\documentclass[a4j]{jarticle}

%%
%% $Id$
%%

\input{style.tex}
\input{macro.tex}

\newcommand{\tV}[2]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}\right)}
\newcommand{\TV}[3]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right)}
\newcommand{\FV}[4]{\left(\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right)}
\newcommand{\V}{v_{you}}

\newcommand{\OL}[1]{\overline{#1}}

\newcommand{\TE}[3]{\left|\begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right|}


%%
%%
%%

\title{����ش����ر齬II (���ƥ��� 003a �β���)}
\date{2004ǯ1��23��(Ver 0.01)}
\author{���� �Ӱ�}

%%
%%
%%

\begin{document}
\maketitle

\section{����}

\[
\V = \FVec{v_0}{v_1}{v_2}{v_3},\,
\left\{\begin{array}{lll}
   v_0 & = & \mbox{�����ֹ�� 7 �ǳ�ä�;��� 1 ��ä������} \\
   v_1 & = & \mbox{�����ֹ�� 5 �ǳ�ä�;��� 1 ��ä������} \\
   v_2 & = & \mbox{�����ֹ�� 3 �ǳ�ä�;��� 1 ��ä������} \\
   v_3 & = & \mbox{�����ֹ�� 2 �ǳ�ä�;��� 1 ��ä������}
\end{array}\right.
\]

�Ȥ���\footnote{
�㤨�С������ֹ椬 1234 �֤οͤϡ�

\[
\V = \FVec{3}{5}{1}{1},\,
\left\{\begin{array}{lll}
   v_0 & = & ( 1234 \% 7 ) + 1 = 2 + 1 = 3 \\
   v_1 & = & ( 1234 \% 5 ) + 1 = 4 + 1 = 5 \\
   v_2 & = & ( 1234 \% 3 ) + 1 = 1 + 1 = 1 \\
   v_3 & = & ( 1234 \% 2 ) + 1 = 0 + 1 = 1 \\
\end{array}\right.
\]

�Ȥʤ롣}���ʲ�����������ʤ�����

\begin{Ans}
�ʲ��������ֹ椬 1234 �֤Ȥ��ơ�

\[
\V = \FV{1}{2}{3}{4},\,
\left\{\begin{array}{lll}
   v_0 & = & 3 \\
   v_1 & = & 5 \\
   v_2 & = & 1 \\
   v_3 & = & 1
\end{array}\right.
\]

�ξ��β����򼨤���
\end{Ans}

\begin{description}
\item[(1)] $\V$ �������ʤ�����
\end{description}

\begin{Ans}
\end{Ans}

\section{���ڥ��ȥ�ʬ��}

��˥������$V=C^3$��������Ѵ����б����롢���ι���$A$�ˤĤ��ơ��ʲ���
��������ʤ�����

\[
A = \left(\begin{array}{rrr}
 v_0 &   i & - 1 \\
 - i & v_0 & - i \\
 - 1 &   i & v_0 \\
\end{array}\right)
\]

\begin{Ans}

����ϥ���ߡ��ȹ���($A^{*}=A$)�ʤΤǡ���˥������
($U^{*}=U^{-1}$) �����Ѥ��ƥ��ڥ��ȥ�ʬ��Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��

\end{Ans}

\begin{description}
\item[(1)] ���ι���θ�ͭ¿�༰$\Phi_A(x)$����ʤ�����

\begin{Ans}

�����ꡢ

\[
\Phi_A(x) = |A - xE|
\]

