\documentclass{jarticle}
\input{style.tex}

%%
%% lin18 & lin19  & lin20 
%%

\title{�㐔�w�􉽊w���KII (No.010)}
\date{2003�N12��5��}
\author{������ ��}

\begin{document}
\maketitle
\no{78} ���̊e�s����A���j�^���[�s���p���đΊp������B
����ɃX�y�N�g�����������߂�B
\[
A_1=\Mat2{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta},
\ \
A_2=\Mat2{5 & 2i \\ -2i & 2}, \ \
A_3=\Mat2{4 & 1+i \\ 1-i & 3}, \ \ 
A_4=\Mat2{2+i & 2-i \\ 2-i & 2+i}, \ \
A_5=\Mat2{2 & -2i \\ 2i & -1},
\]
\[
A_6=\Mat2{1+4i & -3+i \\ 1+3i & 2+2i}, \quad
A_7=\Mat3{1 & 1 & \sqrt2i \\ 1 & 1 & -\sqrt2i \\
-\sqrt2i & \sqrt2i & 0}, \quad
A_8=\Mat3{1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & -2}, \quad
A_9=\Mat3{2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2},
\]
\[
A_{10}=\Mat3{-4 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 6 \\ 3 & 6 & 4},\quad
A_{11}=\Mat3{-3 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 3 & 3 & 5}, \quad
A_{12}=\Mat3{3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1}, \quad
A_{13}=\Mat3{1 & -4 & 6 \\ -4 & 1 & -6 \\ 6 & -6 & 6}
\]
\vs
\no{79}
$ A \in \mbox{M}_n(\C) $ �ɑ΂��鎟�̂R�̖�����l����B

(P1) $ \lambda \in \C $ �� $ A $ �̌ŗL�l�Ȃ�΁A
$ \bar\lambda \in \C $ �� $ A^* $ �̌ŗL�l�ł���B

(P2) $ \v{x} \in \C^n $ ���ŗL�l$ \lambda $ �ɑ��� $ A $ ��
�ŗL�x�N�g���Ȃ�΁A
$ \v{x} $ �͌ŗL�l$ \bar\lambda $ �ɑ��� $ A^* $ ��
�ŗL�x�N�g���ł�����B

(P3) $ A $ �̈قȂ�ŗL�l�ɑ����ŗL�x�N�g���݂͌��ɒ�������B
\\
(1) ����(P1)�́A�C�ӂ̍s��$ A $ �ɑ΂��Đ��������Ƃ������B \\
(2) $ A $ �𐳋K�s��Ƃ���B���̂Ƃ�����(P2)�����������Ƃ��A
�ȉ��̎菇�Ŏ����B
�ȉ��ł́A$ \alpha \in \C, \ \v{y} \in \C^n $ �Ƃ���B

(a) $ (A-\alpha E)^*=A^* \! -\bar\alpha E $ �������B

(b) $ A-\alpha E $ �����K�s��ł��邱�Ƃ������B

(c) $ \|(A-\alpha E)\v{y}\|=
\|(A^* \! -\bar\alpha E)\v{y}\| $ �������B

(d) ����(P2)�������B
\\
(3) ����(P2)�̔�������B \\
(4) ����(P3)�́A$ A $ �����K�s��Ȃ�ΐ��������Ƃ������B \\
(5) ����(P3)�̔�������B
\vs
\no{80} $ V $ �����j�^����ԂƂ���B \\
(1) �C�ӂ� $ \v{x},\v{y} \in V $ �ɑ΂���
���̓������������邱�Ƃ������B$( i=\sqrt{-1} ) $
\[ (\v{x},\v{y}) = \frac14 \Bigl(
	   ||\v{x}+ \v{y}||^2 - ||\v{x}- \v{y}||^2
	+ i||\v{x}+i\v{y}||^2 -i||\v{x}-i\v{y}||^2 \Bigr)
\]
(2) $ V $ ��̐��`�ϊ� $ T $ �ɑ΂��āA
�ȉ��̏���(a)�`(e)���S�ē��l�ł��邱�Ƃ������B \\
\begin{tabular}{cl}
(a) &
$ \forall \v{x},\v{y} \in V, \ (T\v{x},T\v{y})=(\v{x},\v{y}) $
\hfill
(���ς�ۑ�����) \\
(b) &
$ \forall \v{x} \in V, \ ||\v{x}||=1 \Rightarrow ||T\v{x}||=1 $
\quad
(�P�ʃx�N�g����P�ʃx�N�g���Ɏʂ�) \\
(c) & $ \forall \v{x} \in V, \ ||T\v{x}||=||\v{x}|| $
\hfill
(������ۑ�����) \\
(d) & $ V $ �̂��鐳�K�������ɑ΂��� $ T $ �̕\���s���
���j�^���s��ɂȂ� \\
(e) & $ V $ �̔C�ӂ̐��K�������ɑ΂��� $ T $ �̕\���s���
���j�^���s��ɂȂ�
\end{tabular}

