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\title{代数学幾何学演習II (No.007)}
\date{2003年10月17日}
\author{利根川 聡}

\begin{document}
\maketitle
\no{39}
$ V $ を２次元のベクトル空間、
$ \mbox{E}=\basis{\v{e}_1,\v{e}_2}, \
\mbox{F}=\basis{\v{f}_1,\v{f}_2} $ を $ V $ の
２つの基底、$ S, T $ を $ V $上の線形変換とする。
２つの基底 $ \mbox{E},\mbox{F} $ の間には以下の(a)の
関係があり、線形変換 $ S,T $ に対しては以下の(b),(c)が
成り立つとする。
\[
\mbox{(a)} \
\left\{ \begin{array}{l}
\v{f}_1=2\v{e}_1+4\v{e}_2 \\
\v{f}_2=5\v{e}_1-3\v{e}_2
\end{array} \right. \qquad
\mbox{(b)} \
\left\{ \begin{array}{l}
S\v{e}_1=-10\v{e}_1-3\v{e}_2 \\
S\v{e}_2=3\v{e}_1+4\v{e}_2
\end{array} \right. \qquad
\mbox{(c)} \
\left\{ \begin{array}{l}
T\v{e}_1=4\v{e}_1+9\v{e}_2 \\
T\v{e}_2=2\v{e}_1-3\v{e}_2
\end{array} \right.
\]
(1) 基底$ \mbox{E} $ に関する $ S,T $ の行列を
それぞれ求めよ。 \\
(2) 基底$ \mbox{E} $ に関する $ ST $ の行列を
求めよ。 \\
(3) 基底$ \mbox{F} $ に関する $ S $ の行列を求めよ。 \\
(4) 基底$ \mbox{F} $ に関する $ T $ の行列を求めよ。 \\
(5) 基底$ \mbox{F} $ に関する $ ST $ の行列を求めよ。 \\
{\bf 注}：$ ST $ は $ (ST)\v{x}=S(T\v{x}) $ で定義される
合成変換を表す。
\vs
\no{40}
ベクトル空間$ V $ とその２つの基底$ \mbox{E},\mbox{F} $ が
以下のように与えられており、
$ V $上の線形変換$ T $ の基底$ \mbox{E} $ に
関する行列が $ A $ であるとする。このとき、
$ T $ の基底$ \mbox{F} $ に関する行列を求めよ。
\vspace{2mm} \\
(1) $ V=\R^2, \ \mbox{E}=\mbox{標準基底}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{3 \m -2},\vec{-1 \m 1}}, \
A=\Mat2{3 & 5 \m -7 & 4} $
\vspace{2mm} \\
(2) $ V=\R^2, \
\mbox{E}=\basis{\vec{1 \m 1}, \vec{-1 \m 1}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{5 \m -1},\vec{-3 \m 1}}, \
A=\Mat2{2 & 1 \m 1 & 2} $
\vspace{2mm} \\
(3) $ V=\R^3, \ \mbox{E}=\mbox{標準基底}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{-13 \m -5 \m 16},
\vec{-7 \m -3 \m 9},\vec{10 \m 3 \m -11}}, \
A=\Mat3{23 & 3 & 21 \m 8 & 3 & 8 \m -24 & -3 & -22} $
\vs
\no{41}
$ A=\Mat3{6 & -5 & 7 \m -1 & 1 & 2 \m -3 & 2 & -1} $ とおき、
$ \R^3 $上の線形変換 $ T $ を $ T\v{x}=A\v{x} \
(\v{x} \in \R^3) $ で定義する。また、$ \R^3 $ の
部分空間 $ W_1,W_2 $ を以下で定義する。
\[
W_1=\left\{\vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Biggm|
x-y+z=0 \right\}, \qquad
W_2=\left\{\vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Biggm|
\begin{array}{l} 3x+2y+z=0 \\ x-3y+4z=0
\end{array} \right\}
\]
(1) $ \dim W_1=2, \ \dim W_2=1 $ が成り立つことを示し、
$ W_1 $ の基底 $ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2} $ および $
W_2 $ の基底 $ \basis{\v{e}_3} $ を求めよ。 \\
(2) $ W_1, W_2 $ が$ T $-不変部分空間であることを示せ。 \\
(3) $ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3} $ が $ \R^3 $ の
基底であることを示し、この基底に関する $ T $ の行列を
求めよ。
\vs
\no{42}
$ P_3(\R) $上の線形変換$ T $ を \dis{Tf=\frac{df}{dx}} で
定義する。 \\
(1) $ \Im T, \Ker T $ を求めよ。 \\
(2) 基底 $ \basis{1,x,x^2,x^3} $ に関する $ T $ の行列を
求めよ。 \\
(3) (2)で求めた行列を $ A $ として $ A^k \ (k=1,2,\cdots) $ を
計算せよ。
\vs
\no{43}
$ P_3(\R) $上の線形変換$ T $ を $ (Tf)(x)=f(x+1) $ で定義する。
また、$ P_3(\R) $ の2つの基底を $ \mbox{E}=\basis{1,x,x^2,x^3},
\ \mbox{F}=\basis{6,6+6x,1+3x+3x^2,x^3} $ で定義する。 \\
(1) 基底の取り替え$ \mbox{E} \to \mbox{F} $の行列を求めよ。
（これを $ P $ とする） \\
(2) 線形変換$ T $ の基底$ \mbox{E} $ に関する行列を求めよ。
（これを $ A $ とする） \\
(3) $ P^{-1} \! AP $ を計算せよ。また、これが線形変換$ T $ の
基底$ \mbox{F} $ に関する行列となることを確かめよ。