�ʤΤǡ������׻����롣

\begin{eqnarray}
\Phi_A(x) &=& |A - xE| \\
          &=& 
\left| \begin{array}{rrr}
   3 &   i & - 1 \\
 - i &   3 & - i \\
 - 1 &   i &   3
\end{array}\right|
- 
\left| \begin{array}{rrr}
  x &   &   \\ 
    & x &   \\ 
    &   & x
\end{array}\right| \\
          &=& 
\left| \begin{array}{rrr}
   3-x &   i   & - 1 \\
 - i   &   3-x & - i \\
 - 1   &   i   & 3-x
\end{array}\right| \\
          &=& (3-x)^3 + i\cdot (-i)\cdot(-1) + (-1)\cdot i \cdot(-i) \\
          & & - (3-x)\cdot i \cdot (-i) 
              - i\cdot(-i)\cdot(3-x)
              - (-1)\cdot(3-x)\cdot(-1) \\
          &=& (3-x)^3 -3 (3-x) - 2 \\
          &=& 27 - 27x + 9x^2 - x^3 - 9 + 3x - 2 \\
          &=& -x^3 + 9x^2 -24x + 16 \\
\end{eqnarray}

�����ꡢ�����ϡ�

\[
-x^3 + 9x^2 -24x + 16
\]

\end{Ans}

\item[(2)] ���ι���θ�ͭ�ͤ���ʤ�����

\begin{Ans}
����ϡ���ǵ�᤿��ͭ¿�༰$\Phi_A(x)$�������ͭ������$\Phi_A(x)=0$
��������(��ͭ��/��ͭ��)�Ǥ���Τǡ��������롣

\[
-x^3 + 9x^2 -24x + 16 = 0
\]

����ϻ����������ʤΤǡ�ľ�ܸ��������������Ʋ򤯤ΤǤϤʤ���������
���������ȹͤ��ơ����Ĥ� try ���Ƥߤ롣

������ 1 ���������Ƥߤ��..

\begin{eqnarray}
\Phi_A(1) &=& -(1)^3 + 9(1)^2 -24(1) + 16 \\
          &=& - 1 + 9 - 24 + 16 \\
          &=& 0 \\
\end{eqnarray}

�ȡ�0 �ˤʤ�Τǡ����μ��ϡ�1 �򺬤Ȥ��ƻ��Ĥ��Ȥˤʤ롣
�����ǡ�$\Phi_A(x)$ �� $x-1$ �ǳ�ꡢ�����򲼤���ȡ�

\begin{eqnarray}
\frac{\Phi_A(x)}{x-1} &=& x^2 -8 x + 16 \\
\end{eqnarray}

�Ȥʤ롣�����򤯤�.
\[
x^2 -8 x + 16 = (x-4)^2 = 0
\]

��äơ�
\[
x = 4 (��)
\]

�������äơ������ϡ����Τ褦�ˤʤ�
\footnote{
��ͭ�������κ��ϡ�¿���٤�ޤ�� 3 �� ( 1, 4, 4 ) �Ǥ���
����ͭ�ͤϡ�2 �� ( 1, 4 ) �Ȥʤ롣
}
��

\[
\mbox{��ͭ�� �� 1, 4 �����}
\]

\end{Ans}

\item[(3)] $A$ �θ�ͭ�ͤ��б�������ͭ�٥��ȥ�ǡ�$V$ ������ľ�����
�Ȥʤ� $u_1, u_2, u_3$ ����ʤ�����

\begin{Ans}

����Ū�ʹͤ����ϡ���ͭ�ͤ��б�������ͭ�٥��ȥ���ᡢ���줫�顢
����ľ��Ϥ���Ф褤�����λ��ˡ�����ߥåȤ����Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��Ĥθ�ͭ�ͤ��б������ͭ�٥��ȥ�ϡ����̤� ( �����Ƥ�Ĺ���������Ǽ�
ͳ�٤�����Τ�.. )����Ĥˤ���ޤ�ʤ�����ͭ�٥��ȥ����Τ���ʤ뽸���
�٥��ȥ���֤ˤʤäƤ��ꡢ������ͭ���֤ȸƤ֡�

��ͭ�٥��ȥ� $v$ �ϡ���

\[
A v = \alpha v
\]

�������Τǡ����줫�顢

\begin{eqnarray}
A v - \alpha v &=& 0 \\
A v - \alpha E v &=& 0 \\
(A - \alpha E) v &=& 0 \\
\end{eqnarray}

