\documentclass[a4j]{jarticle}

%%
%% $Id$
%%

\input{style.tex}
\input{macro.tex}

\newcommand{\tV}[2]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right)}
\newcommand{\TV}[3]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right)}
\newcommand{\FV}[4]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right)}
\newcommand{\V}{v_{you}}

\newcommand{\OL}[1]{\overline{#1}}

\newcommand{\TE}[3]{\left|\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right|}


%%
%%
%%

\title{�㐔�w�􉽊w���KII (���e�X�g 003a �̉�)}
\date{2004�N1��23��(Ver 0.01)}
\author{�I�� �r��}

%%
%%
%%

\begin{document}
\maketitle

\section{����}

\[
\V = \FVec{v_0}{v_1}{v_2}{v_3},\,
\left\{\begin{array}{lll}
   v_0 & = & \mbox{�w�Дԍ��� 7 �Ŋ������]��� 1 ������������} \\
   v_1 & = & \mbox{�w�Дԍ��� 5 �Ŋ������]��� 1 ������������} \\
   v_2 & = & \mbox{�w�Дԍ��� 3 �Ŋ������]��� 1 ������������} \\
   v_3 & = & \mbox{�w�Дԍ��� 2 �Ŋ������]��� 1 ������������}
\end{array}\right.
\]

�Ƃ���\footnote{
�Ⴆ�΁A�w�Дԍ��� 1234 �Ԃ̐l�́A

\[
\V = \FVec{3}{5}{1}{1},\,
\left\{\begin{array}{lll}
   v_0 & = & ( 1234 \% 7 ) + 1 = 2 + 1 = 3 \\
   v_1 & = & ( 1234 \% 5 ) + 1 = 4 + 1 = 5 \\
   v_2 & = & ( 1234 \% 3 ) + 1 = 1 + 1 = 1 \\
   v_3 & = & ( 1234 \% 2 ) + 1 = 0 + 1 = 1 \\
\end{array}\right.
\]

�ƂȂ�B}�A�ȉ��̖�ɓ����Ȃ����B

\begin{Ans}
�ȉ��A�w�Дԍ��� 1234 �ԂƂ��āA

\[
\V = \FV{1}{2}{3}{4},\,
\left\{\begin{array}{lll}
   v_0 & = & 3 \\
   v_1 & = & 5 \\
   v_2 & = & 1 \\
   v_3 & = & 1
\end{array}\right.
\]

�̏ꍇ�̉񓚂������B
\end{Ans}

\begin{description}
\item[(1)] $\V$ �𓚂��Ȃ����B
\end{description}

\begin{Ans}
\end{Ans}

\section{�X�y�N�g������}

���j�^�����$V=C^3$��̐��^�ϊ��ɑΉ�����A���̍s��$A$�ɂ��āA�ȉ���
��ɓ����Ȃ����B

\[
A = \left(\begin{array}{rrr}
 v_0 &   i & - 1 \\
 - i & v_0 & - i \\
 - 1 &   i & v_0 \\
\end{array}\right)
\]

\begin{Ans}

����̓G���~�[�g�s��($A^{*}=A$)�Ȃ̂ŁA���j�^���s��
($U^{*}=U^{-1}$) �𗘗p���ăX�y�N�g�������ł��邱�Ƃɒ��ӂ��悤�B

\end{Ans}

\begin{description}
\item[(1)] ���̍s��̌ŗL������$\Phi_A(x)$�����߂Ȃ����B

\begin{Ans}

��`���A

\[
\Phi_A(x) = |A - xE|
\]

�Ȃ̂ŁA������v�Z����B

\begin{eqnarray}
\Phi_A(x) &=& |A - xE| \\
          &=& 
\left| \begin{array}{rrr}
   3 &   i & - 1 \\
 - i &   3 & - i \\
 - 1 &   i &   3
\end{array}\right|
- 
\left| \begin{array}{rrr}
  x &   &   \\ 
    & x &   \\ 
    &   & x
\end{array}\right| \\
          &=& 
\left| \begin{array}{rrr}
   3-x &   i   & - 1 \\
 - i   &   3-x & - i \\
 - 1   &   i   & 3-x
\end{array}\right| \\
          &=& (3-x)^3 + i\cdot (-i)\cdot(-1) + (-1)\cdot i \cdot(-i) \\
          & & - (3-x)\cdot i \cdot (-i) 
              - i\cdot(-i)\cdot(3-x)
              - (-1)\cdot(3-x)\cdot(-1) \\
          &=& (3-x)^3 -3 (3-x) - 2 \\
          &=& 27 - 27x + 9x^2 - x^3 - 9 + 3x - 2 \\
          &=& -x^3 + 9x^2 -24x + 16 \\
\end{eqnarray}