\no{81} �ȉ��̍s�� $ A_1 \sim A_4 $ �̂����̂Q�ɑ΂���
���̖�(1),(2),(3)�ɓ�����B
\[
A_1=\Mat3{1 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & -1},
\quad % -2,-2,3
A_2=\Mat3{2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \\ -4 & -3 & -3},
\quad % -2,-2,4
A_3=\Mat3{2 & -3 & 2 \\ -2 & 4 & -2 \\ -4 & 1 & 0},
\quad % 2,2,2
A_4=\Mat3{1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 3}
% -1,2,4
\]
(1) ���������������߂�B \\
(2) �ŗL�l�ƌŗL�x�N�g�������߂�B \\
(3) �K���Ȑ����s��$ P $ �ɂ���đΊp���ł��邩�ǂ���
���肹��B
�Ίp���ł�����̂ɂ́A$ P $ ����ёΊp�s���^����B

\no{82} ���̊e�s����A���j�^���[�s���p���đΊp������B
����ɃX�y�N�g�����������߂�B
\[ % \hspace*{-3mm}
A_1=\Mat3{-1 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 5}, \quad
A_2=\Mat3{-1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2}, \quad
A_3=\Mat3{3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1}, \quad
A_4=\Mat3{-3 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & -4 \\ 4 & -4 & 2},
\]
\[
A_5=\Mat3{0 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 5}, \quad
A_6=\Mat3{1 & 2 & -1 \\ 2 & -7 & 7 \\ -1 & 7 & -4}, \quad
A_7=\Mat3{2 & -4 & 2 \\ -4 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & -1}, \quad
A_8=\Mat3{-3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1},
\]
\[
A_9=\Mat3{2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & -6}, \quad
A_{10}=\Mat3{7 & -3 & -6 \\ -3 & -1 & 2 \\ -6 & 2 & 2}, \quad
A_{11}=\Mat3{3 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & -3}, \quad
A_{12}=\Mat3{6 & 1 & 4 \\ 1 & 6 & -4 \\ 4 & -4 & -9} 
\]

\no{83}
$ A \in \mbox{M}_n(\C) $ ���G���~�[�g�s��Ƃ���B
���̂Ƃ��A$ A $ �̌ŗL�l�͑S�Ď����ł���({\bf 77.}(2)�Q��)���A
�����̂����ő�̂��̂� $ \alpha $�A�ŏ��̂��̂� $ \beta $ ��
����B \\
(1) �C�ӂ� $ \v{x} \in \C^n $ �ɑ΂��āA
���� $ (A\v{x},\v{x}) $ �͎����ł��邱�Ƃ������B \\
(2) �C�ӂ� $ \v{x} \in \C^n $ �ɑ΂��� $ \beta\|\v{x}\|^2 \le
(A\v{x},\v{x}) \le \alpha\|\v{x}\|^2 $ �����藧���Ƃ������B \\
(3) (2)�̕s�����ɂ����ē�������������̂� $ \v{x} $ ��
�ǂ̂悤�ȃx�N�g���̂Ƃ����H