�Ȥ������Ȥ���롣

���äơ���ͭ�� $\alpha$ ���б�������ͭ���� $W_{\alpha}$�ϡ�

\[
W_{\alpha} = \{ v = \TV{x_1}{x_2}{x_3} \| (A - \alpha E) v \}
\]

��ɽ���Ǥ��롣�����ǡ����� $W_{\alpha}$ �δ�����Թ���ɤ���Τ�
���򤹤�Ф褤��

\begin{description}
\item[��ͭ�� 1 ���б������ͭ�٥��ȥ�]
���Υ٥��ȥ�ϡ���ͭ�ͤ��ź��ǤϤʤ��ä��Τǡ���Ĥ�����ޤ롣
��ͭ���� $W_1$ �ϡ����Τ褦����ޤ롣

\[
W_1 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} | (A-E)v = 0 \}  
\]

����ϡ�

\begin{eqnarray}
\left(
\left(\begin{array}{rrr}
   3 &   i & - 1 \\
 - i &   3 & - i \\
 - 1 &   i &   3
\end{array}\right)
-
\left(\begin{array}{rrr}
   1 &   0 &   0 \\
   0 &   1 &   0 \\
   0 &   0 &   1
\end{array}\right)\right) \TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   3 - 1 &   i     & - 1 \\
 - i     &   3 - 1 & - i \\
 - 1     &   i     &   3 - 1
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0 \\
\left(\begin{array}{rrr}
   2     &   i     & - 1 \\
 - i     &   2     & - i \\
 - 1     &   i     &   2
\end{array}\right)
\TV{x_1}{x_2} {x_3} &=& 0
\end{eqnarray}

��ꡢ

\[
\left\{
\begin{array}{rrrr}
   2 x_1  & +  i x_2   & -   x_3 & = 0 \\
 - i x_1  & +  2 x_2   & - i x_3 & = 0 \\
 -   x_1  & +  i x_2   & + 2 x_3 & = 0
\end{array}
\right.
\]

�Ȥ�����������ɽ���Ƥ��롣

�����ǡ������򤭡�$x_1,x_2,x_3$ �������٤��������
\footnote{����ϡ������ޤǤ⡢���θ�ͭ���� $W_1$ �δ��� $v_1$ ��
�ִ�ñ�פ˵��뤿��˹Ԥ���ȤǤ��롣}��
�����ǡ���Ĥ�μ��� $i$ �ܤ��ƻ����ܤμ��򤫤������
����ܼ��� (-1) �ܤˤʤäƤ��뤳�Ȥ��狼��Τǡ���̣������Τϡ�
��Ĥμ������Ǥ��뤳�Ȥ��狼��
\footnote{
���衢���ζ��֤����� $v$ ����3 �Ĥ��ѿ� ($x_1,x_2,x_3$) ��ɽ��������
�ǡ�3 �����ΤϤ��Ǥ��뤬��������Ф��� 2 �Ĥμ���Ϳ������Τǡ�2 ��
���������ꡢ��ɤ��ζ��֤μ����� $1 (= 3 - 2)$ �����Ȥʤ뤳�Ȥ��狼�롣
}
��

����ñ��ˤ��뤿��ˡ�����ܤμ��˻����ܤμ��� $2$ �ܤ���­���ȡ�
\[
\begin{array}{rrr}
3i x_2 & + 3 x_3 & = 0 \\
   x_2 &         & = - x_3
\end{array}
\]

Ʊ�ͤˡ�����ܤμ��˻����ܤμ��� $2i$ �ܤ���­���ȡ�
\[
\begin{array}{rrr}
 - 3i x_1  & +  3 x_3 & = 0 \\
  x_1      &          & = - i x_3
\end{array}
\]

�Ȥʤ롣���줫�顢( �޲��ѿ� $t$ ��ͤ���$ x_3 = t $ �Ȥ���.. )

\[
\left\{
\begin{array}{rrr}
       x_1 &=& - i t \\
       x_2 &=& -   t \\
       x_3 &=&     t \\
\end{array}
\right.
\]