������A�����́A

\[
-x^3 + 9x^2 -24x + 16
\]

\end{Ans}

\item[(2)] ���̍s��̌ŗL�l�����߂Ȃ����B

\begin{Ans}
����́A��ŋ��߂��ŗL������$\Phi_A(x)$������ŗL������$\Phi_A(x)=0$
�𖞂��l(�ŗL��/�ŗL��)�ł���̂ŁA��������߂�B

\[
-x^3 + 9x^2 -24x + 16 = 0
\]

����͎O���������Ȃ̂ŁA���ڌ������ɑ�����ĉ����̂ł͂Ȃ��A�萔����
�񐔂������ƍl���āA��� try ���Ă݂�B

�K���A 1 �������Ă݂��..

\begin{eqnarray}
\Phi_A(1) &=& -(1)^3 + 9(1)^2 -24(1) + 16 \\
          &=& - 1 + 9 - 24 + 16 \\
          &=& 0 \\
\end{eqnarray}

�ƁA0 �ɂȂ�̂ŁA���̎��́A1 �����Ƃ��Ď����ƂɂȂ�B
�����ŁA$\Phi_A(x)$ �� $x-1$ �Ŋ���A������������ƁA

\begin{eqnarray}
\frac{\Phi_A(x)}{x-1} &=& x^2 -8 x + 16 \\
\end{eqnarray}

�ƂȂ�B�����������.
\[
x^2 -8 x + 16 = (x-4)^2 = 0
\]

����āA
\[
x = 4 (�d)
\]

���������āA�񓚂́A���̂悤�ɂȂ�
\footnote{
�ŗL�������̍��́A���d�x���܂߂� 3 �� ( 1, 4, 4 ) �ł���
���ŗL�l�́A2 �� ( 1, 4 ) �ƂȂ�B
}
�B

\[
\mbox{�ŗL�l �� 1, 4 �̓��}
\]

\end{Ans}

\item[(3)] $A$ �̌ŗL�l�ɑΉ������ŗL�x�N�g���ŁA$V$ �̐��K�������
�ƂȂ� $u_1, u_2, u_3$ �����߂Ȃ����B

\begin{Ans}

��{�I�ȍl�����́A�ŗL�l�ɑΉ������ŗL�x�N�g�������߁A���ꂩ��A
���K�����n�����΂悢�B���̎��ɁA�V���~�b�g�𗘗p���邱�Ƃ��ł���B

��̌ŗL�l�ɑΉ�����ŗL�x�N�g���́A��ʂ� ( �����Ă������ƕ����Ŏ�
�R�x������̂�.. )�A��ɂ͒�܂�Ȃ��B�ŗL�x�N�g���S�̂���Ȃ�W����
�x�N�g����ԂɂȂ��Ă���A������ŗL��ԂƌĂԁB

�ŗL�x�N�g�� $v$ �́A��

\[
A v = \alpha v
\]

�𖞂��̂ŁA���ꂩ��A

\begin{eqnarray}
A v - \alpha v &=& 0 \\
A v - \alpha E v &=& 0 \\
(A - \alpha E) v &=& 0 \\
\end{eqnarray}

�Ƃ������Ƃ�����B

�]���āA�ŗL�l $\alpha$ �ɑΉ������ŗL��� $W_{\alpha}$�́A

\[
W_{\alpha} = \{ v = \TV{x_1}{x_2}{x_3} \| (A - \alpha E) v \}
\]

�ƕ\���ł���B�����ŁA���� $W_{\alpha}$ �̊��œs���̗ǂ����̂�
�I������΂悢�B

\begin{description}
\item[�ŗL�l 1 �ɑΉ�����ŗL�x�N�g��]
���̃x�N�g���́A�ŗL�l���d���ł͂Ȃ������̂ŁA�������܂�B
�ŗL��� $W_1$ �́A���̂悤�ɒ�܂�B

\[
W_1 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} | (A-E)v = 0 \}  
\]

