\documentclass{article}
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\title{代数学幾何学演習II (No.005)}
\date{2003年7月4日}
\author{利根川 聡}

\begin{document}
\maketitle

\no{27} 以下の問に答えよ。 \\
(1) $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n $ が線形独立ならば、
$ 1 \le k \le n $ を満たす任意の自然数$ k $ に対し $ \v{x}_1,
\v{x}_2, \cdots,\v{x}_k $ も線形独立であることを示せ。
また、この命題の対偶を書け。 \\
(2) $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n $ が線形独立ならば、
これらのどのベクトル $ \v{x}_k $ もそれを除いた $ (n-1) $個の
ベクトルの線形結合では表せないことを示せ。 \\
(3) $ n $個のベクトル $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n $ に対し、
これらのどのベクトル $ \v{x}_k $ もそれを除いた $ (n-1) $個の
ベクトルの線形結合で表せないなら、
$ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n $ は線形独立であることを示せ。 \\
(4) $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n $ が線形独立で $
\v{x}_{n+1} $ が $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n $ の線形結合
で表せないならば、$ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_{n+1} $ は
線形独立であることを示せ。
\vs
\no{28}
$ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n \in V $ がベクトル空間$ V $ の
基底であることを定義を述べよ。さらに、次の３つの命題が同値である
ことを示せ。

(a) $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n \in V $ は $ V $ の基底である。

(b) $ V $ の任意の元は $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n \in V $ の
線形結合としてただ一通りの形で表される。

(c) $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n \in V $ は線形独立、かつ、
任意の $ \v{v} \in V $ に対して $ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n,
\v{v} $ は線形従属である。
\vs
\no{29}
$ \v{a}_1=(1,2,3,4), \v{a}_2=(2,-1,0,3), \v{a}_3=(-4,7,6,-1) $ に
よって生成される $ \R^4 $ の部分空間を $ W $ とする。 \\
(1) $ \v{a}_1,\v{a}_2,\v{a}_3 $ のうちからいくつかを選んで $ W $ の
基底を作れ。また $ W $ の次元を言え。 \\
(2) (1)で得た $ W $ の基底にいくつかのベクトルを追加して $ \R^4 $ の
基底を作れ。
\vs
\no{30}
$ P_3(\R) $高々３次の実係数多項式全体から成る線形空間）
の部分集合 $ W_0,W_1,W_2,W_3 $ を以下で定義する。
$$
W_0=\Bigl\{ f \in P_3(\R) \Bigm| f(0)=0 \Bigr\}, \quad
W_1=\Bigl\{ f \in P_3(\R) \Bigm| f(-1)=f(0)=f(1) \Bigr\},
$$
$$
W_2=\Bigl\{ f \in P_3(\R) \Bigm| f(x)+f(-x)=0 \Bigr\}, \quad
W_3=\Bigl\{ f \in P_3(\R) \Bigm| \int_{-1}^1 \!\! f(x)dx=0 \Bigr\}
$$
(1) $ W_0,W_1,W_2,W_3 $ が $ P_3(\R) $ の部分空間であることを示し、
さらにそれらの次元と１つの基底を求めよ。 \\
(2) $ i,j=0,1,2,3, \ i \ne j $ に対し $ W_i+W_j $ および $
W_i \cap W_j $ の次元と１つの基底を求めよ。
また、$ \dim W_i+\dim W_j=\dim(W_i+W_j)+\dim(W_i \cap W_j) $ が
成り立つことを確かめよ。
\vs
\no{31}
ベクトル空間$ V $ の基底の取り替え$ \mbox{E} \to \mbox{F} $ の
行列を求めよ。 \\
(1) $ V =$ ３次元ベクトル空間, \
$ \mbox{E}=\basis{\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3}, \
\mbox{F}=\basis{\v{f}_1,\v{f}_2,\v{f}_3}, \quad
\left\{ \begin{array}{l}
\v{f}_1=4\v{e}_1+5\v{e}_2, \\
\v{f}_2=3\v{e}_1+4\v{e}_2+2\v{e}_3, \\
\v{f}_3=\v{e}_1+\v{e}_2-3\v{e}_3
\end{array}
\right. $ \\
(2) $ V=\R^2, \ \mbox{E}=\basis{\vec{7 \\ 3},\vec{2 \\ 1}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{5 \\ 4},\vec{6 \\ 5}} $ \\
(3) $ V=\{\t(x,y,z) \in \R^3 \bigm| 4x+7y+z=0 \}, \
\mbox{E}=\basis{\vec{2 \\ -3 \\ 13},\vec{1 \\ -1 \\ 3}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{5 \\ -3 \\ 1},\vec{2 \\ -1 \\ -1}} $ \\
(4) $ V=\R^3, \
\mbox{E}=\basis{\vec{1 \\ 2 \\ -1},\vec{3 \\ 1 \\ 1},
\vec{0 \\ 2 \\ 1}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{3 \\ -2 \\ 6},\vec{-4 \\ 5 \\ 4},
\vec{-4 \\ 4 \\ -3}} $
\end{document}