�Ȥʤ�Τǡ���ͭ���� $W_1$ �ϡ�

\[
W_1 = \{ v = \TV{-i t}{-t}{t} | t \in C \}
\]

��ɽ�����Ȥ�Ǥ��롣���Τ褦�ʥ٥��ȥ���⡢��η׻����ڤʤ褦�ˡ�
$t=-1$ �����ӡ�

\[
v_1 = \TV{i}{1}{-1}
\]

�����֡����� $v_1$ ����$W_1$ �δ���ˤʤäƤ���
\footnote{�켡���ʤΤǡ�$0$ �٥��ȥ�ʳ��� $W_1$ �����ǤϤɤ�Ǥ�
$W_1$ �δ���ˤʤ롣}��

���ˡ�$|v_1|$ �ǳ�äơ����������롣

\begin{eqnarray}
u_1 &=& \frac{v_1}{|v_1|} \\
    &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1}\\
\end{eqnarray}

���줬��$W_1$ ������ľ�����\footnote{��Ĥ����ʤ��٥��ȥ�ǡ�ľ��Ȥ�
���Τϡ���̯�˴����뤫�⤷��ʤ�������Ĥ����Ǥ���ʤ����ϡ�����ˤ�
����ľ�����ˤʤ�Ȥ������ȤǤ��롣}

\item[��ͭ�� 4 ���б������ͭ�٥��ȥ�]

���Υ٥��ȥ�ϡ���ͭ�ͤ�(��)�ź����ä��Τǡ���Ĥ���Ω����
��ͭ�٥��ȥ뤬�����ǽ��������
\footnote{�դˡ�ñ�� (�ź��Ǥʤ���) �Ǥ���С������Ʊ�ͤ�
��ͭ�٥��ȥ뤬��Ĥ����ʤ��Τǡ����䤹����}��

��ͭ���� $W_4$ �ϡ����Τ褦����ޤ롣

\[
W_4 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} | (A-4E)v = 0 \}  
\]

���η�̡�Ʊ�ͤˤ��ơ��ѿ� $x_1,x_2,x_3$ �������٤������������Τ褦��
Ϳ�����롣

\[
\left\{
\begin{array}{rrrr}
 -   x_1    & +  i x_2    & -   x_3 & = 0 \\
 - i x_1    & -    x_2    & - i x_3 & = 0 \\
 -   x_1    & +  i x_2    & -   x_3 & = 0
\end{array}
\right.
\]

���μ��ϰ���ܤ�����ܤ�����Ʊ���Ǥ��ꡢ�ޤ�������ܤ����ܤ����(
$i$ )�ܤˤʤäƤ�������ʤΤǡ���ɰ�̣������ΤϤ�����ΰ�Ĥ����Ǥ�
�뤳�Ȥ��狼��
\footnote{
��äơ�3 �����ζ��֤ǡ���������¤��뼰����ĤʤΤǡ����Τμ����� 2 
�����Ȥʤꡢ���η�̤Ȥ��ơ���Ω�����٥��ȥ뤬 2 �ĤȤ�뤳�Ȥ��狼�롣
}
��

��ɡ���ͭ���� $W_4$ �ϡ����Τ褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣

\[
W_4 = \{ v = \TV{x_1}{x_2} {x_3} | x_1 + -i x_2 + x_3 = 0 \}
\]

�����椫����ġ��٥��ȥ�����֤��Ȥˤʤ뤬���׻���ڤˤ��뤿��ˡ�
�Ǥ������ $0$ �������ޤ���٥��ȥ��ͤ��롣

���ξ��ϡ��㤨�С�$x_2 = 0$ �ˤ������� $x_1 = 1$ �Ȥ���С�
��ưŪ�� $x_3 = -1$ �ȷ��Τǡ������ $v_2$ �Ȥ��롣

\[
v_2 = \TV{1}{0}{-1}
\]