����́A

\begin{eqnarray}
\left(
\left(\begin{array}{rrr}
   3 &   i & - 1 \\
 - i &   3 & - i \\
 - 1 &   i &   3
\end{array}\right)
-
\left(\begin{array}{rrr}
   1 &   0 &   0 \\
   0 &   1 &   0 \\
   0 &   0 &   1
\end{array}\right)\right) \TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   3 - 1 &   i     & - 1 \\
 - i     &   3 - 1 & - i \\
 - 1     &   i     &   3 - 1
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   2     &   i     & - 1 \\
 - i     &   2     & - i \\
 - 1     &   i     &   2
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0
\end{eqnarray}

���A

\[
\left\{
\begin{array}{rrrr}
   2 x_1  & +  i x_2   & -   x_3 & = 0 \\
 - i x_1  & +  2 x_2   & - i x_3 & = 0 \\
 -   x_1  & +  i x_2   & + 2 x_3 & = 0
\end{array}
\right.
\]

�Ƃ�����������\���Ă���B

�����ŁA����������A$x_1,x_2,x_3$ �̖����ׂ��������߂�
\footnote{����́A�����܂ł��A���̌ŗL��� $W_1$ �̊�� $v_1$ ��
�u�ȒP�v�ɋ��߂邽�߂ɍs����Ƃł���B}�B
�����ŁA��߂̎��� $i$ �{���ĎO�Ԗڂ̎������������
��ڎ��� (-1) �{�ɂȂ��Ă��邱�Ƃ��킩��̂ŁA�Ӗ�������̂́A
��̎������ł��邱�Ƃ��킩��
\footnote{
�{���A���̋�Ԃ̗v�f $v$ ���A3 �̕ϐ� ($x_1,x_2,x_3$) �ŕ\��������
�ŁA3 �����̂͂��ł��邪�A����ɑ΂��� 2 �̎����^������̂ŁA2 ��
����������A���ǂ��̋�Ԃ̎����� $1 (= 3 - 2)$ �����ƂȂ邱�Ƃ��킩��B
}
�B

����P���ɂ��邽�߂ɁA��ڂ̎��ɎO�ڂ̎��� $2$ �{���đ����ƁA
\[
\begin{array}{rrr}
3i x_2 & + 3 x_3 & = 0 \\
   x_2 &         & = - x_3
\end{array}
\]

���l�ɁA��ڂ̎��ɎO�ڂ̎��� $2i$ �{���đ����ƁA
\[
\begin{array}{rrr}
 - 3i x_1  & +  3 x_3 & = 0 \\
  x_1      &          & = - i x_3
\end{array}
\]

�ƂȂ�B���ꂩ��A( �}��ϐ� $t$ ���l���A$ x_3 = t $ �Ƃ���.. )

\[
\left\{
\begin{array}{rrr}
       x_1 &=& - i t \\
       x_2 &=& -   t \\
       x_3 &=&     t \\
\end{array}
\right.
\]

�ƂȂ�̂ŁA�ŗL��� $W_1$ �́A

\[
W_1 = \{ v = \TV{-i t}{-t}{t} | t \in C \}
\]

�ƕ\�����Ƃ��ł���B���̂悤�ȃx�N�g���̓��A��̌v�Z���y�Ȃ悤�ɁA
$t=-1$ ��I�сA

\[
v_1 = \TV{i}{1}{-1}
\]

��I�ԁB���� $v_1$ ���A$W_1$ �̊��ɂȂ��Ă���
\footnote{�ꎟ���Ȃ̂ŁA$0$ �x�N�g���ȊO�� $W_1$ �̗v�f�͂ǂ�ł�
$W_1$ �̊��ɂȂ�B}�B

�X�ɁA$|v_1|$ �Ŋ����āA���K������B

\begin{eqnarray}
u_1 &=& \frac{v_1}{|v_1|} \\
    &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1}\\
\end{eqnarray}

���ꂪ�A$W_1$ �̐��K�������\footnote{������Ȃ��x�N�g���ŁA�����Ƃ�
���̂́A��Ɋ����邩������Ȃ����A��̗v�f����Ȃ���́A��`�ɂ�
���ɒ������ɂȂ�Ƃ������Ƃł���B}

