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%\newcommand{\tilde}[1]{\mbox{\~#1}}

\title{二次形式 (代数学幾何学演習II)}
\date{2003年12月12日 ( Ver 0.01 )}
\author{栗野 俊一}

\begin{document}
\maketitle

\section{二次形式}

二次形式の応用に、二次曲線と二次曲面の分類がある。

行列 $A$ 並びに、拡大行列 $\tilde{A}$ を使って次のように表現される二次
曲線と二次曲面は、 $A$, $\tilde{A}$ の符号によって、分類される。

\[
\tilde{A}[\tilde{x}] = 0
\]

\section{二次曲線の分類}

$A$ と $\tilde{A}$ の符号による、二次曲線の分類は以下のようになる。

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
No. & rank A & sign A &rank $\tilde{A}$&sign $\tilde{A}$& 図形 & 二次曲線 \\
\hline
1   &        &        &  3            & (2,1)        & 楕円 & ◯ \\
\cline{1-1}\cline{5-7}
1'  &        & (2,0)  &               & (3,0)        & 空集合 & × \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
1'' &    2   &        &  2            & (2,0)        & 一点  & × \\
\cline{1-1}\cline{3-7}
2   &        & (1,1)  &  3            & (2,1)        & 双曲線 & ◯ \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
3   &        &        &  2            & (1,1)        & 互いに交わる二直線 & \\
\hline
4   &        &        &  3            & (2,1)        & 放物線 & ◯ \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
5   &  1     &  (1,0) &  2            & (1,1)        & 平行な二直線 & \\
\cline{1-1}\cline{5-7}
5'  &        &        &               & (2,0)        & 空集合 & × \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
5'' &        &        &  1            & (1,0)        & 一直線 & × \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{二次曲面の分類}

$A$ と $\tilde{A}$ の符号による、二次曲面の分類は以下のようになる。

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
No. & rank A & sign A &rank $\tilde{A}$&sign $\tilde{A}$& 図形 & 二次曲面 \\
\hline
1   &        &        &     4         &  (3,1)        & 楕円面 & ◯ \\
\cline{1-1}\cline{5-7}
1'  &        & (3,0)  &               &  (4,0)        & 空集合 & × \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
1'' &    3   &        &     3         &  (3,0)        & 一点   & × \\
\cline{1-1}\cline{3-7}
2   &        &        &     4         &  (2,2)        & 一葉双曲面 & ◯\\
\cline{1-1}\cline{5-7}
3   &        & (2,1)  &               &  (3,1)        & 二葉双曲面 & ◯\\
\cline{1-1}\cline{4-7}
4   &        &        &     3         &  (2,1)        & 楕円錘面 & \\
\hline
5   &        &        &     4         &  (3,1)        & 楕円放物面 & ◯\\
\cline{1-1}\cline{4-7}
6   &        & (2,0)  &     3         &  (2,1)        & 楕円柱面 & \\
\cline{1-1}\cline{5-7}
6'   &       &        &               &  (3,0)        & 空集合 & × \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
6''   &  2   &        &     2         &  (2,0)        & 直線   & × \\
\cline{1-1}\cline{3-7}
7     &      &        &     4         &  (2,2)        & 双曲放物面 & ◯ \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
8     &      & (1,1)  &     3         &  (2,1)        & 双曲柱面 & \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
9     &      &        &     2         &  (1,1)        & 互に交じわる二平面 &\\
\hline
10    &      &        &     3         &  (2,1)        & 放物柱面 & \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
11    &  1   & (1,0)  &     2         &  (1,1)        & 平行二平面 & \\
\cline{1-1}\cline{5-7}
11'    &     &        &               &  (2,0)        & 空集合 & × \\
\cline{1-1}\cline{4-7}
11''   &     &        &     1         &  (1,0)        & 一平面 & × \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}


