトルの正規直交化の作業
が余分に必要となる。その替りに、最後に$V^{-1}$ を計算する時に $V^{*}$ 
の計算だけで済むので、そこでサボれる。

固有ベクトルの正規直交化と、$V^{-1}$のどちらが大変かと言えば、一般には、
後者の $V^{-1}$の方がずっと、大変なので、「$V^{-1}$ が必要ならばユニタリ
を利用した方がよい」ということになる。

\subsection{固有値の計算}

固有値を求めるためには、固有方程式 $\Phi_A(x)=0$ の根を求めればよい。
固有多項式$\Phi_A(x)$ の定義は、$|A-xE|$ ( $E$ は単位行列 ) となるので、
結局は、行列式の計算に帰着することに注意しよう。

固有方程式 $\Phi_A(x)=0$ の根は、一般に実数になるという保証はない。
もし、実線型空間で固有値を求める場合は、それがたとえ固有方程式の根で
あっても、複素根は、固有値とはならないことに注意する
\footnote{複素線型空間(エルミート空間)であれば、
固有方程式の根(複素根も含めて)は、全て固有値となる。}。

固有方程式 $\Phi_A(x)=0$ の根が重根になる場合もありえる。方程式の根と
しては、重根かそうでないかは意味があるが、固有値としては重根であるか単根
であるかは意味がない
\footnote{実は、次の固有ベクトルの場合に意味が生じる。固有値が
単根の場合は、その固有値に対応した独立な固有ベクトルが一つしか
取れないが、重根の場合は、その重根度に対応した個数の独立な固有ベクトル
( n 重根の場合は n 本の独立した固有ベクトル ) がある可能性がある。
}。したがって、固有値を示す場合は、多重度を述べないことに注意しよう。

固有方程式が三次以上の場合、その根を求めるのは、公式を利用しても大変
である。そこで、因数定理($\alpha$ が方程式 $f(x)=0$ の根であれば、
$f(\alpha) = 0$であること )を利用し、具体的な$\alpha$に関して
$f(\alpha)$ を計算し、0 になっているかどうか調べてみる。

ここで、闇雲に$\alpha$を代入しても意味がない。しかし、もし、$f(x) =
x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ の根が全て整数の根 $\alpha_1, \dots,
\alpha_n$ であるならば、$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ と
因数分解できるので、$a_0 = (-1)^n \Pi_{i=1}^n \alpha_i$ となる。
つまり、根は、定数項 $a_0$ の約数 ( ただし、符号付き ) となる。

したがって、ダメ元で、固有多項式 $\Phi_A(x)$ の定数項の約数を、符号が
正の場合と負の場合の両方をそれぞれ代入して試してみる。

もし、これでダメなら
\footnote{これは、もちろん、一般的の話であるが、課題として提出される場合
は、通常、少くても一つ位は、整数の根があるように作られているので...}、
根の公式などを利用することを考えなければならない。

\subsection{固有ベクトルの計算}

固有ベクトルは固有値に対応して定まる。逆に言えば、固有値が異れば、
固有ベクトルは異なる。

固有値$\lambda_1$ に対応する固有ベクトル$v_1$ は、定義から
$A v_1 = \lambda_1 v_1$ を満す 0 ベクトルでないベクトル
\footnote{任意の $\lambda$ に対して $A0 = 0 = \lambda \cdot 0$ なので、
$0$ を考えるのは意味がない。 } となっている。

一般に、$v_1, v_2$ が、共に $A$ の同じ固有値 $\lambda$ に対する固有ベ
クトルであれば、任意のスカラー $c$ に対して、これらの線型和 $v_1 + v_2$ も
スカラー倍 $c v_1$ にかんして、 $A(c v_1) = c (A v_1) = c
(\lambda v_1) = \lambda ( c v_1 )$, $A( v_1 + v_2 ) = A(v_1) + A(v_2) =
\lambda v_1 + \lambda v_2 = \lambda ( v_1 + v_2 )$ なので、
どちらも固有ベクトルとなることがわかる。

つまり、固有ベクトルは沢山あり、それらの集合は、線型空間になっているこ
とが解る。

そこで、固有値$\lambda_1$ に対して、方程式 $A v_1 = \lambda_1 v_1$
満すベクトル
\footnote{この場合は 0 ベクトルを含んでいることに注意..}
全体の集合$W_{\lambda_1}$ ( あるいは、$W_1$ ) 考え、これを、
固有値 $\lambda_1$ に対する固有空間と呼ぶ。