\item[�ŗL�l 4 �ɑΉ�����ŗL�x�N�g��]

���̃x�N�g���́A�ŗL�l��(��)�d���������̂ŁA��̓Ɨ�����
�ŗL�x�N�g��������\��������
\footnote{�t�ɁA�P�� (�d���łȂ���) �ł���΁A�O��Ɠ��l��
�ŗL�x�N�g����������Ȃ��̂ŁA����₷���B}�B

�ŗL��� $W_4$ �́A���̂悤�ɒ�܂�B

\[
W_4 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} | (A-4E)v = 0 \}  
\]

���̌��ʁA���l�ɂ��āA�ϐ� $x_1,x_2,x_3$ �̖����ׂ������������̂悤��
�^������B

\[
\left\{
\begin{array}{rrrr}
 -   x_1    & +  i x_2    & -   x_3 & = 0 \\
 - i x_1    & -    x_2    & - i x_3 & = 0 \\
 -   x_1    & +  i x_2    & -   x_3 & = 0
\end{array}
\right.
\]

���̎��͈�ڂƓ�ڂ��S�������ł���A�܂��A��ڂ���ڂ̒萔(
$i$ )�{�ɂȂ��Ă��邾���Ȃ̂ŁA���ǈӖ�������̂͂��̓��̈�����ł�
�邱�Ƃ��킩��
\footnote{
����āA3 �����̋�ԂŁA����𐧌����鎮����Ȃ̂ŁA�S�̂̎����� 2 
�����ƂȂ�A���̌��ʂƂ��āA�Ɨ������x�N�g���� 2 �Ƃ�邱�Ƃ��킩��B
}
�B

���ǁA�ŗL��� $W_4$ �́A���̂悤�ɕ\�����Ƃ��ł���B

\[
W_4 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} | x_1 + -i x_2 + x_3 = 0 \}
\]

���̒������A�x�N�g����I�Ԃ��ƂɂȂ邪�A�v�Z���y�ɂ��邽�߂ɁA
�ł��邾�� $0$ ���R�܂񂾃x�N�g�����l����B

���̏ꍇ�́A�Ⴆ�΁A$x_2 = 0$ �ɂ��A�X�� $x_1 = 1$ �Ƃ���΁A
�����I�� $x_3 = -1$ �ƌ���̂ŁA����� $v_2$ �Ƃ���B

\[
v_2 = \TV{1}{0}{-1}
\]

���l�ɁA$x_1=0$, $x_2=1$ �Ƃ���΁A$x_3=i$ �ƂȂ�A

\[
v_3 = \TV{0}{1}{i}
\]

�Ȃ̂ŁA����œ�̓Ɨ������x�N�g��������ꂽ���ƂɂȂ�
\footnote{
�{���́A�{���ɓƗ��Ȃ̂��𒲂ׂ�K�v������B�������A��̗v�f�� 0 ��
����x�N�g���́A�����Ă��A���̗v�f�� 0 �łȂ��A���A���̃x�N�g���� 0 
�łȂ��v�f�� 0 �ƂȂ��Ă���x�N�g���Ƃ͓Ɨ��ł��邱�Ƃ������Ă���̂ŁA
���̗�̂悤�ɁA����́A$x_1$ �� 0 ��$x_2$ �� 0 �łȂ��x�N�g���ŁA����
���A$x_1$ �� 0 �łȂ��āA$x_2$ �� 0 �Ƃ���΁A�����I�ɁA���̓�̃x�N
�g���͓Ɨ��ƂȂ�B

���Ȃ݂ɁA���̃x�N�g���̎�肩���́A���Ȃ蜓�ӓI�ł��邱�Ƃɒ��ӂ��悤�B
�ǂ̎����̗v�f�� 0 �ɂ��邩�ŁA�قȂ�񓚂��F�X�l�����邵�A�܂��A
�����v�f�� 0 �ɂ��Ă��A�����Ă��A�����̎����ɔC�Ӑ�������̂ŁA
���������ɂȂ�Ƃ����ۏ؂͂Ȃ��B

