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\begin{document}
{\bf 代数学幾何学演習II \ No.3 \ 2003年 5月23日}
\\
\no{15}
次の写像 $ f_1 \sim f_8 $ について、以下の問に答えよ。
黒板で解くときは、一つの写像に対し(1)～(4)全てに答えよ。
\vspace{2mm} \\
\begin{tabular}{llll}
$ f_1:\N \to \N, $ & $ f_1(x)=x+1 $ \hspace{30mm} &
$ f_2:\Z \to \Z, $ & $ f_2(x)=x+1 $ \\
$ f_3:[0,\infty) \to [0,\infty), $ & $ f_3(x)=x^2 $ &
$ f_4:\R \to [0,\infty), $ & $ f_4(x)=x^2 $ \\
$ f_5:[0,\infty) \to \R, $ & $ f_5(x)=x^2 $ &
$ f_6:\R \to \R, $ & $ f_6(x)=x^2 $ \\
$ f_7:\R^2 \to \R^2, $ & $
f_7\vec{x \\ y}=\vec{3x+4y \\ 2x+3y} $ &
$ f_8:\R^2 \to \R^2, $ & $
f_8\vec{x \\ y}=\vec{2x-y \\ -6x+3y} $
\end{tabular}
\vspace{2mm} \\
(1) 写像の値域を求めよ。 \\
(2) 写像が全射であるかどうか調べよ。 \\
(3) 写像が単射であるかどうか調べよ。 \\
(4) 逆写像が存在するかどうかを述べ、存在する場合はそれを求めよ。
\vs
\no{16}
以下の各命題に対して、反例を与えよ。
ここで、$ A,B,X $ は実数を成分とする $ n( \ge 2) $次
正方行列とする。 \\
(1) 任意の $ A,B $ に対して $ AB=BA $ が成り立つ。 \\
(2) $ AB=O $ ならば $ A=O $ または $ B=O $ が成り立つ。 \\
(3) $ A^2+B^2=O $ ならば $ A=B=O $ である。 \\
(4) $ A^2=E $ ならば $ A=E $ または $ A=-E $ である。 \\
(5) ある自然数 $ k \ge 2 $ に対して $ A^k=O $ ならば $ A=O $ で
ある。 \\
(6) $ A \ne O $ ならば $ AX=B $ を満たす $ X $ が
ただ一つ存在する。
\vs
\no{17} 以下の連立方程式を解け。
(1)は$ a $ の値によって場合分けせよ。
\vspace{2mm} \\
(1) $ \left\{ \begin{array}{rl}
3x+2y+z & = 7 \\
2x+3y+4z & = 8 \\
4x+2y+az & =8
\end{array} \right. $ \qquad
(2) $ \left\{ \begin{array}{rl}
2x+y-3z+4w & = \ 7 \\
3x-2y+5z-w & = -6 \\
8x-3y+7z+2w & = -5 \\
5x-y+2z+3w & = \ 1
\end{array} \right. $ \qquad
(3) $ \left\{ \begin{array}{rl}
-5x+2y+4z+5u-8v & = \ 1 \\
8x-3y-6z-6u+12v & = -1 \\
6x-2y-5z-3u+7v & = -1 \\
-2x+y+3z+5u-3v & = \ 2
\end{array} \right. $
\vs
\no{18}
連立方程式 $ \left\{ \begin{array}{rl}
2x-y-3z & = \ b \\ -3x-2y+z & = -3 \\ 4x+5y+az & = 5
\end{array} \right. $ の解が以下のようになる
ために $ a,b $ が満たすべき条件を求めよ。 \\
(1) ただ一つ存在する。 \\
(2) 複数存在する。 \\
(3) 存在しない。
\\
\no{19}
$ a,b,c $ が相異なる三数であるとき、連立方程式 $
\left\{ \begin{array}{cl}
x+y+z & \hspace*{-2mm} = 1 \\
ax+by+cz & \hspace*{-2mm} = d \\
a^2x+b^2y+c^2z & \hspace*{-2mm} = d^2
\end{array} \right. $ を解け。
\vs
\no{20}
(複素数体上の)連立一次方程式の解は、
(a)全く存在しない (b)ただ一つ存在する (c)無限個存在する、
のいずれかであることを示せ。 \\
※従って、ちょうど２個(または３個、４個など)の解が存在する
ということは起こらない。
\end{document}