ここで、求めたい固有ベクトルは、固有空間の基底になっていることがわかる。

固有空間の次元は、この固有空間の基底の個数となっているが、これは、実は、
固有値の多重度以下になっている。逆に言えば、固有値の多重度の個数だけ、
独立な基底が取れる可能性がある。

固有空間から独立な基底を取るには、具体的に、ベクトル $v =
\TV{x_1}{x_2}{x_3}$ の成分 $x_1,x_2,x_3$ を求める必要がある。

これは、方程式 $(A-\lambda E)\TV{x_1}{x_2}{x_3} = 0$ という方程式の
解であるので、この連立方程式を解くことになる。

この連立方程式は、三つの独立変数に対して、三つの関係式が与えられているため、
解が一意に定まりそう
\footnote{
その場合、固有ベクトルは 0 ベクトルとなる。
}だが、実際は、式が退化
\footnote{一つの式が他の式の線型和で表現できてしまい、条件として意味が
なくなってしまうこと。}する。

その結果として、複数の独立したパラメータ
\footnote{
その独立したパラメータの個数が、固有空間の次元に等しい。
}
で表示可能なベクトルとなる。

更に、適当にパラーメータの値を定め
\footnote{
パラメータとしては、どのような値をとってもよいわけであるが、後の都合を
考えて、旨いパラメータを選ぶことが望ましい。一般には、そのパラメータを
選んだ結果、そのベクトルの要素に 0 が多くなるものを選ぶのが得策である。
}
、その空間の次元の個数だけ、独立なベクトルを固有空間から選択する。

\subsection{固有ベクトル正規直交化}

もし、ユニタリ行列を利用するのであれば、ここで、選択した固有ベクトルを直交化
する必要がある。

正規化は、全ての固有ベクトルに関係して行う必要があるが、直交化は、
同じ固有空間 ( つまり、同じ固有値に対応する.. ) から選んだ固有ベクトル
だけに着目して行えばよい。

実際の正規直交化の手続きは、グラムシュミットの直交化法を利用する。

\subsection{対角化を行う行列}

対角化を行う行列は、上記で、求めた固有ベクトルを縦ベクトルとするような
行列を作るだけである。

ここで、縦ベクトルを並べる順番は任意だが、その順番を変更すると、最後の
対角化を行ったときに並ぶ、対角要素の固有値の順番が異ることに注意する。

なお、もし、固有ベクトルの正規直交化を行っていれば、ここで作られた
対角化のための行列が、自動的にユニタリ行列となっていることに注意しよう。

\subsection{対角化を行う行列の逆行列の計算}

対角化を行うには、逆行列の計算が必要である。もし、ユニタリ行列を
利用しないのであれば ( つまり、固有ベクトルの正規直交化を行って
いないのであれば.. )、単純に、逆行列を求めるしかない。

この場合は、ガウスの掃き出し法などを利用することになる。

一方、対角化を行う行列がユニタリ行列になっていれば、単に転置と
共役を取るだけで、逆行列が計算できるので、こちらの方法を選ぶ。

\subsection{対角化}

最後が、目標とする、対角化であるが、それは、実際に、与えられた行列
の前と後から、対角化を行う行列の逆行列と元の行列を掛けて、行列の計算
を行うだけである。

ただし、冒頭で述べたように、実際には、結果が分っているので、行列の計算
を行わなくても、結果は示すことができる。

\section{具体的な対角化例}

\subsection{具体的な問題}

ユニタリ空間$V=C^3$上の線型変換に対応する、次の行列$A$について、
対角化を試みる。

\[
A = \left(\begin{array}{rrr}
   3 &   i & - 1 \\
 - i &   3 & - i \\
 - 1 &   i &   3 \\
\end{array}\right)
\]

\subsection{固有値の計算}

まず、特性方程式を求める。

\[
\Phi_A(x) = |A - xE|
\]

