\documentclass[a4j]{jarticle}

\input{style.tex}

\title{代数学幾何学演習II (No.002)}
\date{2003年4月25日}
\author{利根川 聡}

\begin{document}
\maketitle
\no4
行列 $ A=(\v{a}_1 \ \v{a}_2 \ \v{a}_3 \ \v{a}_4 \ \v{a}_5) $ に
左から正則行列 $ P $ をかけたところ、
$ \Mat5{1 & 3 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0} $ という形になった。\vspace{-3mm} \\
(1) $ P\v{a}_1, P\v{a}_2, P(2\v{a}_4+\v{a}_5) $ を求めよ。 \\
(2) $ \v{a}_2=3\v{a}_1 $ を示せ。 \\
(3) $ \v{a}_5 $ を $ \v{a}_1, \v{a}_3, \v{a}_4 $ の線形結合で
表せ。 \\
(4) $ \v{a}_1, \v{a}_3, \v{a}_4 $ は線形独立であることを示せ。 \\
(5) $ \v{a}_2, \v{a}_4, \v{a}_5 $ は線形独立であることを示せ。
\vs
\no5 次に示すのは、行列 $ A=\Mat4{1 & 1 & -1 & -1 \\
2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 1} $ に基本変形を
施していった様子である。 \vspace{2mm} \\
$
\Mat4{1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 1} \to
\Mat4{1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1} \to
\Mat4{1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 3 & 2} \to
\Mat4{1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0} \to
$ \vspace{2mm} \\
\hfill
$
\Mat4{1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac32 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0} \to
\Mat4{1 & 0 & \frac12 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac32 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0} \to
\Mat4{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
$ \vspace{2mm} \\
(1) 以下の文が正しくなるように、〈左・右〉のいずれか一方を選び、
下線部にあてはまる行列を求めよ。

