\documentclass[a4j]{jarticle}

\input{style.tex}

\newcommand{\tVec}[2]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right)}
\newcommand{\TVec}[3]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right)}
%\newcommand{\C}{{\cal C}}
%\newcommand{\R}{{\cal R}}

\title{代数学幾何学演習II (小テスト 001b)}
\date{2003年6月20日}
\author{栗野 俊一}

\begin{document}
\maketitle

\section{諸注意}

テストは、「持ち込み可」です。テキスト、ノート、計算機等
なんでも利用、並びに参照して構いません。

ただし、一応、「テスト」なので、「相談」は不可です。

\section{定義の確認}

次の問いに答えなさい。

  \begin{description}
    \item[(ベクトル空間)] 複素数全体の集合 $\C$ が、実数全体の集合 $\R$
上の「ベクトル空間」であることを示せ。

    \item[(同型)] 複素数全体の集合 $\C$ は、実数要素の二次元
ベクトル空間 ${\R}^2 = \{ \tVec{x}{y} | x, y \in \R \}$ と
「同型」であることを示せ。

    \item[(基底)] 二つのベクトル $v_1=\tVec{1}{1}$, $v_2=\tVec{-1}{2}$ は、 
実数要素の二次元ベクトル空間${\R}^2 = \{ \tVec{x}{y} | x, y \in \R \}$
の「基底」になっていることを示せ。

    \item[(線型変換)] 実数要素の三次元ベクトル空間
${\R}^3 = \{ \TVec{x}{y}{z} | x, y, z \in \R \}$
上の関数 $T(\TVec{x}{y}{z}) = \TVec{y-x}{z}{0}$ に関して、次の問いに
答よ。
      \begin{itemize}
        \item 関数 $T(\VEC{v})$ が「線型変換」であることを示せ。
        \item 線型変換 $T(\VEC{v})$ の 「Rank」 を求めよ。
        \item 線型空間 ${\R}^3$ の基底を、普通に 
$(<
\VEC{e_1} = \TVec{1}{0}{0},
\VEC{e_2} = \TVec{0}{1}{0},
\VEC{e_3} = \TVec{0}{0}{1}
>;\phi(\VEC{v})=\VEC{v})$
としたときの、「線型変換 $T$ に対応する行列」を求めよ。
      \end{itemize}
  \end{description}

\section{連立方程式}

次の連立方程式を解け。

\[
\left\{
  \begin{array}{rcrcrcrcrcr}
     x &+&  y &+& z &-& 2w &=&  1 \\
    2x &-&  y &+& z &-&  w &=&  3 \\
    -x &-& 2y &-& z &-&  w &=& -2
\end{array}
\right.
\]

\section{行列式}

以下の行列式の値を求めよ。

\[
\left|
  \begin{array}{rrrr}
     0 &  2 &  0 & -2 \\
    -1 &  1 &  3 &  0 \\
     0 &  3 & -2 & -1 \\
     2 &  1 & -1 &  0
  \end{array}
\right|
\]

\section{基底}

次の漸化式で表現される数列全体からなる線型空間 V の基底を求めよ。

\[
V = \{ \{x_n\} | x_{n+2} + x_{n+1} - 6 x_{n} = 0 \}
\]

\section{正規直交基底}

以下の$R^3$での基底をシュミットの直交化法を適用して、直交化せよ。

\[
\left(
  \begin{array}{r}
    2 \\ 1 \\ 2
  \end{array}
\right),\ 
\left(
  \begin{array}{r}
   -1 \\ 0 \\ 1
  \end{array}
\right),\ 
\left(
  \begin{array}{r}
    1 \\ 2 \\ -3
  \end{array}
\right)
\]


\end{document}