なので、これを計算する。

\begin{eqnarray}
\Phi_A(x) &=& |A - xE| \\
          &=& 
\left|\left( \begin{array}{rrr}
   3 &   i & - 1 \\
 - i &   3 & - i \\
 - 1 &   i &   3
\end{array}\right)
- 
\left( \begin{array}{rrr}
  x &   &   \\ 
    & x &   \\ 
    &   & x
\end{array}\right) \right| \\
          &=& 
\left|\left( \begin{array}{rrr}
   3-x &   i   & - 1 \\
 - i   &   3-x & - i \\
 - 1   &   i   & 3-x
\end{array}\right) \right| \\
          &=& 
\left| \begin{array}{rrr}
   3-x &   i   & - 1 \\
 - i   &   3-x & - i \\
 - 1   &   i   & 3-x
\end{array}\right| \\
          &=& (3-x)^3 + i\cdot (-i)\cdot(-1) + (-1)\cdot i \cdot(-i) \\
          & & - (3-x)\cdot i \cdot (-i) 
              - i\cdot(-i)\cdot(3-x)
              - (-1)\cdot(3-x)\cdot(-1) \\
          &=& (3-x)^3 -3 (3-x) - 2 \\
          &=& 27 - 27x + 9x^2 - x^3 - 9 + 3x - 2 \\
          &=& -x^3 + 9x^2 -24x + 16
\end{eqnarray}

これから、固有方程式 ( $\Phi_A(x) = 0$ ) を作り、特性根を求める。

\[
-x^3 + 9x^2 -24x + 16 = 0
\]

これは三次方程式なので、直接公式等に代入して解くのではなく、定数項 16 の約
数 ( $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$ ) を解候補と考えて、幾つか try してみる。

幸い、 1 を代入してみると..

\begin{eqnarray}
\Phi_A(1) &=& -(1)^3 + 9(1)^2 -24(1) + 16 \\
          &=& - 1 + 9 - 24 + 16 \\
          &=& 0
\end{eqnarray}

と、0 になるので、元の式は、1 を根として持つことになる。
そこで、$\Phi_A(x)$ を $x-1$ でわり、次数をさげると、

\begin{eqnarray}
\frac{\Phi_A(x)}{x-1} &=& x^2 -8 x + 16
\end{eqnarray}

となる。これを解くと.
\[
x^2 -8 x + 16 = (x-4)^2 = 0
\]

よって、
\[
x = 4 (重)
\]

したがって、固有値は、次のようになる
\footnote{
細かいことを言えば、固有方程式の根は、多重度も含めて 3 個 ( 1, 4, 4 ) である
が固有値は、2 個 ( 1, 4 ) でよい。
}
。

\[
x = 1, 4
\]

\subsubsection{固有ベクトル}

次に、固有ベクトルを求める、ここでは、ユニタリ行列を利用することを
考える。

基本的な考え方は、固有値に対応した固有ベクトルを求め、それから、
正規直交系を作ればよい。その時に、シュミットを利用することができる。

一つの固有値に対応する固有ベクトルは、一般に ( 少くても長さと方向で自
由度があるので.. )、一つには定まらない。固有ベクトル全体からなる集合は
ベクトル空間になっており、これを固有空間と呼ぶ。

固有ベクトル $v$ は、式

\[
A v = \alpha v
\]

を満すので、これから、

\begin{eqnarray}
A v - \alpha v &=& 0 \\
A v - \alpha E v &=& 0 \\
(A - \alpha E) v &=& 0
\end{eqnarray}

ということが解る。

従って、固有値 $\alpha$ に対応した固有空間 $W_{\alpha}$は、

\[
W_{\alpha} = \{ v = \TV{x_1}{x_2}{x_3} | (A - \alpha E) v = 0 \}
\]

と表現できる。そこで、その $W_{\alpha}$ の基底で都合の良いものを
選択すればよい。

\begin{description}
\item[固有値 1 に対応する固有ベクトル]
このベクトルは、固有値が重根ではなかったので、一つだけ定まる。
固有空間 $W_1$ は、次のように定まる。

\[
W_1 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} | (A-1\cdot E)v = 0 \}  
\]

これは、

\begin{eqnarray}
\left(
\left(\begin{array}{rrr}
   3 &   i & - 1 \\
 - i &   3 & - i \\
 - 1 &   i &   3
\end{array}\right)
-
\left(\begin{array}{rrr}
   1 &   0 &   0 \\
   0 &   1 &   0 \\
   0 &   0 &   1
\end{array}\right)\right) \TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   3 - 1 &   i     & - 1 \\
 - i     &   3 - 1 & - i \\
 - 1     &   i     &   3 - 1
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   2     &   i     & - 1 \\
 - i     &   2     & - i \\
 - 1     &   i     &   2
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0
\end{eqnarray}

より、

\[
\left\{
\begin{array}{rrrrrr}
   2 x_1  & + & i x_2   & - &   x_3 & = 0 \\
 - i x_1  & + & 2 x_2   & - & i x_3 & = 0 \\
 -   x_1  & + & i x_2   & + & 2 x_3 & = 0
\end{array}
\right.
\]

