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\title{代数学幾何学演習II (No.009)}
\date{2003年11月7日}
\author{利根川 聡}

\begin{document}
\maketitle
\no{67}
次の各行列に対して、以下の問に答えよ。
\[
A_1=\Mat3{-3 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & -1},
\quad % 1,3,-5
A_2=\Mat3{3 & -2 & 3 \\ -2 & -3 & -3 \\ 2 & 1 & 1},
\quad % 5,-2,-2
A_3=\Mat3{6 & 2 & 1 \\ -8 & -2 & -2 \\ 4 & 2 & 3},
\quad % 2,2,3
A_4=\Mat3{1 & -2 & 2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & -3 & 1},
% 3,-2,-2
\]
\[
A_5=\Mat3{0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ -2 & 2 & -1},
\quad % 1,2,-1
A_6=\Mat3{1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ -2 & -2 & -1},
\quad % 1,1,1
A_7=\Mat3{2 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & -3 \\ -2 & 2 & -1},
\quad % 1,4,-1
A_8=\Mat3{-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0},
% 2,-2,-2
\]
\[
A_9=\Mat3{3 & -2 & 2 \\ -4 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 5},
\quad % 1,3,5
A_{10}=\Mat3{-2 & -2 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & 2 & 5},
\quad % 1,2,3
A_{11}=\Mat3{3 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & 3},
\quad % 1,1,4
A_{12}=\Mat3{3 & 1 & 4 \\ -2 & -5 & -3 \\ 2 & 4 & 2},
% -1,-3,4
\]
\[
A_{13}=\Mat3{1 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -3 \\ -3 & 4 & 7},
\quad % 2,3,3
A_{14}=\Mat3{-3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & -1},
\quad % 4,-2,-3
A_{15}=\Mat3{-2 & 1 & -1 \\ 4 & 5 & -3 \\ -3 & -1 & -4},
\quad % 6,-2,-5
A_{16}=\Mat3{1 & 5 & 1 \\ 4 & 6 & -3 \\ -3 & 5 & 5},
% 1,4,7
\]
\[
A_{17}=\Mat3{-2 & 2 & -1 \\ -2a-3 & a+3 & -1 \\
-2a+1 & a-1 & 2},
\quad % 2,3,a+1
A_{18}=\Mat3{2 & 3 & 9-2a \\ 3 & 2 & 9-a \\ -1 & -1 & a-4},
\quad % 2,-1,a-1
A_{19}=\Mat3{1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & a-2 \\ 1 & -1 & a+2},
% 2,3,a+1
\]
\[
B_1=\Mat4{2 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 3 & -3 & 1 \\
0 & 2 & -1 & 1 \\ -2 & -4 & 6 & -1},
\quad % 1,1,2,-1
B_2=\Mat4{1 & -2 & 2 & -2 \\ -1 & -3 & 1 & -1 \\
4 & -6 & -1 & 4 \\ 2 & -3 & -2 & 5},
\quad % 3,3,-2,-2
B_3=\Mat4{2 & 3 & 6 & -3 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 1 & -1 \\ 4 & 4 & 8 & -5}
% 1,-1,-1,-1
\]
(1) 固有値と固有ベクトルを求めよ。 \\
(2) 適当な正則行列$ P $ によって対角化できるかどうか
判定せよ。
対角化できるものには、$ P $ および対角行列を与えよ。
\vs
\no{68} $ A $ を $ n $次正方行列とする。 \\
(1) $ A $ の固有値は $ \t A $ の固有値でも
あることを示せ。 \\
(2) $ A $ の固有ベクトルは $ \t A $ の
固有ベクトルでもあると言えるか？
証明または反例を与えよ。
\vs
\no{69}
$ V $ を $ n $次元ベクトル空間、
$ T $ を $ V $上の線形変換とする。
$ T $ は互いに相異なる $ n $個の固有値 $ \lambda_1,
\cdots,\lambda_n $ をもつとし、
固有値 $ \lambda_k $ に対する
固有ベクトルを $ \v{v}_k $ とする。 \\
(1) $ \v{v}_1,\cdots,\v{v}_n $ は線形独立であることを
示せ。 \\
(2) (1)および $ \dim V=n $より、
$ \basis{\v{v}_1,\cdots,\v{v}_n}$ は $ V $ の
基底となる。$ T $ のこの基底に関する行列を求めよ。
\vs
\no{70}
行列$ A $ および多項式 \dis{f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k \
(n \ge 1, a_n \ne 0)} に対し、行列$ f(A) $ を \dis{
f(A)=\sum_{k=0}^n a_kA^k} で定義する。
ただし、$ A^0=E $(単位行列)とする。 \\
(1) $ \lambda $ を $ A $ の固有値、
$ \v{v} $ を固有値$ \lambda $ に対する $ A $ の
固有ベクトルとする。このとき、
$ f(\lambda) $ は $ f(A) $ の固有値で $ \v{v} $ は
固有値$ f(\lambda) $ に対する $ f(A) $ の固有ベクトルで
あることを示せ。 \\
(2) $ f(A)=O $(零行列)ならば、$ A $ の任意の
固有値は $ n $次方程式 $ f(x)=0 $ の解であることを
示せ。 \\
(3) $ A $ が対角行列ならば $ f(A) $ も対角行列で
あることを示せ。 \\
(4) $ A $ が対角化可能ならば $ f(A) $ も対角化可能で
あることを示せ。