Ʊ�ͤˡ�$x_1=0$, $x_2=1$ �Ȥ���С�$x_3=i$ �Ȥʤꡢ

\[
v_3 = \TV{0}{1}{i}
\]

�ʤΤǡ��������Ĥ���Ω�����٥��ȥ뤬����줿���Ȥˤʤ�
\footnote{
����ϡ���������Ω�ʤΤ���Ĵ�٤�ɬ�פ����롣����������Ĥ����Ǥ� 0 ��
����٥��ȥ�ϡ������Ƥ⡢�������Ǥ� 0 �Ǥʤ������ġ����Υ٥��ȥ�� 0 
�Ǥʤ����Ǥ� 0 �ȤʤäƤ���٥��ȥ�Ȥ���Ω�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ�äƤ���Τǡ�
������Τ褦�ˡ������ϡ�$x_1$ �� 0 ��$x_2$ �� 0 �Ǥʤ��٥��ȥ�ǡ�¾��
����$x_1$ �� 0 �Ǥʤ��ơ�$x_2$ �� 0 �Ȥ���С���ưŪ�ˡ�������ĤΥ٥�
�ȥ����Ω�Ȥʤ롣

���ʤߤˡ����Υ٥��ȥ�μ�꤫���ϡ����ʤ����Ū�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��
�ɤμ��������Ǥ� 0 �ˤ��뤫�ǡ��ۤʤ�����������ͤ����뤷���ޤ���
Ʊ�����Ǥ� 0 �ˤ��Ƥ⡢�����Ƥ⡢���μ������Ǥ����������Τǡ�
Ʊ�������ˤʤ�Ȥ����ݾڤϤʤ���

�ޤ��������줫�����Ǥ� 0 �ˤ���Ȥ����Τϡ��׻���ڤˤ��뤿��ι��פ�
���ꡢ������� 0 �ˤ��ʤ���Фʤ�ʤ��Ȥ�����ͳ��ʤ������ˤ�äƤϡ�
���������Թ礬�褤���⤷��ʤ��Ȥ������Ȥ�α�դ��롣
}
��

�����ǡ�$v_2, v_3$ �ϳΤ��ˡ�$W_4$ �δ���
\footnote{
�ߤ�����Ω�ǡ����֤μ������������Ŀ��Υ٥��ȥ�ʤΤ�..��
} �ʤΤ���������ľ��Ϥ�
�ʤäƤ��ʤ��Τǡ�����ߥåȤ�ľ�򲽤�Ԥ�ľ�򲽤���
\footnote{
�ֹ�����гѲ��פξ��ϡ����κ�Ȥ�ɬ������ɬ�פϤʤ�����
���ڥ��ȥ�ʬ��ξ��ϡ�ľ�򲽤ϹԤä���������ɤϡ����ˤʤ롣
}��

\begin{eqnarray}
u_2' &=& v_2 \\
     &=& \TV{1}{0}{-1} \\
|u_2'|
     &=& \sqrt{( u_2' u_2' )} \\
     &=& \sqrt{( \TV{1}{0}{-1} \TV{1}{0}{-1} )} \\
     &=& \sqrt{ 1\cdot\OL{1} + 0\cdot\OL{0} + (-1)\cdot\OL{(-1)}} \\
     &=& \sqrt{ 2 } \\
u_2  &=& \frac{u_2'}{|u_2'|} \\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(v_3 u_2)
     &=& (\TV{0}{1}{i} \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} )\\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} (\TV{0}{1}{i} \TV{1}{0}{-1} )\\
     &=& \frac{1}{\sqrt{2}} ( 0 \cdot\OL{1} + 1\cdot\OL{0} + i\cdot\OL{(-1)} ) \\
     &=& \frac{-i}{\sqrt{2}} \\
u_3' &=& v_3 - (v_3 u_2)u_2 \\
     &=& \TV{0}{1}{i} - \frac{-i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
     &=& \TV{0}{1}{i} - \frac{-i}{2}\TV{1}{0}{-1} \\
     &=& \frac{1}{2}(\TV{0\cdot2+i\cdot 1}{2\cdot1+i\cdot 0}{2\cdot i+i\cdot(-1)}) \\
     &=& \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \\
|u_3'|
     &=& \sqrt{(u_3' u_3')} \\
     &=& \sqrt{(\frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(\TV{i}{2}{i} \TV{i}{2}{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(i\cdot\OL{i}+2\cdot\OL{2}+i\cdot\OL{i})} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{(i\cdot(-i)+2\cdot 2+i\cdot(-i))} \\
     &=& \frac{1}{2}\sqrt{6} \\
     &=& \frac{\sqrt{6}}{2} \\
u_3  &=& \frac{u_3'}{|u_3'|} \\
     &=& \frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{1}{2}\TV{i}{2}{i} \\ 
     &=& \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i} \\ 
\end{eqnarray}
\end{description}