�܂��A�����ꂩ�̗v�f�� 0 �ɂ���Ƃ����̂́A�v�Z���y�ɂ��邽�߂̍H�v��
����A������� 0 �ɂ��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��Ƃ������R���Ȃ��B�ꍇ�ɂ���ẮA
���̕����s�����悢��������Ȃ��Ƃ������Ƃ����ӂ���B
}
�B

�����ŁA$v_2, v_3$ �͊m���ɁA$W_4$ �̊��
\footnote{
�݂��ɓƗ��ŁA��Ԃ̎����ɓ��������̃x�N�g���Ȃ̂�..�B
} �Ȃ̂����A���K�����n��
�Ȃ��Ă��Ȃ��̂ŁA�V���~�b�g�̒��������s������������
\footnote{
�u�s��̑Ίp���v�̏ꍇ�́A���̍�Ƃ͕K�������K�v�͂Ȃ����A
�X�y�N�g�������̏ꍇ�́A�������͍s���������A���ǂ́A���ɂȂ�B
}�B

\begin{eqnarray}
u_2' &=& v_2 \\
     &=& \TV{1}{0}{-1} \\
|u_2'|
     &=& \sqrt{( u_2' u_2' )} \\
     &=& \sqrt{( \TV{1}{0}{-1} \TV{1}{0}{-1} )} \\
     &=& \sqrt{ 1\cdot\OL{1} + 0\cdot\OL{0} + (-1)\cdot\OL{(-1)}} \\
     &=& \sqrt{ 2 } \\
u_2  &=& \frac{u_2'}{|u_2'|} \\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(v_3 u_2)
     &=& (\TV{0}{1}{i} \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} )\\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (\TV{0}{1}{i} \TV{1}{0}{-1} )\\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} ( 0 \cdot\OL{1} + 1\cdot\OL{0} + i\cdot\OL{(-1)} ) \\
     &=& \frac{-i}{\sqrt{2}} \\
u_3' &=& v_3 - (v_3 u_2)u_2 \\
     &=& \TV{0}{1}{i} - \frac{-i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
     &=& \TV{0}{1}{i} - \frac{-i}{2}\TV{1}{0}{-1} \\
     &=& \frac{1}{2}(\TV{0\cdot2+i\cdot 1}{2\cdot1+i\cdot 0}{2\cdot i+i\cdot(-1)}) \\
     &=& \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \\
|u_3'|
     &=& \sqrt{(u_3' u_3')} \\
     &=& \sqrt{(\frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(\TV{i}{2}{i} \TV{i}{2}{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(i\cdot\OL{i}+2\cdot\OL{2}+i\cdot\OL{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(i\cdot(-i)+2\cdot 2+i\cdot(-i))} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{6} \\
     &=& \frac{\sqrt{6}}{2} \\
u_3  &=& \frac{u_3'}{|u_3'|} \\
     &=& \frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \\ 
     &=& \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i} \\ 
\end{eqnarray}
\end{description}

�ȏ�ŁA$W_1$ �̐��K�����n $u_1$ �ƁA$W_4$ �̐��K�����n $u_2, u_3$ ��
���߂邱�Ƃ��ł����B�������A�{���Ȃ�΁A$u_1$ �� $u_2, u_3$ �̒��𐫂�
�����K�v������̂����A$W_1$ �� $W_4$ ���������邱�Ƃ������Ă���̂ŁA
����͍l����K�v���Ȃ�
\footnote{���Ȃ킿�A$u_1$ �́A$u_2, u_3$ �Ƃ͒������Ă��邱�Ƃ����ɁA
�����Ă���B}�B���������āA���̂܂܂��̎O�� $V$ ���K�����n
�ł��邱�Ƃ��킩��B

���������āA�񓚂́A

\begin{eqnarray}
u_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1}, \,
u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{0}{-1}, \,
u_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i}
\end{eqnarray}

�ƂȂ�B
\end{Ans}

\item[(4)] $U=(u_1, u_2, u_3)$ �Ƃ����Ƃ��A����̋t�s��$U^{-1}$ ��
���߂Ȃ����B

\begin{Ans}

�O����A

\begin{eqnarray}
u_1 &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1} \\
    &=& \frac{\sqrt{3}}{3}\TV{i}{1}{-1} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{3}i}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} \\
u_2 &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
    &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \TV{1}{0}{-1} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{2}}{2}}{0}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
u_3 &=& \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i} \\
    &=& \frac{\sqrt{6}}{6}\TV{i}{2}{i} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{6}i}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{6}i}{6}} \\
\end{eqnarray}