\no{71}
以下の行列 $ A_1 \sim A_4 $ のうちの２つに対して
下の問(1),(2),(3)に答えよ。
\[
A_1=\Mat3{2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & -3},
\quad % 3,3,-5
A_2=\Mat3{-2 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -2 \\ -3 & -1 & 3},
\quad % 1,1,1
A_3=\Mat3{3 & 5 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & 3},
\quad % -1,1,7
A_4=\Mat3{1 & 5 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & 3}
% 3,3,-1
\]
(1) 特性多項式を求めよ。 \\
(2) 固有値と固有ベクトルを求めよ。 \\
(3) 適当な正則行列$ P $ によって対角化できるかどうか
判定せよ。
対角化できるものには、$ P $ および対角行列を与えよ。

\no{72}
$ A \in \mbox{M}_n(\C) $ に対して次の２つの命題(a),(b)が
同値であることを示せ。

(a) $ A $ は線形独立な$ n $個の 
固有ベクトル$ \v{x}_1,\v{x}_2,\cdots,\v{x}_n $を持つ

(b) $ P^{-1}AP $ が対角行列になるような正則行列$ P $ が存在する
\vs
\no{73}
$ A \in \mbox{M}_n(\C) $ に対する次の２つの命題を考える。

(P1) $ A^k=O $ となる正の整数$ k $ が
存在するならば $ A=O $ である。

(P2) $ A $ の固有値が $ \lambda $ のみ
ならば $ A=\lambda E $ である。
\\
(1) 命題(P1),(P2)は、$ A $ が対角化可能であると仮定すると
正しいことを示せ。 \\
(2) 命題(P1),(P2)の反例を作れ。
\vs
\no{74}
$ A \in \mbox{M}_n(\R) $ は $ \t A=A, \ A^2=A $ を
満たすとする。
\\
(1) 任意の $ \v{x},\v{y} \in \R^n $ に対して $
(A\v{x},\v{y})=(\v{x},A\v{y}) $ が成り立つことを示せ。 \\
(2) $ \R^n=\Im A+\Im(E-A) $ が成り立つことを示せ。 \\
(3) $ \v{x} \in \Im A, \ \v{y} \in \Im(E-A) $ ならば $
(\v{x},\v{y})=0 $ であることを示せ。 \\
(4) $ W=\Im A $ とおくと $ \R^n=W \oplus W^{\perp} $ が
成り立つことを示せ。
\no{75}
次の各行列に対して、以下の問に答えよ。
\[
A_1=\Mat3{-2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \\ -3 & -3 & 4},
\quad % -3,-2,6
A_2=\Mat3{4 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2},
\quad % 1,1,6
A_3=\Mat3{-2 & -1 & 1 \\ -3 & 4 & -1 \\ 2 & 2 & 1},
\quad % -3,3,3
A_4=\Mat3{1 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 2 \\ -4 & -1 & 5},
% -1,4,5
\]
\[
A_5=\Mat3{5 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 2},
\quad % 1,4,4
A_6=\Mat3{-2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1},
\quad % -3,-1,3
A_7=\Mat3{-1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1},
\quad % -2,-1,4
A_8=\Mat3{4 & -2 & -3 \\ -3 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 2},
% -2,3,3
\]
\[
A_9=\Mat3{3 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & -3},
\quad % -4,1,5
A_{10}=\Mat3{-2 & 2 & -2 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1},
\quad % -5,0,2
A_{11}=\Mat3{2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & -6 \\ 2 & -2 & -1},
\quad % -5,3,3
A_{12}=\Mat3{-2 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 3}
% -4,-1,5
\]
(1) 特性多項式を求めよ。 \\
(2) 固有値と固有ベクトルを求めよ。 \\
(3) 適当な正則行列$ P $ によって対角化できるかどうか
判定せよ。
対角化できるものには、$ P $ および対角行列を与えよ。
\vs
\no{76}
次の各行列に対して、以下の問に答えよ。
\[
A_1=\Mat3{1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0},
\quad
A_2=\Mat3{6 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & -1 \\ 1 & -1 & 3},
\quad
A_3=\Mat3{-3 & 3 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & 1},
\quad
A_4=\Mat3{6 & 3 & -2 \\ 3 & -10 & 2 \\ -2 & 2 & 1},
\]
\[
A_5=\Mat3{3 & 1 & -2 \\ 1 & 6 & -1 \\ -2 & -1 & 3},
\quad
A_6=\Mat3{-3 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \\ -1 & 3 & 2},
\quad
A_7=\Mat3{3 & 1 & -2 \\ 1 & 4 & -1 \\ -2 & -1 & 3},
\quad
A_8=\Mat3{1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1}
\]
(1) \underline{直交行列}を用いて対角化せよ。 \\
(2) スペクトル分解を求めよ。
\vs
\no{77}
以下の(1)$ \sim $(3)を証明せよ。
ただし、$ E $ は $ n $次単位行列とし、
内積は $ \v{x}=(x_1,\cdots,x_n),
\v{y}=(y_1,\cdots,y_n) \in \C^n $ に対して \dis{
(\v{x},\v{y})=\sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}} で定義する。 \\
(1) 任意の $ \v{x},\v{y} \in \C^n, \ A \in \mbox{M}_n(\C) $ に
対して $ (A\v{x},\v{y})=(\v{x},A^{*}\v{y}) $ が成り立つ。 \\
(2) $ A \in \mbox{M}_n(\C) $ が $ A^{*}=A $ を満たすならば
（このような行列を{\bf エルミート行列}という） $ A $ の
固有値は実数である。 \\
(3) $ A \in \mbox{M}_n(\C) $ が $ A^{*}A=E $ を満たすならば
（このような行列を{\bf ユニタリー行列}という） $ A $ の
固有値は絶対値1の複素数である。
\end{document}
