\documentclass{jarticle}
\input{style.tex}

%%
%% lin11 & lin13 & lin14
%%

\title{�㐔�w�􉽊w���KII (No.008)}
\date{2003�N10��24��}
\author{������ ��}

\begin{document}
\maketitle
\no{57}
$ T $ �� $ V $ ��̐��`�ϊ��Ƃ���B \\
(A) $ \basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r} $ �� $
\Ker T $ �̊��Ƃ��A������g�債�� $ V $ �̊�� $
\basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_n} $ �𓾂��Ƃ��āA
(1),(2)���ؖ�����B

(1) $ \basis{T\v{e}_{r+1},\cdots,T\v{e}_n} $ �� $ \Im T $ ��
���ł���B

(2) $ T^2=T $ �Ȃ�� $\basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r,
T\v{e}_{r+1},\cdots, T\v{e}_n} $ �� $ V $ �̊��ł���B \\
(B) $ T^2=T $ �Ƃ��āA(3),(4)���ؖ�����B

(3) �C�ӂ� $ \v{x} \in V $ �ɑ΂� $ \v{x}-T\v{x} \in \Ker T $

(4) $ V=\Im T+\Ker T $
[�q���g: $ \v{x}=T\v{x}+(\v{x}-T\v{x}) $]
\\
(5) ����  $ \dim V=\dim(\Im T+\Ker T)+\dim(\Im T \cap \Ker T)
$ ���ؖ�����B \\
(6) $ T^2=T \ \Rightarrow \ \Im T \cap \Ker T=\{\v{o}\} $ ��
�ؖ�����B \\
(7) (1)�`(6)��K���ɗ��p���āA
$ T^2=T \ \Rightarrow \ V=\Im T \oplus \Ker T $ ���ؖ�����B \\
{\bf ���F} (1),(5)�ł� $ T^2=T $ �����肵�Ȃ��B
\vs
\no{58}
$ V $ �� $ n $�����x�N�g����ԁA$ \mbox{E}=\basis{\v{e}_1,
\cdots,\v{e}_n} $ �� $ V $ �̐��K�������Ƃ���B
�܂��A$ T $ �� $ V $��̐��`�ϊ��� $ T\v{e}_k=\v{e}_{k+1} \
(1 \le k \le n-1), \ T\v{e}_n=\v{e}_1 $ �𖞂������̂Ƃ���B \\
(1) $ T $ �̊��$ \mbox{E} $ �Ɋւ���s������߂�B \\
(2) (1)�ŋ��߂��s��� $ A $ �Ƃ���Ƃ��A
$ A^k \ne E \ (k=1,2,\cdots,n-1) $ ����� $ A^n=E $ ��
���藧���Ƃ������B \\
(3) $ \v{f}_1=\v{e}_1+\v{e}_2+\cdots+\v{e}_n $ �Ƃ����A
$ \v{f}_1 $ �ɂ���Ē����� $ V $ �̂P����������Ԃ� $ W_1 $ ��
����ƁA$ W_1 $ �� $ T $-�s�ϕ�����ԂƂȂ邱�Ƃ������B \\
(4) $ n $ �������Ƃ���B���̂Ƃ��A
$ \v{f}_1=\v{e}_1+\v{e}_3+\cdots+\v{e}_{n-1}, \
\v{f}_2=\v{e}_2+\v{e}_4+\cdots+\v{e}_n $ �Ƃ����A
$ \v{f}_1,\v{f}_2 $ �ɂ���Ē����� $ V $ �̂Q����������Ԃ� $
W_2 $ �Ƃ���ƁA$ W_2 $ �� $ T $-�s�ϕ�����ԂƂȂ邱�Ƃ������B \\
(5) $ n=3 $ �Ƃ��A$
\v{f}_1=\frac1{\sqrt3}(\v{e}_1+\v{e}_2+\v{e}_3), \
\v{f}_2=\frac1{\sqrt2}(\v{e}_1-\v{e}_2), \
\v{f}_3=\frac1{\sqrt6}(\v{e}_1+\v{e}_2-2\v{e}_3) $ �Ƃ����B
���̂Ƃ��A$ \mbox{F}=\basis{\v{f}_1,\v{f}_2,\v{f}_3} $ ��
���K�������ƂȂ邱�Ƃ������B
����ɁA$ T $ �̊�� $ \mbox{F} $ �Ɋւ���s������߂�B \\
(6) $ n=4 $ �Ƃ��A$
\v{f}_1=\frac1{\sqrt2}(\v{e}_1+\v{e}_3), \
\v{f}_2=\frac1{\sqrt2}(\v{e}_2+\v{e}_4), \
\v{f}_3=\frac1{\sqrt2}(\v{e}_1-\v{e}_3), \
\v{f}_4=\frac1{\sqrt2}(\v{e}_2-\v{e}_4) $ �Ƃ����B
���̂Ƃ��A$ \mbox{F}=\basis{\v{f}_1,\v{f}_2,\v{f}_3,\v{f}_4} $ ��
���K�������ƂȂ邱�Ƃ������B
����ɁA$ T $ �̊�� $ \mbox{F} $ �Ɋւ���s������߂�B
\vs
\no{59}
(1)
$ \v{e}_1=\t(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}) $ ��
�����B���̂Ƃ��A���̂Q����(i),(ii)���Ƃ��ɖ������x�N�g�� $
\v{e}_2,\v{e}_3 $ ���P�g���߂�B