�ʾ�ǡ�$W_1$ ������ľ��� $u_1$ �ȡ�$W_4$ ������ľ��� $u_2, u_3$ ��
���뤳�Ȥ��Ǥ�����������������ʤ�С�$u_1$ �� $u_2, u_3$ ��ľ������
����ɬ�פ�����Τ�����$W_1$ �� $W_4$ ��ľ�򤹤뤳�Ȥ�ʬ�äƤ���Τǡ�
����Ϲͤ���ɬ�פ��ʤ�
\footnote{���ʤ����$u_1$ �ϡ�$u_2, u_3$ �Ȥ�ľ�򤷤Ƥ��뤳�Ȥ����ˡ�
ʬ�äƤ��롣}���������äơ����Τޤޤ��λ��Ĥ� $V$ ����ľ���
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣

�������äơ������ϡ�

\begin{eqnarray}
u_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1}, \,
u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\TV{1}{0}{-1}, \,
u_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i}
\end{eqnarray}

�Ȥʤ롣
\end{Ans}

\item[(4)] $U=(u_1, u_2, u_3)$ �Ȥ����Ȥ�������εչ���$U^{-1}$ ��
���ʤ�����

\begin{Ans}

�����ꡢ

\begin{eqnarray}
u_1 &=& \frac{1}{\sqrt{3}}\TV{i}{1}{-1} \\
    &=& \frac{\sqrt{3}}{3}\TV{i}{1}{-1} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{3}i}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} \\
u_2 &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \TV{1}{0}{-1} \\
    &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \TV{1}{0}{-1} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{2}}{2}}{0}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
u_3 &=& \frac{1}{\sqrt{6}}\TV{i}{2}{i} \\
    &=& \frac{\sqrt{6}}{6}\TV{i}{2}{i} \\
    &=& \TV{\frac{\sqrt{6}i}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{6}i}{6}} \\
\end{eqnarray}

�ʤΤ�\footnote{�������ˡ���������Ǥˤ�����ϡ����Υ����顼��������Ǥ�
������ɬ�פ�����..��}��

\begin{eqnarray}
U &=& (u_1, u_2, u_3) \\
  &=& \left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6} \\
       \frac{\sqrt{3}}{3}  &                  0  &  \frac{\sqrt{6}}{3}  \\
      -\frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

�Ȥʤ롣

���줫�顢�̾����ˡ
\footnote{�������ξõ�ˡ��}
�ǡ�$U^{-1}$ ����Ƥ��ɤ������������ñ����ˡ�����롣

$u_1, u_2, u_3$ �ϡ�����ľ��ϤʤΤǡ�������¤٤�����$U=(u_1, u_2, u_3)$
�ϡ���˥������Ǥ���
\footnote{���줬�����������٤ˡ��虜�虜������ߥåȤ�ľ�򲽤����Ѥ��Ƥޤ�
ľ�����Ȥ����櫓�Ǥ��롣�դˡ�ľ�򲽤��Ԥ��Ƥ��ʤ���С��չ����ޤȤ��
�׻����ʤ���Фʤ餺������������η׻����̤�����������ߥåȤ�ľ�򲽤�
�Ԥ��׻����̤��¿���Τǡ����ѤˤʤäƤ��ޤ���}��
�������äơ�$U^{-1} = U^{*}$ �Ȥʤ�
\footnote{���̤ˡ�$U^{-1}$ ��ľ�ܵ����ꡢ$U^{*}$ �����������ñ
�ʤΤ�...��}��

