\documentclass{jarticle}
\input{style.tex}

%%
%% lin6 & lin7
%%

\title{�㐔�w�􉽊w���KII (No.006)}
\date{2003�N10��3��}
\author{������ ��}

\begin{document}
\maketitle
\no{32}
$ \R^4 $ �̕������ $ W_1,W_2 $ ���ȉ��Œ�`����Ƃ��A
$ W_1+W_2 $ ����� $ W_1 \cap W_2 $ �̎����Ɗ������߂�B
\vspace{1mm} \\
(1) $ W_1=\left\{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \Bigm|
\begin{array}{l} x_1+x_2-x_3-2x_4=0, \\
-x_1+2x_2+x_3-x_4=0 \end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \Bigm|
\begin{array}{l} x_1+2x_2+2x_3-3x_4=0, \\
-4x_1+2x_2-3x_3+2x_4=0 \end{array} \right\} $
\vspace{1mm} \\
(2) $ W_1=\left\{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \Biggm|
\begin{array}{l} x_1+2x_2-x_3+3x_4=0, \\
x_2+x_3+2x_4=0, \\ -x_1+3x_3+x_4=0 \end{array} \right\}, \quad
W_2=\Bigl\{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \bigm|
x_1-x_2-x_3+3x_4=0 \Bigr\} $
\vspace{1mm} \\
(3) $ W_1=\basis{\v{a}_1,\v{a}_2,\v{a}_3}, \quad
W_2=\basis{\v{b}_1,\v{b}_2,\v{b}_3} $

������ $ \v{a}_1=(0,1,-1,1), \v{a}_2=(2,1,0,1), \v{a}_3=(1,3,0,4),
\v{b}_1=(1,2,1,1), \v{b}_2=(0,3,2,3), \v{b}_3=(-3,0,1,3) $
\vs
\no{33} �ȉ��̖�ɓ�����B \\
(1) $ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2} $ �� $ V $ ��1�̊��Ƃ��A
�X�J���[ $ a,b,c,d $ ��p���� $ \v{f}_1 =a\v{e}_1+b\v{e}_2,
\v{f}_2 =c\v{e}_1+d\v{e}_2 $ �Ƃ����B���̂Ƃ��A
$ \basis{\v{f}_1,\v{f}_2} $ �� $ V $ �̊��ƂȂ邽�߂� $
a,b,c,d $ ���������ׂ����������߂�B \\
(2) $ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2,\cdots,\v{e}_n} $ �� $ V $ ��
1�̊��Ƃ��A�X�J���[ $ a_{ij} \ (i,j=1,2,\cdots, n) $ ��
�p���� \dis{\v{f}_j=\sum_{i=1}^na_{ij}\v{e}_i \
(j=1,2,\cdots,n)} �Ƃ����B
���̂Ƃ��A�ȉ���2�̖��肪���l�ł��邱�Ƃ������B

(a) $ \basis{\v{f}_1,\v{f}_2,\cdots,\v{f}_n} $ �� $ V $ ��
���ł���B

(b) $ A=(a_{ij}) $ �Ƃ����Ƃ��A�s��$ A $ �͐����ł���B
\vs
\no{34}
�x�N�g�����$ V $ �̊��̎��ւ�$ \mbox{E} \to \mbox{F} $ ��
�s������߂�B \\
(1) $ V = \R^2, \
\mbox{E}=\basis{\vec{3 \\ 2},\vec{-7 \\ 6}}
\mbox{F}=\basis{\vec{13 \\ -2},\vec{-11 \\ 14}} $ \\
(2) $ V=\{\t(x,y,z) \in \R^3 \bigm| x+2y+z=0 \}, \
\mbox{E}=\basis{\vec{4 \\ -3 \\ 2},\vec{3 \\ 1 \\ -5}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{14 \\ -17 \\ 20},\vec{-19 \\ 24 \\ -29}} $ \\
(3) $ V=\R^3, \
\mbox{E}=\basis{\vec{1 \\ 0 \\ 1},\vec{2 \\ 1 \\ 0},
\vec{1 \\ 1 \\ -2}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{3 \\ -1 \\ 4},\vec{4 \\ 1 \\ 8},
\vec{3 \\ -2 \\ 6}} $ \vspace{2mm} \\
(4) $ V=P_3(\R), \
\mbox{E}=\basis{1,x,x^2,x^3}, \
\mbox{F}=\basis{1,1+x,(1+x)^2,(1+x)^3} $
\vs
\underline{\bf ���̎��ւ��s��ɂ���}
\\
$ \v{e}_1=\t(-1,3), \v{e}_2=\t(1,-2),
\v{f}_1=\t(2,1),\v{f}_2=\t(1,1) $ �Ƃ����B
�x�N�g�� $ \v{v}=\t(a,b) \in \R^2 $ ��
�Q�̈قȂ��� $ \mbox{E}=\basis{\v{e}_1,\v{e}_2},
\mbox{F}=\basis{\v{f}_1,\v{f}_2} $ ��
�p���ĕ\�����Ƃ��l����B
�܂� $ \v{v}=x_1\v{e}_1+x_2\v{e}_2 $ �����藧�悤�� $
x_1,x_2 $ �����߂�Ɓi�A�������� $ -x_1+x_2=a, \
3x_1-2x_2=b $ �������j$ x_1=2a+b, \ x_2=3a+b $ �ł��邩��A
$ \v{v} $ ����� $ \mbox{E} $ �ŕ\�����Ƃ���
���W�� $ \v{x}=\t(2a+b,3a+b) $ �ł���B����A
$ \v{v}=y_1\v{f}_1+y_2\v{f}_2 $ �𖞂��� $ y_1,y_2 $ �� $
y_1=a-b, \ y_2=-a+2b $ �ł��邩��A
$ \v{v} $ ����� $ \mbox{F} $ �ŕ\�����Ƃ���
���W�� $ \v{y}=\t(a-b,-a+2b) $ �ł���B
������ $ \v{x} $ �́A
����s�� $ P $ �� $ \v{y} $ ��p���� $ \v{x}=P\v{y} $ ��
������i$ P $ ���ǂ������΂悢���A���ۂɋ��߂Ă݂�j�B
���� $ P $ �����̎��ւ� $ \mbox{E} \to \mbox{F} $ �̍s��
�ł���B

