\documentclass{jarticle}
\input{style.tex}

%%
%% lin21 & lin22 & lin24
%%

\title{�㐔�w�􉽊w���KII (No.011)}
\date{2003�N12��19��}
\author{������ ��}

\begin{document}
\maketitle

\no{89}
$ W $ �����j�^�����(���f�v�ʐ��`���)$ V $ �̕�����ԂƂ��A
$ \basis{\v{e}_1,\cdots,\v{e}_r} $ �� $ W $ �̐��K�������Ƃ���B
�܂��A$ V $��̐��`�ϊ�$ T $ �� \dis{T\v{x}=\sum_{k=1}^r(\v{x},
\v{e}_k)\v{e}_k} �Œ�`����B \\
(1) $ \v{x} \in W $ �Ȃ�� $ T\v{x}=\v{x} $ �����藧���Ƃ������B
\\
(2) $ \v{x} \in W^{\perp} $ �Ȃ�� $ T\v{x}=\v{o} $ ��
���藧���Ƃ������B \\
(3) �C�ӂ� $ \v{x},\v{y} \in V $ �ɑ΂��� $ T^2\v{x}=T\v{x}, \
(T\v{x},\v{y})=(\v{x},T\v{y}) $ �����藧���Ƃ������B \\
{\bf ��}�F(1),(2)���A$ T $ �� $ W $ �ւ̎ˉe�q�ł���B
\vs
\no{90} $ V $ �����j�^����ԁA$ T $ �� $ T^2\v{x}=T\v{x}, \
(T\v{x},\v{y})=(\v{x},T\v{y}) \ (\forall \v{x},\v{y} \in V) $ ��
������ $ V $��̐��`�ϊ��Ƃ���B
�܂��A$ W=\Im \, T $ �Ƃ����B \\
(1) $ \v{x} \in W $ �Ȃ�� $ T\v{x}=\v{x} $ �����藧���Ƃ������B
\\
(2) $ \v{x} \in W^{\perp} \ \Leftrightarrow \ T\v{x}=\v{o} $ ��
���藧���Ƃ������B \\
{\bf ��}�F(1)�����(2)��$ \Rightarrow $���A
$ T $ �� $ W $ �ւ̎ˉe�q�ł���B
\vs
\no{91}
\dis{V=\R^3, \ W_1=\left\{ \vec{x \m y \m z} \biggm|
\begin{array}{l} x+3y-2z=0 \\ 2x-y+3z=0 \end{array} \right\}, \
W_2=\left\{ \vec{x \m y \m z} \biggm| 2x-5y+3z=0 \right\}} �Ƃ����B
\\
(1) $ W_1 $ �̐��K���������P���߂�B \\
(2) $ W_2 $ �̐��K���������P���߂�B \\
(3) $ V $ �� $ W_1 $ �ւ̎ˉe�q�̕W�����Ɋւ���s������߂�B \\
(4) $ V $ �� $ W_2 $ �ւ̎ˉe�q�̕W�����Ɋւ���s������߂�B \\
{\bf �q���g}�F(3),(4)�ł́A{\bf 89.}�̐��`�ϊ�$ T $ �̍�����
�Q�l�ɂ���Ƃ悢�B
\vs
\no{92}
$ A $ �� $ n $���Ώ̍s��ŁA�ŗL�l���S�Ă킩���Ă���Ƃ���B
���̂Ƃ��A$ A $ �ɂ���Ē�܂�񎟌`���̕����̋��ߕ����������B
\vs
\no{93} ���̓񎟌`���̕��������߂�B(12)�`(16)�� $ a $ �̒l��
����ďꍇ��������B \\
(1) $ xy+yz+zx $ \quad (2) $ xy+yz+zw $ \quad
(3) $ xy+yz+zw+wx $ \quad (4) $ x^2+y^2+2xz+2yz $ \\
(5) $ x^2+2y^2+z^2+2xy-2yz-4zx $ \quad
(6) $ 3y^2-5z^2+6xy+4yz-2zx $ \quad
(7) $ 2xy-2xz-xw+2yz-yw-2zw $ \\
(8) $ 2x^2+y^2+4z^2+w^2+2xy-6xz-2yz+2zw $ \quad
(9) $ x^2+2y^2-z^2+3w^2-4xy+2xw-4yz+8zw $ \\
(10) $ 2x^2+5y^2+2z^2+4xy-4yz-2zx $ \quad
(11) $ x^2+4y^2+2z^2-2w^2+2xz-2xw-4yz+4yw-4zw $ \\
(12) $ x^2+ay^2+z^2+2xy+2ayz+2azx $ \quad
(13) $ x^2+y^2+z^2+2axy+2ayz+2zx $ \quad
(14) $ x^2+2y^2+az^2+2xy-2yz $ \\
(15) $ x^2+ay^2+2z^2-2xy-2ayz+2zx $ \quad
(16) $ x^2+5ay^2+5z^2-2xy-4ayz+4zx $
\vs
\no{94} $ n $�����s�� $ X=(x_{ij}) $ �ɑ΂��āA
$ n^2 $�̕ϐ� $ x_{ij} $ �Ɋւ���
�ȉ��̓񎟌`�� $ F(X) $ �̕��������߂�B
\\
(1) $ F(X)=\mbox{tr}(\t XX) $ \quad
(2) $ F(X)=\mbox{tr}(X^2) $ \\
(3) $ F(X)=\mbox{tr}(\t XAX) $ �i$ A $ ��
���� $ (p,q) $ ��$ n $�����Ώ̍s��Ƃ���j

no{95}
�ȉ��̍s��ɑ΂��āA���̖�(1),(2)�ɓ�����B
(���F�������łȂ��A�������߂�ߒ�������)
\[
A_1=\Mat2{5 & 2+3i \\ 2-3i & -7}, \quad
% -8,6
A_2=\Mat3{-2 & 2 & 1 \\ 2 & -4 & -4 \\ 1 & -4 & 2}, \quad
% -7,-1,4
A_3=\Mat3{4 & 1+i & 1-i \\ 1-i & 3 & -i \\ 1+i & i & 3}
% 6,2,2
\]
(1) ���j�^���[�s���p���đΊp������B \\
(2) �X�y�N�g�����������߂�B

