2004/10/05

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# 固有値問題の応用例

建物が揺れるアニメーション
	実測の結果と、計算の結果を比較
		二点の実測値に、計算値を併せ、他の部分を信じる
			# 建物の中の記録が初めて取れた例だと思われる
	結構、画像が古い
		=> 地震の記録が、なかなか取れないため

	建物が壊れるかどうかは、地震次第
		橋桁などは、地震の方向にもよる
			まるい首都高速などは、どこかが、共振する。

	一番下に力が働くのは当然として、
		真中より少し上が小さいのが不思議 (鍵穴型)

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耐震の仕組
	最近の建物には入っている。
		重り付の支柱を揺らして、支柱の曲りで地震のエネルギーを吸収
			余り曲りすぎると折れてしまう
				曲りすぎないように支えを入れる
					支えのカーブが林檎の柄のカーブと同じ
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建物の揺れのシミューレション
	建物を離散化
		=> 行列ができる
			この行列の固有値を計算する
				=> ほぼ、振動数
		地震 (周波数分布) に対して、どのような振動をするかが解る
			固有値に近い振動の場合は、共振して、沢山揺れることになる

	# 神戸の地震の例では、六甲やまに反射した地震波がぶつかった所が壊れた
	#	=> シミュレーションでも確認された

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# 先週は、ヤコビ法の説明をした

ヤコビ法
	対称行列の解法
		=> 保存則を持つ物理現象の場合 ( 殆どがそう.. ) は、対称行列になる

	解法
		固有値をかえない変換を利用して対角化できれば Okey
			「固有値をかえない変換」 => 相似変換 (ほぼ、座標回転)

		対角要素の値が固有値になる

# 二次元の場合
	与えられた問題は、傾いた楕円として表現できる
		固有値を求めることは、この楕円を回転して、楕円を寝かす作業
			寢た楕円の長軸、単軸の長さが固有値
			元の楕円の長軸、単軸の方向が、固有ベクトル

	固有ベクトルを求めるには
		固有値を求めるために、何度か回転を行う
			その回転の結果が、固有ベクトルになっている

	対称行列の場合は、相異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交する。
		# 同一の固有値に対する固有ベクトルが複数有りうる
		## 特性方程式が重根を持つ場合
		# その場合は、シュミットの直交化を行い、同じ固有値に対する固有ベクトルも直交化することができる。

	固有ベクトルは、方向を表している
		大きさは意味がない
			ベクトルの要素の比が意味を持つ

		v が固有ベクトルならば \lambda v ( \lambda \ne 0 ) も固有値

		# 根に任意性があるため、ライブラリによって、答が違うことになる
		#	規格化したい
		#		v の長さを 1 にする
		#		v の要素の最大値を 1 にする

固有値が重根になる場合
	(二次元の場合) 図形的には、楕円ではなく、円になった状況
		固有値は、决めることができるが、固有ベクトルは決らない
			# 長さが異れば、短軸と長軸の区別ができた
			=> 独立 ( 直交 ) した、任意のベクトル対 ( 単位ベクトル ) を取る。

ヤコビ法を行うと、対角要素以外の要素の絶対値がなくなる
	絶対値が小くなれば、回転角度が小くなる
		固有値が重根を持つ場合は、グルグル周りだす ( 回転させても絶対値が小くならない )

	一般のモデルでは、固有値が重根を持つ
		<=> モデルに対称性がある場合
			モデルから対称性を排除する ( 一部分だけを計算する )
				# 対称性があるということは、一部を計算すれば、他も計算できるということ

	# 以前、ライブラリを比べたら、答が違った
	#	実は、問題のモデルに対称性があったためだった。
	#		# この為に、固有ベクトルに関して、任意性が生じてしまった。


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(現実的な..)固有値法の様々な手法
	cf. 「行列算法」 ( 戸川隼人先生、オーム社 )

	# ヤコビ法が基本だが、これを更に高速化するための工夫

	対称行列の固有値問題 ( 密行列を仮定 )
		ヤコビ法が基本
			# 素直
			反復回数が定まらない ( し、反復回数が多い )
			密行列を扱う
				(結果的に..) 計算量が増えてしまう
	三重対角行列を中継地点とする ( 前段と後段の組み併せによって色々 )
		=> 前段 ( 三重対角行列化 ) は、繰り返し回数が固定で済む ( fill in しない )
			ギブンス法
				ほぼ、ヤコビ法と同じ方法
			ハウスホルダー法
				鏡像変換 ( 数学的には相似変換と同じだが見かけが異る )
		=> 後段は、三重対角行列 ( つまり、疎行列 ) だけを扱う
			計算量 ( 3n に比例 ) が減る ( 繰り返し回数は判らないが.. )
				バイセクション法
					行列式の値を計算する
						グラフの交点を二分法で求める
				QR 法
					QR 分解を利用する
				# LR 変換 ( 他にも色々な分割変換を利用する )
			# この方法では、固有値だけが解る。
			# 固有値 \lambda_1 が判れば、それに対応する固有ベクトル v_1 は次の、連立方程式を解けば良い
			#	A v_1 = \lambda_1 v_1
			# ただし、rank が(必ず) 一つ落るので、要素比しか求めることができない
			#	=> 固有ベクトルは元々、そのような物なので問題ない

# 固有値問題を解く場合は、普通、ライブラリを使う
#	ライブラリを作る人は殆どいないはず
#		ライブラリを使うにしても、内部の動きを理解している方が、使い易い

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NetLib ( Internet に公開されているライブラリ )
	EISPACK -- 固有値問題を解く free なライブラリ
		# 1 万ステップの Fortran Program
		シュプリンガーからマニュアル ( #1, #2 ) が出版されている
	LINPACK -- 連立一次方程式
		ACM からでマニュアルが出版されている

	# Bug が少い
	#	<-> 「ニューメリカル・レシピズ」
	#		バグが沢山ある

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行列 A と、固有値、固有ベクトルの関係
	\lambda_1, .., \lambda_n : 固有値 ( \lambda_i > \lambda_j ( for i>j ))
	v_1, .. v_n : 固有ベクトル

	A = \lambda_1 v_1 v_1^{T} + .. \lambda_n v_n v_n^{T}

	A 一つの要素 ( 例えば、a_{11} ) を考える
		\lambda_1 >> \lambda_n
	なので、a_{11} の内、\lambda_n の値は、殆ど反映されない ( 足し算で丸められる )
		# 計算機は有限なので..

	(計算機で、固有値問題を解くと..) 絶対値の大きい固有値は精度が求められる
		絶対値の小さな固有値は精度が出ない
			<-> 固有ベクトルは精度が出る
				直交化条件があるため

# 固有値問題は、色々と面白い性質がある ( 数値計算に限らず !! )
#	村田けんろう、別府、片桐(電通大)
# 固有値問題の性質
#	一般の行列の固有値問題 ( 非対称、重根がある場合 )
#		伊理先生
#	# 数学より物理の本が詳しい

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	次週は、羃乗法

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演習

	Text	p.78	ヤコビ法
	例題	p.80