(i) $ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3} $ �� $ \R^3 $ �̐��K�������
\hs
(ii) $ \det(\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3)=1 $ \\
(2) $ \R^3 $ �ɂ�����ȉ��̐��`�ϊ��̕W�����Ɋւ���s������߂�B
�i�q���g�F�܂���� $ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3} $ �Ɋւ���
�s������߁A���̌�ŕW�����Ɋւ���s������߂�Ƃ悢�j

(a) ���� $ x+y+z=0 $ �Ɋւ���Ώ̈ړ�

(b) ���� $ x=y=z $ �̎���̊p�x$ \theta $ �̉�]�ړ�
\no{60}
�ȉ��ɗ^����x�N�g���̑g $ \basis{\v{f}_1,\v{f}_2,\v{f}_3}
$ �ɃV���~�b�g�̒������@��K�p���āA���K������� $ \basis{
\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3} $ �����B \\
(1) $ \v{f}_1=(1,2,-1), \ \v{f}_2=(3,4,-1), \
\v{f}_3=(-2,-3,5) $ \\
(2) $ \v{f}_1=(1+2i,3-i,1), \ \v{f}_2=(3,-1-i,-1-6i), \
\v{f}_3=(i,-2+2i,-2-5i) $
\vs
\no{61}
$ f,g \in P_3(\R) $ �̓��ς� \dis{(f,g)=\int_{-1}^1f(x)g(x)dx
} �ŗ^����Ƃ��A$ \basis{1,x,x^2,x^3} $ �ɃV���~�b�g�̒������@
��K�p���ē����鐳�K�����������߂�B
\vs
\no{62}
�x�N�g�����$ V $ �̊��̎��ւ�$ \mbox{E} \to 
\mbox{F} $ �̍s������߂�B
\vspace{2mm} \\
(1) $ V=\R^2, \ \mbox{E}=\basis{\vec{4 \m 1},\vec{5 \m 3}},
\ \mbox{F}=\basis{\vec{-3 \m 1},\vec{1 \m -5}} $ \\
(2) $ V=\{\t(x,y,z) \in \R^3 \bigm| 3x-2y-4z=0\}, \
\mbox{E}=\basis{\vec{2 \m 1 \m 1},\vec{2 \m -1 \m 2}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{4 \m 4 \m 1},\vec{2 \m 9 \m -3}} $
\vs
\no{63}
�x�N�g�����$ V $ �Ƃ��̂Q�̊��$ \mbox{E},\mbox{F} $ ��
�ȉ��̂悤�ɗ^�����Ă���A$ V $��̐��`�ϊ�$ T $ ��
���$ \mbox{E} $ �Ɋւ���s�� $ A $ �ł���Ƃ���B
���̂Ƃ��A$ T $ �̊��$ \mbox{F} $ �Ɋւ���s������߂�B
\vspace{2mm} \\
(1) $ V=\R^2, \ \mbox{E}=\basis{\vec{2 \m 3},\vec{5 \m 4}}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{1 \m 5},\vec{1 \m -2}}, \
A=\Mat2{5 & 1 \m -1 & 2} $ \\
(2) $ V=\R^3, \ \mbox{E}=\mbox{�W�����}, \
\mbox{F}=\basis{\vec{1 \m -1 \m 0},\vec{2 \m -1 \m -2},
\vec{-1 \m 1 \m 2}}, \
A=\Mat3{1 & 0 & -1 \m 1 & 2 & 1 \m 2 & 2 & 3} $
\vs
\no{64}
$ A=\Mat4{2 & 2 & -4 & 2 \m -2 & -2 & 6 & -2 \m
-1 & -1 & 3 & 0 \m 0 & 1 & -2 & 3} $ ��p���� $ \R^4 $���
���`�ϊ�$ T $ �� $ T\v{x}=A\v{x} \ (\v{x} \in \R^4) $ �� 
��`����B
�܂��A$ \R^4 $ �̕������ $ W_1, W_2 $ ���ȉ��ŗ^����B
���̂Ƃ��A(1)�`(4)�ɓ�����B
\[
W_1=\left\{ \vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{r}
3x+2y-z-w=0 \\ 3x+y+z-2w=0 \\ 5x+y+3z-4w=0
\end{array} \right\}, \quad
W_2=\left\{ \vec{x \m y \m z \m w} \in \R^4 \Biggm|
\begin{array}{r}
2x-y+2z-6w=0 \\ 2x+3y-6z+2w=0
\end{array} \right\}
\]
(1) $ r=\dim W_1, \ s=\dim W_2 $ ����� $ W_1 $ �̊�� $
\basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r} $ �� $ W_2 $ �̊�� $
\basis{\v{e}_1',\cdots,\v{e}_s'} $ �����߂�B \\
(2) $ \R^4=W_1 \oplus W_2 $ �����藧���Ƃ������B\\
(3) $ W_1,W_2 $ �� $ T $-�s�ϕ�����Ԃł��邱�Ƃ������B \\