�������äơ�

\begin{eqnarray}
U^{-1}
   &=& U^{*} \\
   &=& \OL{{}^tU} \\
   &=& \OL{{}^t\left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6} \\
       \frac{\sqrt{3}}{3}  &                  0  &  \frac{\sqrt{6}}{3}  \\
      -\frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right)} \\
   &=& \OL{\left(\begin{array}{rrr}
       \frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
       \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       \frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  &  \frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right)} \\
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       \OL{\frac{\sqrt{3}i}{3}} &  \OL{\frac{\sqrt{3}}{3}}  & \OL{-\frac{\sqrt{3}}{3}} \\
       \OL{\frac{\sqrt{2}}{2}}  &                  \OL{0}   & \OL{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
       \OL{\frac{\sqrt{6}i}{6}} &  \OL{\frac{\sqrt{6}}{3}}  &  \OL{\frac{\sqrt{6}i}{6}}
      \end{array}\right) \\
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       -\frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
        \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       -\frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right) \\
\end{eqnarray}

�������äơ������ϡ�

\begin{eqnarray}
U^{-1}
   &=& \left(\begin{array}{rrr}
       -\frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
        \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
       -\frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}i}{6}
      \end{array}\right) \\
\end{eqnarray}

�Ȥʤ롣

\end{Ans}

\item[(5)] $A$ �θ�ͭ�ͤ��б������ͱƻҤ򡢤��줾����ʤ�����

\begin{Ans}

�ޤ�����ͭ�� 1 �˴ؤ���ͱƻ�$P_1$��ͤ��롣����ϡ����Τ褦��������������

\[
P_1 ( u_1, u_2, u_3 ) = ( u_1, 0, 0 )
\]

���ʤ����$P_1$ �ϡ���ͭ�� 1 ���б������ͭ�٥��ȥ� $u_1$ �ϡ����Τޤ�
��¸���뤬��¾�θ�ͭ�� ( �����Ǥ� 4 ) ���б������ͭ�٥��ȥ� ( �����Ǥϡ�
$u_2, u_3$ ) �ϡ�$0$ �٥��ȥ�ˤ��Ƥ��ޤ�����Ǥ��롣

\[
( u_1, u_2, u_3 ) = U
\]

�ʤΤǡ��嵭�μ�����

\[
P_1 U = ( u_1, 0, 0 )
\]

���ʤ����

\[
P_1 = ( u_1, 0, 0 ) U^{-1}
\]

�Ȥʤ롣

��ϡ�������ͤ򤽤줾���������ơ��׻���������Ǥ��롣

\begin{eqnarray}
P_1 
   & = & ( u_1, 0, 0 ) U^{-1} \\
   & = & 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{\sqrt{3}i}{3} & 0 & 0 \\
         \frac{\sqrt{3}}{3}  & 0 & 0 \\
        -\frac{\sqrt{3}}{3}  & 0 & 0
      \end{array}\right)
      \left(\begin{array}{rrr}
        -\frac{\sqrt{3}i}{3} &  \frac{\sqrt{3}}{3}  & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\
         \frac{\sqrt{2}}{2}  &                  0   & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
        -\frac{\sqrt{6}i}{6} &  \frac{\sqrt{6}}{3}  & -\frac{\sqrt{6}i}{6}
       \end{array}\right) \\
   & = & 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

���ˡ���ͭ�� 4 ���б�����ͱƻ� $P_4$ ��ͤ��롣$P_1$ ��Ʊ�ͤˤ��ơ�

\[
P_4 ( u_1, u_2, u_3 ) = ( 0, u_2, u_3 )
\]