\no{44}
$ P_3(\R) $上の線形変換$ T $ を以下のように定義するとき、
$ T $ の基底 $ \mbox{E}=\basis{1,x,x^2,x^3} $ に関する行列、
および基底 $ \mbox{F} $ に関する行列を求めよ。 \\
(1) \dis{(Tf)(x)=f'(x)+f(x), \quad
\mbox{F}=\basis{6,6x,3x^2,x^3}}
\vspace{2mm} \\
(2) \dis{(Tf)(x)=\frac1{x-1}\int_1^x \!\! f(t)dt, \quad
\mbox{F}=\basis{1,x-1,(x-1)^2,(x-1)^3}}
\\
(3) \dis{(Tf)(x)=\int_{-1}^1 \!\! (x-t)^3f(t)dt, \quad
\mbox{F}=\basis{1,x^2,x,x^3}}
\vs
\no{45}
$ V $ を３次交代行列全体からなるベクトル空間とする。 \\
(1) $ A=\Mat3{0 & 4 & -2 \m -4 & 0 & 5 \m 2 & -5 & 0} $ とし $
T(X)=AX-XA \ (X \in V )$ とおくと、
$ T $ は $ V $上の線形変換となることを示せ。 \\
(2) $ E_1=\Mat3{0 & 1 & 0 \m -1 & 0 & 0 \m 0 & 0 & 0},
E_2=\Mat3{0 & 0 & 1 \m 0 & 0 & 0 \m -1 & 0 & 0},
E_3=\Mat3{0 & 0 & 0 \m 0 & 0 & 1 \m 0 & -1 & 0} $ とおくと、
$ \basis{E_1,E_2,E_3} $ は $ V $ の基底となる。
線形変換 $ T $ のこの基底に関する行列を求めよ。
\vs
\no{46}
以下に与えるベクトルの組 $ \basis{\v{f}_1,\v{f}_2,\v{f}_3}
$ にシュミットの直交化法を適用して、正規直交基底 $ \basis{
\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3} $ を作れ。 \\
(1) $ \v{f}_1=(1+i,1-i,0), \
\v{f}_2=(1+2i,2+i,4i), \ \v{f}_3=(-1+i,3+3i,-5+4i) $ \\
(2) $ \v{f}_1=(2,3i,1-2i), \
\v{f}_2=(1+i,3+9i,-3-5i), \ \v{f}_3=(8-2i,3,2-9i) $ \\
(3) $ \v{f}_1=(1+2i,3-i,1), \
\v{f}_2=(3,-1-i,-1-6i), \ \v{f}_3=(i,-2+2i,-2-5i) $ \\
(4) $ \v{f}_1=(3,1+i,1-2i), \
\v{f}_2=(4-i,-1+i,6+5i) \ \v{f}_3=(10,3,9+i) $ \\
(5) $ \v{f}_1=(2-i,2+i,-1+3i), \
\v{f}_2=(2i,5,1+i) \ \v{f}_3=(7+6i,-3-14i,7-2i) $
\vs
\no{47}
$ f,g \in P_3(\R) $ の内積 $ (f,g) $ を以下で与えるとき、
$ \basis{1,x,x^2,x^3} $ にシュミットの直交化法を適用して
得られる正規直交基底を求めよ。 \\
(1) \dis{(f,g)=\int_{-1}^1f(x)g(x)dx} \qquad
(2) \dis{(f,g)=\int_{-1}^1f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}} \\
(3) \dis{(f,g)=\int_0^{\infty}f(x)g(x)e^{-x}dx} \qquad
(4) \dis{(f,g)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)e^{-x^2}dx}
\vs
\no{48} $ \v{e}_1,\cdots,\v{e}_n $ は２つの条件 (1) $ \v{e}_k
\ne \v{o} \ (1 \le k \le n) $ \ (2) $ i \ne j $ ならば $
(\v{e}_i,\v{e}_j)=0 $ \ を満たしているとする。
このとき、$ \v{e}_1,\cdots,\v{e}_n $ は線形独立であることを
示せ。
\vs
\no{49}
$ V $ を実計量線形空間とし、$ \v{x},\v{y} \in V $ とする。
このとき、以下の(1)～(4)が成立することを示せ。
さらに、$ V $ が複素計量線形空間である場合にも同じことが
言えるかどうか考察せよ。 \\
(1) $ |(\v{x},\v{y})| \le ||\v{x}||||\v{y}|| $ \\
(2) $ ||\v{x}+\v{y}||^2+||\v{x}-\v{y}||^2=
2(||\v{x}||^2+||\v{y}||^2) $ \\
(3) $ (\v{x},\v{y})=0 \ \Leftrightarrow \
||\v{x}+\v{y}||^2=||\v{x}||^2+||\v{y}||^2 $ \\
(4) \dis{(\v{x},\v{y})=\frac14(||\v{x}+\v{y}||^2-
||\v{x}-\v{y}||^2)}
\vs
\no{50}
$ V $ を $ n $次元ユニタリ空間、
$ \mbox{E}=\basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_n} $ を $ V $ の
正規直交基底、
$ \mbox{F}=\basis{\v{f}_1,\cdots,\v{f}_n} $ を $ V $ の基底と
する。基底の取り替え $ \mbox{E} \to \mbox{F} $ の
行列を $ P=(p_{ij}) \in \mbox{M}_n(\C) $ とするとき、
以下の(1),(2)を示せ。 \\
(1) \dis{(\v{f}_i,\v{f}_j)=\sum_{k=1}^n p_{ki}\overline{p_{kj}}}
\\
(2) $ \mbox{F} $ は正規直交基底 $ \ \Leftrightarrow \ P $ は
ユニタリ行列