(1a) ２番目の行列は、行列 $ A $ に〈左・右〉から行列
\underline{\hspace{10mm}} をかけると得られる。

(1b) ４番目の行列は、行列 $ A $ に〈左・右〉から行列
\underline{\hspace{10mm}} をかけると得られる。

(1c) 最後の行列は、その直前の行列に〈左・右〉から行列
\underline{\hspace{10mm}} をかけると得られる。 \\
(2) 最後の行列を $ F $ とする。$ A=PFQ $ が
成り立つような正則行列 $ P,Q $ を求めよ。 \\
(3) $ A=(\v{a}_1 \ \v{a}_2 \ \v{a}_3 \ \v{a}_4) $ と表すとき、
$ \v{a}_3, \v{a}_4 $ は $ \v{a}_1, \v{a}_2 $ の線形結合で
表せることを示せ。 \\
(4) 連立方程式 $ A\v{x}=\v{0} $ の一般解を求めよ。
\vs
\no6
次の行列の階数（ランク）を求めよ。
\[
A=\Mat3{1 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 5}, \hs
B=\Mat4{1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 5}, \hs
C=\Mat5{1 & 2 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & -3 & 2 & 0 \\
2 & 4 & -6 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -4 & 1 & 6}
\]
\\
\no7
以下の行列の行列式および逆行列を求めよ。
$ C,D $ に対しては、逆行列が存在するための $ x $ の
条件も言え。
$$
A=\Mat4{1 & 2 & 0 & -1 \\ -3 & -5 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 1 & -1}, \quad
B=\Mat4{7 & 4 & 2 & -3 \\ -2 & -1 & 5 & -6 \\
0 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2}, \quad
C=\Mat4{x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & 0 \\
0 & 0 & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & x}, \quad
D=\Mat5{x & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & x}
$$
\vspace{10mm} \\
\no8
次の連立方程式を解け。(3)では、連立方程式が解をもつような
定数 $ a $ の値を求めた上で、解を求めよ。
\vspace{2mm} \\
(1) $
\left\{ \begin{array}{rl}
x+2y-z+8w & =10 \\
2x-3y+z-w & = -1 \\
-x+y+4z-5w & = -1 \\
x-2y+2z-3w & = -2
\end{array} \right. $
\quad
(2) $
\left\{ \begin{array}{rl}
2x+y-z+6w & =4 \\
-x+5y+2z+w & =10 \\
x+2y+3z+w & =-4 \\
2x-y+z+8w & =-2
\end{array} \right. $
\quad
(3) $
\left\{ \begin{array}{rl}
x+3y+z & =3 \\
-2x+2y+3z & =-2 \\
ax+y-2z & =5 \\
-x-2y+2z & =-12
\end{array}
\right.
$
\vs
\no9
以下に与えるベクトルの組 $ \basis{\v{f_1},\v{f_2},\v{f_3}} $ に
シュミットの直交化法を適用して、
正規直交基底 $ \basis{\v{e_1},\v{e_2},\v{e_3}}$を作れ。 \\
(1) $ \v{f_1}=(1,1,1), \ \v{f_2}=(0,1,1), \ \v{f_3}=(0,0,1) $ \\
(2) $ \v{f_1}=(1,-2,1), \ \v{f_2}=(1,2,-3), \ \v{f_3}=(2,1,1) $ \\
(3) $ \v{f_1}=(4,1,1), \ \v{f_2}=(1,0,-1), \ \v{f_3}=(2,-4,5) $ \\
(4) $ \v{f_1}=(1,i,0), \ \v{f_2}=(0,2,i), \ \v{f_3}=(1,-i,3) $ \\
(5) $ \v{f_1}=(i,-1,1), \ \v{f_2}=(2+i,-i,2+i), \
\v{f_3}=(3,1-i,2) $ \\
(6) $ \v{f_1}=(1,1-i,i), \ \v{f_2}=(-1+2i,1,-1), \
\v{f_3}=(i,1-2i,1) $
\vs
\no{10}
$ \v{a}_1=(1,0,1), \ \v{a}_2=(0,2,2), \ \v{a}_3=(3,7,1) $ と
おく。 \\
(1) $ \v{a}_1, \v{a}_2, \v{a}_3 $ が線形独立であることを示せ。 \\
(2) $ \v{b}=(-1,3,-7) $ を $ \v{a}_1, \v{a}_2, \v{a}_3 $ の
線形結合で表せ。 \\
(3) $ \v{c}=(-6,c,3) $ とおくとき、
$ \v{a}_2, \v{a}_3, \v{c} $ が線形従属となるように $ c $ の
値を定めよ。
\vs
\no{11}
$ A,B $ を実数を成分とする $ n $次正方行列とする。 \\
(1) $ A,B $ がともに逆行列をもつとき、積 $ AB $ も逆行列を
もつことを示せ。 \\
(2) $ A $ および積 $ AB $ が逆行列をもつとき、$ B $ も
逆行列をもつか？
証明または反例を与えよ。
\vs
\no{12}
$ A,B $ を実数を成分とする $ n $次正方行列とし、
$ A $ は直交行列であるとする。 \\
(1) $ B $ が直交行列ならば、
積 $ AB,BA $ も直交行列となることを示せ。 \\
(2) 積 $ AB $ が直交行列ならば、
$ B $ および $ BA $ も直交行列となることを示せ。
\vs
\no{13}
$ A,B $ を実数を成分とする $ n $次正方行列とする。 \\
{\bf 注}：任意の $ A,B $ に対して $ \t(AB)=\t B\,\t\! A $ が
成り立つことは、証明なしに用いてよい。 \\
(1) $ A $ が正則行列ならば $ \t A $ も正則で $ (\t A)^{-1}
=\t(A^{-1}) $ が成り立つことを示せ。 \\
(2) $ A $ が正則な対称行列ならば $ A^{-1} $ も対称行列となる
ことを示せ。 \\
(3) $ A,B $ が対称行列ならば積 $ AB $ も対称行列となるか？
証明または反例を与えよ。
\vs
\no{14}
行列 $ A $ を $ A=\Mat2{A_{11} & A_{12} \\
O & A_{22}} $ （ただし、$ A_{11},A_{22} $ は正方行列とする）
と区分けするとき、以下の問に答えよ。 \\
(1) $ A $ が正則であるためには $ A_{11},A_{22} $ が
ともに正則であることが必要であることを示せ。 \\
(2) $ A_{11},A_{22} $ がともに正則ならば $ A $ も正則である
ことを示し、$ A^{-1} $ を $ A_{11},A_{12},A_{22} $（および、
必要ならばその逆行列）を用いて表せ。 
\end{document}