\documentclass[a4j]{jarticle}

\input{style.tex}

\title{代数学幾何学演習II (小テスト 001a)}
\date{2003年6月20日}
\author{栗野 俊一}

\begin{document}
\maketitle

\section{諸注意}

テストは、「持ち込み可」です。テキスト、ノート、計算機等
なんでも利用、並びに参照して構いません。

ただし、一応、「テスト」なので、「相談」は不可です。

\section{定義の書き出し}

次の用語の定義についての問いに答えなさい
\footnote{%
もちろん、教科書なり、ノートを読めば、答えられるに決っています。しかし、
定義は「正確に」覚えておき、直に書き出せるようでないと、時間が足りなく
なります。

なお、僕に本番の試験問題の作成が回ってくるかどうかは、はなはだ疑問ですが
もし、そんなことになれば、この手の問題は決して出しません。
}
。

  \begin{description}
    \item[(ベクトル空間)] 空間 V が「ベクトル空間」であるために必要な条件を
8 つ全てあげよ。
    \item[(線型写像)] 線型空間 V, V' 間の写像 T が、「線型写像」であるために
必要な条件を 2 つあげよ。
    \item[(線型変換)] 線型空間 V, V' 間の線型写像 T が「線型変換」であるために
必要な条件を 1 つあげよ。
    \item[(同型)] 線型空間 V, V' が「同型」であるための条件を 1 つあげよ。
    \item[(基底)] n 個のベクトル $( v_1, v_2, .., v_n )$ が線型空間 V の「基底」
であることの条件を 2 つあげよ。
    \item[(次元)] 線型空間 V の「次元」が n であるための条件を 1 つあげよ。
    \item[(部分空間)] 線型空間 V の部分集合 W が V の「部分空間」であるための条件を 1 つあげよ。
    \item[(線型写像に対応する行列)] 行列 A がそれぞれ基底 $(E;φ), (E':φ')$を
基底としてもつ線型空間 V から V' への「線型写像 T に対応する行列」であるため
の条件を 1 つあげよ。
    \item[(線型変換の Rank)] V から V' への「線型写像 T の Rank 」が、n である
ための条件を 1 つあげよ。
  \end{description}

\section{連立方程式}

次の連立方程式を解きなさい。

\[
\left\{
  \begin{array}{rcrcrcrcrcr}
     x &+&  y &+& z &-& 2w &=&  1 \\
    2x &-&  y &+& z &-&  w &=&  3 \\
    -x &-& 2y &-& z &-&  w &=& -2
\end{array}
\right.
\]

\section{行列式}

以下の行列式の値を求めよ。

\[
\left|
  \begin{array}{rrrr}
     1 &  2 &  0 & -2 \\
    -1 &  0 &  3 &  1 \\
     0 &  1 & -2 &  3 \\
     2 &  3 & -1 &  0
  \end{array}
\right|
\]

\section{基底}

次の漸化式で表現される数列全体からなる線型空間 V の基底を求めなさい。

\[
V = \{ \{x_n\} | 2 x_{n+2} - x_{n+1} - 3 x_{n} = 0 \}
\]

\section{正規直交基底}

以下の基底をシュミットの直交化法を適用して、直交化しなさい。

\[
\left(
  \begin{array}{r}
    2 \\ 1 \\ 1
  \end{array}
\right),\ 
\left(
  \begin{array}{r}
    1 \\ -2 \\ 1
  \end{array}
\right),\ 
\left(
  \begin{array}{r}
    1 \\ 2 \\ -3
  \end{array}
\right)
\]


\end{document}