�Ȃ̂�\footnote{�������ɁA�s��̗v�f�ɂ���ꍇ�́A�O�̃X�J���[�𒆂̗v�f��
������K�v������..�B}�A

\begin{eqnarray}
U &=& (u_1, u_2, u_3) \\
  &=& \left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6} \\
       \frac{\sqrt{3}}{3}  &                  0  &  \frac{\sqrt{6}}{3}  \\
      -\frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

�ƂȂ�B

���ꂩ��A�ʏ�̕��@
\footnote{�K�E�X�̏����@��}
�ŁA$U^{-1}$ �����߂Ă��ǂ����A������ȒP�ȕ��@������B

$u_1, u_2, u_3$ �́A���K�����n�Ȃ̂ŁA�������ׂ��s��$U=(u_1, u_2, u_3)$
�́A���j�^���s��ł���
\footnote{���ꂪ�����������ׂɁA�킴�킴�A�V���~�b�g�̒������𗘗p���Ă܂�
�������Ƃ����킯�ł���B�t�ɁA���������s���Ă��Ȃ���΁A�t�s����܂Ƃ���
�v�Z���Ȃ���΂Ȃ炸�A������̕��̌v�Z�̗ʂ̕����A�V���~�b�g�̒�������
�s���v�Z�̗ʂ�葽���̂ŁA��ςɂȂ��Ă��܂��B}�B
���������āA$U^{-1} = U^{*}$ �ƂȂ�
\footnote{��ʂɁA$U^{-1}$ �𒼐ڋ��߂���A$U^{*}$ �����߂�����ȒP
�Ȃ̂�...�B}�B

���������āA

\begin{eqnarray}
U^{-1}
   &=& U^{*} \\
   &=& \OL{{}^tU} \\
   &=& \OL{{}^t\left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6} \\
       \frac{\sqrt{3}}{3}  &                  0  &  \frac{\sqrt{6}}{3}  \\
      -\frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right)} \\
   &=& \OL{\left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
       \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       \frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  &  \frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right)} \\
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       \OL{\frac{\sqrt{3}i}{3}} &  \OL{\frac{\sqrt{3}}{3}}  & \OL{-\frac{\sqrt{3}}{3}} \\
       \OL{\frac{\sqrt{2}}{2}}  &                  \OL{0}   & \OL{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
       \OL{\frac{\sqrt{6}i}{6}} &  \OL{\frac{\sqrt{6}}{3}}  &  \OL{\frac{\sqrt{6}i}{6}}
      \end{array}\right) \\
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       -\frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
        \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       -\frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right) \\
\end{eqnarray}

���������āA�񓚂́A

\begin{eqnarray}
U^{-1}
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       -\frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
        \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       -\frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right) \\
\end{eqnarray}

�ƂȂ�B

\end{Ans}

\item[(5)] $A$ �̌ŗL�l�ɑΉ������ˉe�q���A���ꂼ�ꋁ�߂Ȃ����B

\begin{Ans}

�܂��A�ŗL�l 1 �Ɋւ���ˉe�q$P_1$���l����B����́A���̂悤�ȓ����𖞂��B

\[
P_1 ( u_1, u_2, u_3 ) = ( u_1, 0, 0 )
\]

���Ȃ킿�A$P_1$ �́A�ŗL�l 1 �ɑΉ�����ŗL�x�N�g�� $u_1$ �́A���̂܂�
�ۑ����邪�A���̌ŗL�l ( �����ł� 4 ) �ɑΉ�����ŗL�x�N�g�� ( �����ł́A
$u_2, u_3$ ) �́A$0$ �x�N�g���ɂ��Ă��܂��s��ł���B

\[
( u_1, u_2, u_3 ) = U
\]

�Ȃ̂ŁA��L�̎�����

\[
P_1 U = ( u_1, 0, 0 )
\]

���Ȃ킿�A

\[
P_1 = ( u_1, 0, 0 ) U^{-1}
\]