\no{84} ���{\bf 76.},{\bf 78.},{\bf 82.}�̍s��ɂ��āA
�ȉ��̖�ɓ�����B \\
(1) �����l�G���~�[�g�s���T���A���̍s��$ A $ �ɑ΂��� $
B^2=A $ �𖞂��������l�G���~�[�g�s��$ B(=\sqrt{A}) $ �����߂�B \\
(2) �e�s��$ A $ �ɑ΂��� $ B^2=A^{*}A $ ��
�����������l�G���~�[�g�s��$ B(=\sqrt{A^{*}A}=|A|) $ �����߂�B
\vs
\no{85} $ A=(a_{ij}) \in \mbox{M}_n(\R) $ ��
�����l�Ώ̍s��Ƃ���B
���̂Ƃ��A�ȉ��̂��Ƃ����藧���Ƃ������B \\
(1) �C�ӂ� $ P \in \mbox{M}_n(\R) $ �ɑ΂��� $ \t P \! AP $ ��
�����l�Ώ̍s��ł���B \\
(2) $ a_{ii} \ge 0 \ (i=1,2,\cdots,n) $ \\
(3) $ B \in \mbox{M}_n(\R) $ �������l�Ώ̍s��Ȃ�΁A
$ \mbox{tr}AB \ge 0 $ �����藧�B \\
(4) $ A $ �͐��l \ $ \Leftrightarrow $ \ $ A $ �͐��� \\
(5) $ A $ �����l�Ȃ�΁A�C�ӂ�
�����s�� $ P \in \mbox{M}_n(\R) $ �ɑ΂��� $ \t P \! AP $ ��
���l�ł���B
\vs
\no{86} ���̊e�s��ɑ΂��āA�ȉ��̖�ɓ�����B
\[
A_1=\Mat3{1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1}, \quad
A_2=\Mat3{-2a+2 & 5a+1 & -2a \\
5a+1 & -2a+2 & 2a \\ -2a & 2a & 1}, \quad
A_3=\Mat3{7a+1 & -2a & -2a \\ -2a & -a+1 & a \\ -2a & a & -a+1}
\]
(1) \dis{
\max_{\|\v{x}\|=1}(A_k\v{x},\v{x}), \
\min_{\|\v{x}\|=1}(A_k\v{x},\v{x})} ��
�l�� $ a $ ��p�������ŕ\���B
\vspace{2mm} \\
(2) $ A_k $ �����l�s��ƂȂ�悤�� $ a $ �̒l�͈̔͂����߂�B
\vs
\no{87}
$ f(x,y,z)=4x^2+2y^2+2z^2+2xy+6yz+2zx $ �Ƃ����B
�ȉ��̖�ɓ�����B \\
(1) $ f(x,y,z)=(A\v{x},\v{x}) \ (\v{x}=\t(x,y,z) \in \R^3) $ ��
���藧�悤�Ȏ��Ώ̍s�� $ A $ �����߂�B \\
(2) $ A $ �𒼌��s��őΊp������B \\
(3) �C�ӂ� $ (x,y,z) \in \R^3 $ �ɑ΂��� $ -(x^2+y^2+z^2) \le
f(x,y,z) \le 6(x^2+y^2+z^2) $ �����藧���Ƃ������B \\
(4) $ f(x,y,z)=6(x^2+y^2+z^2) $ �����藧�Ƃ� $ x,y,z $ ��
�Ԃɐ��藧�֌W�������߂�B
\vs
\no{88} $ \R^3 $���2���`�� $ f $ �� $ f(x,y,z)=
x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx) $ �Œ�`����B
������ $ a $ �͎����̒萔�Ƃ���B \\
(1) $ f(x,y,z)=(A\v{x},\v{x}) \ (\v{x}=\t(x,y,z) \in \R^3) $ ��
���藧�悤�Ȏ��Ώ̍s�� $ A $ �����߂�B \\
(2) $ A $ �𒼌��s��őΊp������B \\
(3) $ f $ �̒l�́A���_��ʂ邠�钼��$ l $ �̎���̉�]�Ɋւ���
�s�ςł��邱�Ƃ������A����$ l $ �̕����������߂�B \\
(4) �C�ӂ� $ (x,y,z) \in \R^3 $ �ɑ΂��� $ f(x,y,z) \ge 0 $ ��
�Ȃ邽�߂� $ a $ ���������ׂ��K�v�\�����������߂�B

\end{document}
