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\title{代数学幾何学演習II (スペクトル分解)}
\date{2003年12月19日}
\author{栗野 俊一}

\begin{document}
\maketitle

\section{スペクトル分解}

\subsection{射影子}

線型空間 $V$ において、その部分空間 $W$ が与えられたときに、行列 $P$ が
$W$ の射影子であるとは、次のような性質を満す場合である。

\begin{itemize}
\item $x \in V$ で、$x = x_1 + x_2$ ただし、$x_1 \in W, x_2 \in W^{直}$ のとき
$Px = x_1$ となる場合。
\end{itemize}

\subsection{行列のスペクトル分解を行うとは}

行列 $A$ のスペクトル分解とは、$A$ の固有値 $\lambda_1, ..,\lambda_n$ に
対して、次のような性質を持つ行列 $P_1, .., P_n$ を求めることである。

\begin{itemize}
\item
\[ P_i P_j =
  \left\{
     \begin{array}{rr}
       P_i ( = P_i^2 )     & ( i = j ) \\
       0 (\mbox{零行列})   & ( i \ne j )
     \end{array}
  \right.
\]
\item \[ \sum_{i=1}^n P_i = E (\mbox{単位行列}) \]
\item \[ \sum_{i=1}^n \lambda_i P_i = A (\mbox{単位行列}) \]
\end{itemize}

特に、最後の式がスペクトル分解そのものであり、$P_i$ を具体的に
求め最後の形に書き表せばよい。

\subsection{スペクトル分解の方法}

スペクトル分解は、要するに $P_i$ を計算することに他ならない。

では、$P_i$ をどのように計算するかであるが、実は、これは、対角化と
良くにている。

結論から言えば、$A$ の固有値 $\lambda_i$ 対応した固有ベクトルを$v_i$ 
とし、対角化と同様にこの $v_i$ 並べた行列 $V = ( v_1 v_2 .. v_n ) $ を
作る\footnote{ここまでは、対角化と全く同じ方法であることに注意。}。

ここで、今、固有値 $\lambda_i$ に対応した $P_i$ と、
それに対応した固有ベクトル $v_{i1}, v_{i2}, .. v_{im}$ 
を考えると、実は、次の式が成立する。

\[
       P_i V = ( 0 .. v_{i1} v_{i2} ..v{im} .. 0 ) 
\]

従って、

\[
       P_i = ( 0 .. v_{i1} v_{i2} ..v{im} .. 0 ) V^{-1}
\]

を計算することになる。

つまり、対角化と全く同様に、$V^{-1}$ を求め、最後に、対応する固有
値に対応する固有ベクトルの部分以外は 0 にした行列と、その逆行列の
積を計算する
\footnote{
対角化の時には、答が欲しいだけなら、$V^{-1}$ の計算が不要だったが、
スペクトル分解の場合、実際に求め、計算しなければならない。

もちろん、対角化と同様ユニタリ行列が利用できるので、スペクトル分解
に関しては、ユニタリ行列必須と言える。
}
だけである。

(未完)

\end{document}