という方程式を表している。

そこで、これを解き、$x_1,x_2,x_3$ の満すべき式を求める
\footnote{これは、あくまでも、この固有空間 $W_1$ の基底 $v_1$ を
「簡単」に求めるために行う作業である。}。
ここで、二つめの式を $i$ 倍して三番目の式をから引くと
一つ目式の (-1) 倍になっていることがわかるので、意味があるのは、
二つの式だけであることがわかる
\footnote{
本来、この空間の要素 $v$ が、3 つの変数 ($x_1,x_2,x_3$) で表現されるの
で、3 次元のはずであるが、それに対して 2 つの式が与えられるので、2 つ
次元が下り、結局この空間の次元は $1 (= 3 - 2)$ 次元となることがわかる。
}
。

式を単純にするために、一つ目の式に三つ目の式を $2$ 倍して足すと、
\[
\begin{array}{rrrrr}
3i x_2 & + & 3 x_3 & = &     0 \\
   x_2 &   &       & = & - x_3
\end{array}
\]

同様に、二つ目の式に三つ目の式を $2i$ 倍して足すと、
\[
\begin{array}{rrrrr}
 - 3i x_1  & + & 3 x_3 & = &       0 \\
      x_1  &   &       & = & - i x_3
\end{array}
\]

となる。これから、( 媒介変数 $t$ を考え、$ x_3 = t $ として.. )

\[
\left\{
\begin{array}{rrr}
       x_1 &=& - i t \\
       x_2 &=& -   t \\
       x_3 &=&     t \\
\end{array}
\right.
\]

となるので、固有空間 $W_1$ は、

\[
W_1 = \{ v = \TV{-i t}{-t}{t} | t \in C \}
\]

と表すこともできる。このようなベクトルの内、後の計算が楽なように、
$t=-1$ を選び、

\[
v_1 = \TV{i}{1}{-1}
\]

を選ぶ。この $v_1$ が、$W_1$ の基底になっている
\footnote{一次元なので、$0$ ベクトル以外の $W_1$ の要素はどれでも
$W_1$ の基底になる。}。

更に、$|v_1|$ で割って、正規化する。

\begin{eqnarray}
u_1 &=& \frac{v_1}{|v_1|} \\
    &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1}
\end{eqnarray}

これが、$W_1$ の正規直交基底\footnote{一つしかないベクトルで、直交とい
うのは、奇妙に感じるかもしれないが、一つの要素からなる基底は、定義によ
り常に直交基底になるということである。}。

\item[固有値 4 に対応する固有ベクトル]

このベクトルは、固有値が(二)重根だったので、二つの独立した
固有ベクトルが取れる可能性がある
\footnote{逆に、単重 (重根でない根) であれば、前問と同様に
固有ベクトルが一つしかないので、解りやすい。}。
もし、二つの独立した固有ベクトル
が取れなければ、元の行列が対角化できないことに注意しよう
\footnote{
もちろん、この問題の場合は、元の行列 $A$ が、エルミート行列
なので、対角化ができる ( つまり、ベクトルが二つ取れる.. ) ことが
わかっているので心配ないのだが..。
}

固有空間 $W_4$ は、次のように定まる。

\[
W_4 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} \,|\, (A-4\cdot E)v = 0 \,\}
\]

この結果、同様にして、変数 $x_1,x_2,x_3$ の満すべき方程式が次のように
与えられる。

\[
\left\{
\begin{array}{rrrrrr}
 -   x_1  & + & i x_2 & - &   x_3 & = 0 \\
 - i x_1  & - &   x_2 & - & i x_3 & = 0 \\
 -   x_1  & + & i x_2 & - &   x_3 & = 0
\end{array}
\right.
\]

この連立方程式は一つ目と三つ目が全く同じ等式であり、また、二つ目も一つ目の定数(
$i$ )倍になっているだけなので、結局、意味があるのはこの内の一つだけであ
ることがわかる
\footnote{
よって、3 次元の空間で、それを制限する式が一つなので、全体の次元は 2 
( = 3 - 1 ) 次元となり、この結果として、独立したベクトルが 2 つ取れる
ことがわかる。
}
。

結局、固有空間 $W_4$ は、次のように表すことができる。

\[
W_4 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} \,|\, x_1 - i x_2 + x_3 = 0 \,\}
\]