\no{51}
$ T $ をベクトル空間$ V $上の線形変換、
$ W $ を $ V $ の部分空間とする。 \\
(1) $ W $ が $ T $-不変部分空間であることの定義を書け。 \\
(2) $ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2,\cdots,\v{e}_r} $ を $ W $ の基底
とする。このとき、次の(a),(b)が同値であることを示せ。

(a) $ W $ は $ T $-不変部分空間である \qquad
(b) $ k=1,2,\cdots, r $ に対して $ T\v{e}_k \in W $ が成り立つ
\vs
\no{52}
以下に与える $ n, A, W_1, W_2 $ の各組(a)～(e)に対して、
(1)～(4)に答えよ。
なお、$ T $ は $ T\v{x}=A\v{x} \ (\v{x} \in \R^n) $ で
定義される $ \R^n $上の線形変換とする。 \\
(1) $ r=\dim W_1, \ s=\dim W_2 $ および $ W_1 $ の基底 $
\basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r} $ と $ W_2 $ の基底 $
\basis{\v{e}_1',\cdots,\v{e}_s'} $ を求めよ。 \\
(2) $ \R^n=W_1 \oplus W_2 $ が成り立つことを示せ。\\
(3) $ W_1,W_2 $ が $ T $-不変部分空間であることを示せ。 \\
(4) $ \mbox{E}=\basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r,\v{e}_1',\cdots,
\v{e}_s'} $ は、(2)より $ \R^n $ の基底である。
線形変換$ T $ の基底 $ \mbox{E} $ に関する行列を求めよ。
\vspace{2mm} \\
(a) $ n=3, \quad
A=\Mat3{3 & 6 & -2 \m -4 & -7 & -3 \m 2 & 2 & 5}, $

$ W_1=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Biggm|
\begin{array}{r} 2x+2y-3z=0 \\ 5x+5y+7z=0
\end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Bigm|
x+2y+z=0 \right\}
$
\vspace{2mm} \\
(b) $ n=3, \quad
A=\Mat3{4 & -6 & 4 \m -1 & 7 & -3 \m -4 & 14 & -7}, $

$ W_1=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Biggm|
\begin{array}{r}
3x+5y-z=0 \\ 5x+y+2z=0
\end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Bigm|
3x-2y+2z=0 \right\} $
\vspace{2mm} \\
(c) $ n=3, \quad
A=\Mat3{2 & 3 & -3 \m 2 & 5 & -4 \m 2 & 6 & -5}, $

$ W_1=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Biggm|
\begin{array}{r}
x-3y+z=0 \\ 5x-y-2z=0
\end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Bigm|
y-z=0 \right\} $
\vspace{2mm} \\
(d) $ n=4, \quad
A=\Mat4{-6 & -5 & -5 & -2 \m 3 & 3 & 2 & 0 \m
8 & 6 & 7 & 3 \m -1 & -1 & -1 & 1}, $

$ W_1=\left\{ \vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{r}
4x+y+z-2w=0 \\ 2x+3y+z+2w=0 \\ -x+2y+5z+8w=0
\end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ \vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Bigm|
4x+3y+3z+w=0 \right\} $
\vspace{2mm} \\
(e) $ n=4, \quad
A=\Mat4{2 & 2 & -4 & 2 \m -2 & -2 & 6 & -2 \m
-1 & -1 & 3 & 0 \m 0 & 1 & -2 & 3}, $