\no{35} \\
(1) �x�N�g����� $ V $ �̊��̎��ւ�$ \mbox{E} \to
\mbox{F} $ �̍s������߂�B
\vspace{2mm} \\
(a) $ V=\R^2, \
\mbox{E}=\basis{\vec{2 \\ 3},\vec{4 \\ -1}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{2 \\ 10},\vec{16 \\ 3}} $
\vspace{2mm} \\
(b) $ V=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Biggm|
x+3y-2z=0 \right\}, \
\mbox{E}=\basis{\vec{1 \m 1 \m 2},\vec{3 \m 1 \m 3}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{-1 \m 3 \m 4},\vec{5 \m 3 \m 7}} $
\vs
(2) $ \R^4 $ �̕������ $ W_1, W_2 $ ���ȉ��Œ�`����A
���̂Ƃ��A$ W_1,W_2,W_1+W_2,W_1 \cap W_2 $ �̎�����
���̈������߂�B
\[
W_1=\left\{ \t(x,y,z,w) \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{r}
-2x+y+z+w=0 \\ 5x-2y-4z-3w=0
\end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ \t(x,y,z,w) \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{r}
4x-3y+z+2w=0 \\ -4x+y+5z+2w=0
\end{array} \right\}
\]

\no{36}
$ V, W_1, W_2 $ ���ȉ��Œ�`����Ƃ��A
$ V=W_1+W_2 $ �����藧���ǂ����𒲂ׂ�B
�܂��A$ V=W_1+W_2 $ ������������̂�
�΂��Ă� $ V=W_1 \oplus W_2 $ ���������邩�ǂ��������ׂ�B
\\
(1)
$ V=\R^3, \
W_1=\basis{\vec{4 \m 3 \m -1},\vec{3 \m 1 \m 2}}, \
W_2=\basis{\vec{-1 \m 2 \m 1}} $
\vspace{2mm} \\
(2)
$ V=\R^3, \
W_1=\basis{\vec{1 \m 1 \m 2},\vec{2 \m 3 \m 1}}, \
W_2=\basis{\vec{2 \m -4 \m 1},\vec{3 \m 2 \m -1}} $
\vspace{2mm} \\
(3)
$ V=\R^3, \
W_1=\left\{\vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Bigm|
3x-4y+2z=0 \right\}, \
W_2=\left\{\vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Biggm|
\begin{array}{l}
2x-3y+z=0 \\ 3x-5y+z=0
\end{array} \right\} $
\vspace{2mm} \\
(4)
$ V=\R^4, \
W_1=\basis{\vec{1 \m 2 \m 4 \m 0},\vec{2 \m -1 \m 1 \m 4}}, \
W_2=\basis{\vec{1 \m 1 \m -2 \m 3},\vec{1 \m -2 \m 3 \m 1}} $
\vspace{2mm} \\
(5)
$ V=\R^4, \
W_1=\left\{\vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{l}
x+2y-z+3w=0 \\ 3x+y+2z-w=0
\end{array} \right\}, \
W_2=\left\{\vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{l}
3x-2y+3z+w=0 \\ 4x-2y+2z+w=0 \\ x-2y+5z+w=0
\end{array} \right\} $
\vspace{2mm} \\
(6)
$ V=\mbox{M}_n(\R), \
W_1=\bigl\{ \mbox{��O�p�s��} \in V \bigr\}, \
W_2=\bigl\{ \mbox{���O�p�s��} \in V \bigr\} $ \\
(7)
$ V=\mbox{M}_n(\R), \
W_1=\bigl\{ A \in V \bigm| \t A=A \bigr\}, \
W_2=\bigl\{ A \in V \bigm| \t A=-A \bigr\} $ \\
(8)
$ V=\mbox{M}_n(\R), \
W_1=\bigl\{ \mbox{��O�p�s��} \in V \bigr\}, \
W_2=\bigl\{ A \in V \bigm| \t A=-A \bigr\} $ \\
(9)
$ V=P_4(\R), \ W_1=\bigl\{ f \in V \bigm| f(0)=0 \bigr\}, \
W_2=\bigl\{ f \in V \bigm| f'(x) \equiv 0 \bigr\} $
\vspace{1mm} \\
(10)
\dis{V=P_4(\R), \
W_1=\Bigl\{ f \in V \bigm| \int_0^1 \!\! f(x)dx=0 \Bigr\}, \
W_2=\Bigl\{ f \in V \bigm| \int_{-1}^0 \!\! f(x)dx=0 \Bigr\}}
\vs
\no{37}
�R�����x�N�g�����$ V $ ��
�قȂ�Q�����������$ W_1,W_2 $ ��
�a $ W_1+W_2 $ �� $ V $ �Ɉ�v���邱�Ƃ������B
\vs
\no{38}
�S�����x�N�g�����$ V $ ��
�Q�����������$ W_1,W_2 $ �ɑ΂��āA
$ V=W_1+W_2 $ �Ȃ�� $ V=W_1 \oplus W_2 $ �����藧���Ƃ������B


\end{document}