この中から二つ、ベクトルを選ぶことになるが、計算を楽にするために、
できるだけ $0$ を沢山含んだベクトルを考える。

この場合は、例えば、$x_2 = 0$ にし、更に $x_1 = 1$ とすれば、
自動的に $x_3 = -1$ と決るので、これを $v_2$ とする。

\[
v_2 = \TV{1}{0}{-1}
\]

同様に、$x_1=0$, $x_2=1$ とすれば、$x_3=i$ となり、

\[
v_3 = \TV{0}{1}{i}
\]

なので、これで二つの独立したベクトルが得られたことになる
\footnote{
本来は、本当に独立なのかを調べる必要がある。しかし、一つの要素が 0 で
あるベクトルは、少くても、その要素が 0 でなく、かつ、そのベクトルで 0 
でない要素が 0 となっているベクトルとは独立であることが分っているので、
この例のように、一方は、$x_1$ が 0 で$x_2$ が 0 でないベクトルで、他方
が、$x_1$ が 0 でなくて、$x_2$ が 0 とすれば、自動的に、この二つのベク
トルは独立となる。

ちなみに、このベクトルの取りかたは、かなり恣意的であることに注意しよう。
どの次元の要素を 0 にするかで、異なる回答が色々考えられるし、また、
同じ要素を 0 にしても、少くても、符号の取り方に任意性があるので、
同じ答えになるという保証はない。

また、いずれかの要素を 0 にするというのは、計算を楽にするための工夫で
あり、もちろん 0 にしなければならないという理由もない。場合によっては、
その方が都合がよいかもしれないということも留意する。
}
。

ここで、$v_2, v_3$ は確かに、$W_4$ の基底
\footnote{
互いに独立で、空間の次元に等しい個数のベクトルなので..。
} なのだが、正規直交系に
なっていないので、シュミットの直交化を行い直交化する
\footnote{
後に述べるように、「行列の対角化」を行うためには、この作業は
なくても構わない。ただ、ここで、これを行っておけば、後々、作業が
楽になるということである。
}。

\begin{eqnarray}
u_2' &=& v_2 \\
     &=& \TV{1}{0}{-1} \\
|u_2'|
     &=& \sqrt{( u_2', u_2' )} \\
     &=& \sqrt{( \TV{1}{0}{-1}, \TV{1}{0}{-1} )} \\
     &=& \sqrt{ 1\cdot\OL{1} + 0\cdot\OL{0} + (-1)\cdot\OL{(-1)}} \\
     &=& \sqrt{ 2 } \\
u_2  &=& \frac{u_2'}{|u_2'|} \\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(v_3, u_2)
     &=& (\TV{0}{1}{i}, \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} )\\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (\TV{0}{1}{i}, \TV{1}{0}{-1} )\\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} ( 0 \cdot\OL{1} + 1\cdot\OL{0} + i\cdot\OL{(-1)} ) \\
     &=& \frac{-i}{\sqrt{2}} \\
u_3' &=& v_3 - (v_3, u_2)u_2 \\
     &=& \TV{0}{1}{i} - \frac{-i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
     &=& \TV{0}{1}{i} - \frac{-i}{2}\TV{1}{0}{-1} \\
     &=& \frac{1}{2}(\TV{0\cdot2+i\cdot 1}{2\cdot1+i\cdot 0}{2\cdot i+i\cdot(-1)}) \\
     &=& \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \\
|u_3'|
     &=& \sqrt{(u_3', u_3')} \\
     &=& \sqrt{(\frac{1}{2}\TV{i}{2}{i}, \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(\TV{i}{2}{i}, \TV{i}{2}{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(i\cdot\OL{i}+2\cdot\OL{2}+i\cdot\OL{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(i\cdot(-i)+2\cdot 2+i\cdot(-i))} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{6} \\
     &=& \frac{\sqrt{6}}{2} \\
u_3  &=& \frac{u_3'}{|u_3'|} \\
     &=& \frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \\ 
     &=& \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i}
\end{eqnarray}
\end{description}

以上で、$W_1$ の正規直交系 $u_1$ と、$W_4$ の正規直交系 $u_2, u_3$ を
求めることができた。更に、本来ならば、$u_1$ と $u_2, u_3$ の直交性を
示す必要があるのだが、$W_1$ と $W_4$ が直交することが分っているので、
これは考える必要がない
\footnote{すなわち、$u_1$ は、$u_2, u_3$ とは直交していることが既に、
分っている。}。したがって、このままこの三つが $V$ 正規直交系
であることがわかる。