$ W_1=\left\{ \vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{r}
3x+2y-z-w=0 \\ 3x+y+z-2w=0 \\ 5x+y+3z-4w=0
\end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ \vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{r}
2x-y+2z-6w=0 \\ 2x+3y-6z+2w=0
\end{array} \right\}
$
\vs
\no{53}
$ V $ を内積をもつベクトル空間、$ W $ を $ V $ の部分空間、
$ \basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r} $ を $ W $ の正規直交基底とする。
また、$ \basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r} $ を拡大して $ V $ の
正規直交基底 $ \basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_n} $ を得たとする。 \\
(1) $ V^{\perp}=\{\v{o}\}, \ \{\v{o}\}^{\perp}=V $ を示せ。 \\
(2) $ \v{v} \in V $ に対して \dis{\v{x}=\sum_{k=1}^r(\v{v},
\v{e}_k)\v{e}_k} とおくと、$ \v{x} \in W, \
\v{v}-\v{x} \in W^{\perp} $ が成り立つことを示せ。 \\
(3) $ V=W\oplus W^{\perp} $ を示せ。 \\
(4) $ W^{\perp}=\basis{\v{e}_{r+1},\cdots,\v{e}_n} $ が
成り立つことを示せ。 \\
(5) $ (W^{\perp})^{\perp}=W $ が成り立つことを示せ。
\vs
\no{54} 以下は $ (W_1+W_2)^{\perp}=W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}
$ の証明の過程を書いたものである。ここで、
$ \Longleftrightarrow $ はその両側にある２つの命題が同値である
ことを表しているが、以下の証明には、なぜ同値なのかの説明がない。
そこで、$ \Longleftrightarrow $ の各部分について、
同値であることの理由を説明せよ。 \\
{\bf 例} \ (0)：直交補空間の定義に従って式を書き直した
\begin{eqnarray*}
\v{x} \in (W_1+W_2)^{\perp} &
\stackrel{\mbox{\footnotesize (0)}}{\Longleftrightarrow} &
\forall \v{y} \in W_1+W_2 \mbox{ に対して } (\v{x},\v{y})=0 \\
& \stackrel{\mbox{\footnotesize (1)}}{\Longleftrightarrow} &
\forall \v{y}_1 \in W_1, \forall \v{y}_2 \in W_2 \mbox{ に対して }
(\v{x},\v{y}_1+\v{y}_2)=0 \\
& \stackrel{\mbox{\footnotesize (2)}}{\Longleftrightarrow} &
\forall \v{y}_1 \in W_1 \mbox{ に対して } (\v{x},\v{y}_1)=0 \
\mbox{ かつ } \