(4) $ \mbox{E}=\basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r,\v{e}_1',\cdots,
\v{e}_s'} $ �́A(2)��� $ \R^4 $ �̊��ł���B
���`�ϊ�$ T $ �̊�� $ \mbox{E} $ �Ɋւ���s������߂�B
\no{65}
���̊e�s��ɑ΂��āA�ȉ��̖�ɓ�����B
\[
A_1=\Mat2{3 & 2 \\ 1 & 2}, \quad
A_2=\Mat2{2 & 1 \\ -4 & -2}, \quad
A_3=\Mat2{3 & 1 \\ -4 & -1}, \quad
A_4=\Mat2{4 & 1 \\ -1 & 2}, \quad
A_5=\Mat2{5 & 2 \\ -1 & 2},
\]
\[
A_6=\Mat2{-1 & -3 \\ 4 & 6}, \quad
A_7=\Mat2{-5 & 6 \\ -2 & 3}, \quad
A_8=\Mat2{2 & 3 \\ 3 & 2}, \quad
A_9=\Mat2{-2 & 3 \\ 1 & 0}, \quad
A_{10}=\Mat2{-2 & -1 \\ 7 & 6},
\]
\[
B_1=\Mat3{1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2},
\quad
B_2=\Mat3{1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3},
\quad
B_3=\Mat3{0 & -5 & -4 \\ -3 & -7 & -7 \\ 5 & 14 & 13},
\quad
B_4=\Mat3{17 & -2 & 4 \\ 28 & -1 & 8 \\ -42 & 6 & -9},
\]
\[
B_5=\Mat3{3 & -2 & -6 \\ -2 & 3 & 6 \\ 2 & -2 & -5},
\quad
B_6=\Mat3{1 & -1 & 1 \\ -7 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2},
\quad
B_7=\Mat3{7 & 2 & -6 \\ -9 & -1 & 9 \\ 5 & 2 & -4},
\quad
B_8=\Mat3{3 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 0},
\]
\[
B_9=\Mat3{-1 & 8 & 2 \\ -2 & 9 & 2 \\ 5 & -20 & -4},
\quad
B_{10}=\Mat3{7 & -4 & 14 \\ 2 & 1 & 7 \\ 1 & -1 & -1},
\quad
B_{11}=\Mat3{3 & -4 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 2 & -4 & -4},
\quad
B_{12}=\Mat3{-11 & -1 & 12 \\ -1 & 3 & 2 \\ -6 & -1 & 7},
\]
\[
B_{13}=\Mat3{2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1},
\quad
B_{14}=\Mat3{3 & 2 & -5 \\ 8 & 3 & -10 \\ 2 & 4 & -8},
\quad
C_1=\Mat4{3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3},
\quad
C_2=\Mat4{-6 & 8 & -2 & 8 \\ -9 & 11 & -2 & 8 \\
2 & -14 & 7 & -14 \\ 8 & -14 & 4 & -11},
\]
\[
C_3=\Mat4{-7 & -7 & 2 & 9 \\ 16 & 15 & -3 & -16 \\
-24 & -22 & 4 & 24 \\ 12 & 11 & -1 & -10},
\quad
C_4=\Mat4{4 & -5 & -5 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 4 \\
-3 & 10 & 16 & -13 \\ -1 & 15 & 15 & -10},
\quad
D_1=\Mat5{2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2}
\]
(1) ���������������߂�B \\
(2) �ŗL�l�ƌŗL�x�N�g�������߂�B \\
(3) �K���Ȑ����s��$ P $ �ɂ���đΊp���ł��邩�ǂ������肹��B
�Ίp���ł�����̂ɂ́A$ P $ ����ёΊp�s���^����B
\vs
\no{66}
$ T $ ���S�����x�N�g�����$ V $��̐��`�ϊ��Ƃ��A
$ \basis{\v{e}_1,\v{e}_2,\v{e}_3,\v{e}_4} $ �� $ V $ ��
���Ƃ���B$ T $ �̂��̊��Ɋւ���s��
\[
\Mat4{3 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 1}
\]
�ł���Ƃ��āA�ȉ��̖�ɓ�����B \\
(1) $ \v{e}_1, \v{e}_2 $ �ɂ���Ē����镔����� $ W_1 $ ��
$ T $�s�ϕ�����Ԃł��邱�Ƃ������B \\
(2) �Q������ $ T $�s�ϕ�����Ԃ� $ W_1 $ �Ƃ͈قȂ���̂�
�P���߂�B
�i�\���s��̌`���炷���ɂ킩��j  \\
(3) �P������ $ T $�s�ϕ�����Ԃ����߂�B
�i�����H�v���K�v�j

\end{document}