したがって、正規直交化された固有ベクトルの組は以下のようになる
\footnote{より正確には、括弧の外のスカラーを、中の要素にかけるという計算
もする必要があるし、次の所で、実際にその作業を行っているが、まあ、このような
形のままでも、{\gt 答}としては問題ない。}。

\begin{eqnarray}
u_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1}, \,
u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{0}{-1}, \,
u_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i}
\end{eqnarray}

\subsubsection{対角化を行う行列とその逆行列の計算}

対角化を行う行列そのものは、単に上で求めた固有ベクトルを並べるだけであ
る。また、逆行列は、転置、共役を取る。

\begin{eqnarray}
u_1 &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1} \\
    &=& \frac{\sqrt{3}}{3}\TV{i}{1}{-1} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{3}}{3}i}{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} \\
u_2 &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
    &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \TV{1}{0}{-1} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{2}}{2}}{0}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
u_3 &=& \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i} \\
    &=& \frac{\sqrt{6}}{6}\TV{i}{2}{i} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{6}}{6}i}{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{6}i}
\end{eqnarray}

なので\footnote{さすがに、行列の要素にする場合は、外のスカラーを中の要素に
かける必要がある..。}、

\begin{eqnarray}
U &=& (u_1, u_2, u_3) \\
  &=& \left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}}{3}i &  \frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}}{6}i \\
       \frac{\sqrt{3}}{3}  &                  0  &  \frac{\sqrt{6}}{3}  \\
      -\frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}}{6}i
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

となる。

これから、通常の方法
\footnote{ガウスの消去法等}
で、$U^{-1}$ を求めても良いが、それより簡単な方法がある。

$u_1, u_2, u_3$ は、正規直交系なので、これを並べた行列$U=(u_1, u_2, u_3)$
は、ユニタリ行列である
\footnote{これが言いたいが為に、わざわざ、シュミットの直交化を利用してまで
直交基底としたわけである。逆に、直交化が行われていなければ、逆行列をまともに
計算しなければならず、こちらの方の計算の量の方が、シュミットの直交化を
行う計算の量より多いので、大変になってしまう。}。
したがって、$U^{-1} = U^{*}$ となる
\footnote{一般に、$U^{-1}$ を直接求めるより、$U^{*}$ を求める方が簡単
なので...。}。

したがって、

\begin{eqnarray}
U^{-1}
   &=& U^{*} \\
   &=& \OL{{}^tU} \\
   &=& \OL{{}^t\left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}}{3}i &  \frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}}{6}i \\
       \frac{\sqrt{3}}{3}  &                  0  &  \frac{\sqrt{6}}{3}  \\
      -\frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}}{6}i
      \end{array}\right)} \\
   &=& \OL{\left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}}{3}i &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
       \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       \frac{\sqrt{6}}{6}i &  \frac{\sqrt{6}}{3}  &  \frac{\sqrt{6}}{6}i
      \end{array}\right)} \\
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       \OL{\frac{\sqrt{3}}{3}i} &  \OL{\frac{\sqrt{3}}{3}}  & \OL{-\frac{\sqrt{3}}{3}} \\
       \OL{\frac{\sqrt{2}}{2}}  &                  \OL{0}   & \OL{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
       \OL{\frac{\sqrt{6}}{6}i} &  \OL{\frac{\sqrt{6}}{3}}  &  \OL{\frac{\sqrt{6}}{6}i}
      \end{array}\right) \\
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       -\frac{\sqrt{3}}{3}i &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
        \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       -\frac{\sqrt{6}}{6}i &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}}{6}i
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

したがって、回答は、

\begin{eqnarray}
U^{-1}
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       -\frac{\sqrt{3}}{3}i &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
        \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       -\frac{\sqrt{6}}{6}i &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}}{6}i
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

となる。

\subsubsection{対角化の実際}

対角化も実際に計算するだけである。

前問より、$U, U^{-1}$ が分っているので、計算するだけなのだが、
$U$ は $A$ の固有ベクトルから作られているので、

\[
A U = U \left(\begin{array}{rrr}
          1 & 0 & 0 \\
          0 & 4 & 0 \\
          0 & 0 & 4
      \end{array}\right)
\]

が成立する。

すなわち、

\[
U^{-1} A U = \left(\begin{array}{rrr}
          1 & 0 & 0 \\
          0 & 4 & 0 \\
          0 & 0 & 4
      \end{array}\right)
\]

であり、これが回答となる。

\end{document}