\forall \v{y}_2 \in W_2 \mbox{ に対して } (\v{x},\v{y}_2)=0 \\
& \stackrel{\mbox{\footnotesize (3)}}{\Longleftrightarrow} &
\v{x} \in W_1^{\perp} \mbox{ かつ } \v{x} \in W_2^{\perp} \\
& \stackrel{\mbox{\footnotesize (4)}}{\Longleftrightarrow} &
\v{x} \in W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}
\end{eqnarray*}
\no{55}
$ \v{x}=\t(x_1,\cdots,x_n),
\v{y}=\t(y_1,\cdots,y_n) \in \C^n $ に対し、
これらの内積を \dis{(\v{x},\v{y})=\sum_{k=1}^n
x_k \overline{y_k}} で定義する。 \\
(1) $ A \in \mbox{M}_n(\C) $ に対して $ (A\v{x},\v{y})
=(\v{x},A^*\v{y}) $ が成立することを示せ。 \\
(2) $ A \in \mbox{M}_n(\C) $ に関する次の２条件が
同値であることを示せ。

(a) $ A $ はエルミート行列

(b) 任意の $ \v{x},\v{y} \in \C^n $ に対して $ (A\v{x},\v{y})
=(\v{x},A\v{y}) $ が成り立つ \\
(3) $ A \in \mbox{M}_n(\C) $ に関する次の３条件が
同値であることを示せ。

(a) $ A $ はユニタリ行列

(b) 任意の $ \v{x},\v{y} \in \C^n $ に対して $ (A\v{x},A\v{y})
=(\v{x},\v{y}) $ が成り立つ

(c) 任意の $ \v{x} \in \C^n $ に対して $ ||A\v{x}||=
||\v{x}|| $ が成り立つ
\vs
\no{56}
以下に与える $ \R^n $ の部分空間 $ W $ に対して
直交補空間 $ W^{\perp} $ の正規直交基底の一例を求めよ。
\vspace{2mm} \\
(1) $ W=\basis{\vec{1 \m 2 \m -1}, \vec{0 \m 1 \m 3}} $ \qquad
(2) $ W=\basis{\vec{3 \m 1 \m 2}, \vec{1 \m -2 \m 1}} $ \qquad
(3) $ W=\basis{\vec{2 \m 1 \m -2}} $ \vspace{2mm} \\
(4) $ W=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Bigm|
x+2y+z=0 \right\} $ \qquad
(5) $ W=\left\{ \vec{x \m y \m z} \in \R^3 \Bigm|
\begin{array}{r} x+2y+2z=0 \\ 2x-3y-7z=0 \end{array}
\right\} $ \vspace{2mm} \\ 
(6) $ W=\basis{\vec{3 \m 4 \m -1 \m 1}, \vec{2 \m 2 \m -2 \m 3},
\vec{-3 \m 4 \m 2 \m 1}} $ \qquad
(7) $ W=\basis{\vec{1 \m 2 \m 0 \m 1}, \vec{-2 \m 3 \m 1 \m 2}}
$ \qquad
(8) $ W=\basis{\vec{2 \m 1 \m -3 \m 4}} $

\end{document}