\no{96}
$ x,y,z \in \R $ �� $ x^2+y^2+z^2=1 $ �𖞂����Ȃ��瓮���Ƃ��A
���̓񎟌`���̍ő�l�E�ŏ��l�����߂�B
\[
f_1(x,y,z)=xy+yz+zx, \qquad
f_2(x,y,z)=x^2+yz, \qquad
f_3(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx
\]
\no{97} �񎟋Ȑ� $ ax^2+2bxy+cy^2=1 $ �� $ C $ �Ƃ���B \\
(1) $ C $ ���ȉ~�ƂȂ邽�߂ɒ萔$ a,b,c $ ���������ׂ�������
���߂�B \\
(2) $ C $ ���ȉ~�ł���Ƃ��A$ xy $���ʂ�$ C $ �ɂ����
�͂܂��̈�̖ʐς�$ a,b,c $ ��p���ĕ\���B
\vs
\no{98} ���̓񎟋Ȑ��A�񎟋Ȗʂɂ��Ĉȉ��̖�ɓ�����B

(a) $ xy+y=0 $ \quad
(b) $ x^2+2y^2+2xy-2x+2y+3=0 $ \quad
(c) $ x^2+2xy+y^2+4\sqrt2y-8=0 $ \quad

(d) $ 5x^2+2xy+5y^2-10x-2y-7=0 $ \quad
(e) $ 4x^2+12xy+4y^2-12x-8y+9=0 $

(f) $ 2x^2-2xy-4y^2+3x+6y-2=0 $ \quad
(g) $ 9x^2+12xy+4y^2-15x-10y+6=0 $

(h) $ x^2+3y^2+3z^2-2yz-2y+6z+2=0 $ \quad
(i) $ x^2+2y^2+z^2+2xy-2yz+2y-4z-1=0 $

(j) $ x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-2x-2y-2z-1=0 $ \quad
(k) $ x^2+y^2-z^2-6x-8y+10z=0 $

(l) $ 3x^2+3y^2+3z^2-2yz+4\sqrt2zx-12x-6\sqrt2y+6\sqrt2z-1=0 $
\quad
(m) $ 2xy+2yz+2zx-1=0 $ \\
(1) �W���s��A�g��W���s��̕��������߂�B \\
(2) �W���`�����߂�B
\vs
\no{99}
$ a,b $ �������̒萔�Ƃ��A$ C=\{(x,y)\in \R^2 \bigm|
ax^2+y^2-4axy+2ax+(4a-2)y+b=0 \} $ �Ƃ����B \\
(1) �C�ӂ�$ b \in \R $ �ɑ΂��� $ C \ne \phi $ �ƂȂ�
�悤�� $ a $ �̒l��S�ċ��߂�B \\
(2) $ C $ ��������_�݂̂��琬�邽�߂� $ a,b $ ��
�������ׂ����������߁A����ɂ��̓_�̍��W�����߂�B \\
(3) $ C $ ���݂��ɒ�������񒼐����琬��悤�� $ a,b $ ��
�l�̑g$ (a,b) $ ��S�ċ��߂�B \\
(4) $ C \ne \phi $ ���L�E�W���ƂȂ邽�߂� $ a,b $ ��
�������ׂ����������߂�B

\no{100} $ A $ ���R���Ώ̍s��A$ \v{b} $ ���R����x�N�g���A
$ c $ ��萔�Ƃ��A������ $ \t\v{x}A\v{x}+2(\v{b},\v{x})+c
=0 $ �ŕ\�����񎟋Ȗʂ� $ C $ �Ƃ���B
������ $ \v{x}=\vec{x \m
y \m z} $ �Ƃ���B \\
(1) $ A $ �͋t�s������Ƃ���B���̂Ƃ��A$ \v{x}'=
\v{x}+A^{-1}\v{b} $ �Ƃ����� $ \v{x}' $ �� $ \t\v{x}'A\v{x}'
-\t\v{b}A^{-1}\v{b}+c=0 $ �𖞂������Ƃ������B \\
(2) $ A $ �͒����s��$ U $ ��p���� $ \t U \!\! AU=\Mat3{
d_1 \h 0 \h 0 \m 0 \h d_2 \h 0 \m 0 \h 0 \h d_3} $ ��
�Ίp�������Ƃ���B���̂Ƃ��A$ \v{x}'=\t U\v{x} $ �Ƃ����� $
\v{x}'=\vec{X \m Y \m Z} $ �� $ d_1X^2+d_2Y^2+d_3Z^2
+2(\t U\v{b},\v{x}')+c=0 $ �𖞂������Ƃ������B \\
(3) $ A $ �����l�Ώ̍s��̂Ƃ��A
$ \v{b}A^{-1}\v{b}-c $ �̒l�ɂ���ē񎟋Ȗ�$ C $ ��
�ȉ~�ʁE��_�E��W���̂����ꂩ�P�ɓ���ł���B
����@���������B

\end{document}