�ƂȂ�B

��́A����ɒl�����ꂼ�������āA�v�Z���邾���ł���B

\begin{eqnarray}
P_1 
   & = & ( u_1, 0, 0 ) U^{-1} \\
   & = & 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{\sqrt{3}i}{3} & 0 & 0 \\
         \frac{\sqrt{3}}{3}  & 0 & 0 \\
        -\frac{\sqrt{3}}{3}  & 0 & 0
      \end{array}\right)
      \left(\begin{array}{rrr}
        -\frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
         \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
        -\frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}i}{6}
       \end{array}\right) \\
   & = & 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

���ɁA�ŗL�l 4 �ɑΉ�����ˉe�q $P_4$ ���l����B$P_1$ �Ɠ��l�ɂ��āA

\[
P_4 ( u_1, u_2, u_3 ) = ( 0, u_2, u_3 )
\]

�Ƃ��������𖞂��̂ŁA��͂�A

\[
P_4 = ( 0, u_2, u_3 ) U^{-1}
\]

�Ōv�Z���Ă��ǂ��������ł́A�����H�v���Ă݂�B

\[
( 0, u_2, u_3 ) = U - ( u_1, 0, 0 )
\]

�ł��邱�Ƃɒ��ڂ���ƁA

\begin{eqnarray}
P_4 
  &=& ( 0, u_2, u_3 ) U^{-1}\\
  &=& \{ U - ( u_1, 0, 0 ) \} U^{-1}\\
  &=&  UU^{-1} - ( u_1, 0, 0 )U^{-1}\\
  &=&  E - P_1
\end{eqnarray}

����������̂ŁA���ǁA$E$ ( �P�ʍs�� ) ����A��L�ŋ��߂� $P_1$ ��
�����΁A$P_4$ ���v�Z���邱�Ƃ��ł���
\footnote{
����́A���R�̂��ƂŁA�ˉe�q�̏����́A���̓�̎����������邱�Ƃ�����ł���B
\begin{eqnarray}
E &=& P_1 + P_4 \\
A &=& 1 P_1 + 4 P_4
\end{eqnarray}
}
�B

���ǁA

\begin{eqnarray}
P_4 
  &=& E - P_1 \\
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
           1 & 0 & 0 \\  
           0 & 1 & 0 \\  
           0 & 0 & 1
      \end{array}\right)
     -\left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right)\\
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{2}{3} & -\frac{i}{3} &  \frac{i}{3} \\
         \frac{i}{3} &  \frac{2}{3} &  \frac{1}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} &  \frac{2}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

�ƂȂ�B

�񓚂́A�ȉ��̒ʂ�ł���B

\begin{eqnarray}
P_1 
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right) \\
P_4 
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{2}{3} & -\frac{i}{3} &  \frac{i}{3} \\
         \frac{i}{3} &  \frac{2}{3} &  \frac{1}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} &  \frac{2}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

\end{Ans}

\item[(6)] �s�� $A$ ���X�y�N�g���������Ȃ����B

\begin{Ans}

���ɁA�ˉe�q�������Ă���̂ŁA��́A�����p���āA�\�����邾���ł���B

\begin{eqnarray}
A
  &=& \lambda_1 P_{\lambda_1} +  \lambda_2 P_{\lambda_2} \\
  &=& 1 P_1 + 4 P_4 \\
  &=& 
      1 \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right)
     +4 \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{2}{3} & -\frac{i}{3} &  \frac{i}{3} \\
         \frac{i}{3} &  \frac{2}{3} &  \frac{1}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} &  \frac{2}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

\end{Ans}

\end{description}

\section{�񎟋Ȑ��A�񎟋Ȗʂ̕���}

\subsection{�񎟋Ȑ�}

���̎��̕\���񎟋Ȑ��̖��̂��q�ׂĉ������B

\begin{enumerate}
\item $x^2+y^2+2xy=1-v_2$
\item $x^2+v_0y^2+2v_3xy=1$
\item $x^2+y^2+2xy+2v_3x+v_2y=0$
\end{enumerate}

\subsection{�񎟋Ȗ�}

���̎��̕\���񎟋Ȗʂ̖��̂��q�ׂĉ������B

\begin{enumerate}
\item $x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy+2x+2y+2z=-v_1$
\item $x^2+y^2+2v_3yz+2v_2xz=0$
\item $xy+z^2+v_2x+v_3y=0$
\end{enumerate}

\end{document}