�Ȥ��������������Τǡ���Ϥꡢ

\[
P_4 = ( 0, u_2, u_3 ) U^{-1}
\]

�Ƿ׻����Ƥ��ɤ��������Ǥϡ��������פ��Ƥߤ롣

\[
( 0, u_2, u_3 ) = U - ( u_1, 0, 0 )
\]

�Ǥ��뤳�Ȥ����ܤ���ȡ�

\begin{eqnarray}
P_4 
  &=& ( 0, u_2, u_3 ) U^{-1}\\
  &=& \{ U - ( u_1, 0, 0 ) \} U^{-1}\\
  &=&  UU^{-1} - ( u_1, 0, 0 )U^{-1}\\
  &=&  E - P_1
\end{eqnarray}

����Ω����Τǡ���ɡ�$E$ ( ñ�̹��� ) ���顢�嵭�ǵ�᤿ $P_1$ ��
�����С�$P_4$ ��׻����뤳�Ȥ��Ǥ���
\footnote{
����ϡ������Τ��Ȥǡ��ͱƻҤξ��ϡ�������Ĥμ�����Ω���뤳�Ȥ�����Ǥ��롣
\begin{eqnarray}
E &=& P_1 + P_4 \\
A &=& 1 P_1 + 4 P_4
\end{eqnarray}
}
��

��ɡ�

\begin{eqnarray}
P_4 
  &=& E - P_1 \\
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
           1 & 0 & 0 \\  
           0 & 1 & 0 \\  
           0 & 0 & 1
      \end{array}\right)
     -\left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right)\\
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{2}{3} & -\frac{i}{3} &  \frac{i}{3} \\
         \frac{i}{3} &  \frac{2}{3} &  \frac{1}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} &  \frac{2}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

�Ȥʤ롣

�����ϡ��ʲ����̤�Ǥ��롣

\begin{eqnarray}
P_1 
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right) \\
P_4 
  &=& 
      \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{2}{3} & -\frac{i}{3} &  \frac{i}{3} \\
         \frac{i}{3} &  \frac{2}{3} &  \frac{1}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} &  \frac{2}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

\end{Ans}

\item[(6)] ���� $A$ �򥹥ڥ��ȥ�ʬ�򤷤ʤ�����

\begin{Ans}

���ˡ��ͱƻҤ������Ƥ���Τǡ���ϡ�������Ѥ��ơ�ɽ����������Ǥ��롣

\begin{eqnarray}
A
  &=& \lambda_1 P_{\lambda_1} +  \lambda_2 P_{\lambda_2} \\
  &=& 1 P_1 + 4 P_4 \\
  &=& 
      1 \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{1}{3} &  \frac{i}{3} & -\frac{i}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
         \frac{i}{3} & -\frac{1}{3} &  \frac{1}{3}
      \end{array}\right)
     +4 \left(\begin{array}{rrr}
         \frac{2}{3} & -\frac{i}{3} &  \frac{i}{3} \\
         \frac{i}{3} &  \frac{2}{3} &  \frac{1}{3} \\
        -\frac{i}{3} &  \frac{1}{3} &  \frac{2}{3}
      \end{array}\right)
\end{eqnarray}

\end{Ans}

\end{description}

\section{�󼡶������󼡶��̤�ʬ��}

\subsection{�󼡶���}

���μ���ɽ���󼡶�����̾�Τ�Ҥ٤Ʋ�������

\begin{enumerate}
\item $x^2+y^2+2xy=1-v_2$
\item $x^2+v_0y^2+2v_3xy=1$
\item $x^2+y^2+2xy+2v_3x+v_2y=0$
\end{enumerate}

\subsection{�󼡶���}

���μ���ɽ���󼡶��̤�̾�Τ�Ҥ٤Ʋ�������

\begin{enumerate}
\item $x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy+2x+2y+2z=-v_1$
\item $x^2+y^2+2v_3yz+2v_2xz=0$
\item $xy+z^2+v_2x+v_3y=0$
\end{enumerate}

\end{document}
