解析学とコンピュータ

2005/01/25

最後のまとめ

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一年間、数値計算の話をやった

前期にやったこと
	方程式の解法●
		線型方程式
			ガウスの消去法
			ヤコビ法
			ガウス=ザイデル
			SOR 法
		非線型方程式
			2 分法
			ニュートン法
				# 方程式以外でもよく用いられる

後期にやったこと
	固有値問題●
		ヤコビ法
		ベキ乗法
	補間法
		補間
			ラグランジェ補間 ( 大域的な補間 )
				誤差のない点であれば正しい結果になるが..
					実際には測定誤差があるので、良くない
						誤差の影響が外まで及んでしまう
			スプライン補間 ( 局所的な補間 )●
				誤差があっても、局所的なので、蓄積しない。
					各々の区間で、三次関数を繋げる
						接続点で微係数までを一致させる
					三次関数にする意味 (偶数次数はだめ)
						次元が低い (一だ) と凸凹
						次元が高い (五だ) と計算量が多い
						# 三次元は丁度よい
					心電図などは、ピークがあるので三次元だと駄目
						次元が高い方がよい
					# 自在定規の利用
			多項式での近似は、区間の外で暴れてしまうという性質を持つ
		関数近似
		数値微分
		数値積分
			台形法
			シンプソン法
			ガウス法
			# これを直接利用することはない
			#	有限要素法で、個々の要素で積分が必要になっている
			#		そこで数値積分を利用する
		常微分方程式●
			オイラー法
				結果を簡単に得たい時に利用する
				# テイラー展開から導出することができる
			ルンゲ＝クッタ法
		偏微分方程式● ( <= これまで「補間」というのは言い過ぎかも.. )
			有限差分法◎
				形状が簡単な場合は計算しやすいが、複雑な形では駄目
					強収束 : 差分を小くすれば全体として近似される
						# 関数自身の誤差が減る
			有限要素法◎
				形状を近似するのに向いている
					複雑な形を近似するためのよい
					弱収束 : 差の積分が 0 に収束すれば良い
						# 関数自身の誤差の積分が減る
					## 根の概念を「強収束からを弱収束にした」という点が有限要素法の骨頂ではないか ? ( 福井説 !! )
					点で動くものは、有限要素法で Okey
						=> 剛体の計算など
					線で動くものは、差分方法でないとだめ
						=> 流体の計算など
						# 有限要素方法だと「点」から漏れてしまう..
			境界要素法◯
	トピックス
		並列処理
		数式処理

	# 色々やったが、本来なら、一項目に 2 月位かけるのが普通 ( 毎日講義して終るかどうか.. )
	#	収束の証明などやっていない
	#		-- 数学科なので自分でできるよね..
	#		-- やっても役に立たない..

	#		講義の目的は、数値計算の手法のサーベイ
	#		入門として、本当に必要になったときに、Key word になれば..
	#			ポイントとして、「気を付ける点」を紹介すること..


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	固有値問題
		行列 A に対して
			A x = r x
		満す r ( と、x ) を求める問題
			r : 固有値
			x : 固有ベクトル
		n × n の行列の場合は n 個の固有値が出てくる
			二次元の場合は、楕円の長軸と短軸の長さ
				楕円の軸の角度が固有ベクトルの値
					円の場合は、同じ固有値になる
						(固有ベクトルは一つに定まらないので、直交する二つのものを任意に選んでよい)

	行列の問題の解き方
		問題の性質を保存したまま、特殊な形 ( 対角だけに要素が残る ) に変形する操作を繰り返す
			# 行列の対角化を行う
			線型方程式 => 基本変換 : 連立方程式の解を変えない
			固有値 => 相似変換 : 固有値を変えない
				相似変換は、座標変換の一種 ( 回転、反転等、拡大は含まれない )
				# Intel CPU の SSE 等は、回転に都合がよい命令
				#	=> 固有値問題を解くのにも都合がよい

	50 年前の固有値問題 ( QR 法などがなかった時代 )
		代数方程式に変換されてから、代数方程式を解いていた ( つまり同値 )
			4 次元までは、公式があったが.. 5 次元以上はない
				数値計算で解くしかない

		連立方程式の問題は、fill-in ( 一度零になった要素が零でなくなるという現象 ) をさけることができる
			=> つまり「直接法がある」ということを意味する
		固有値問題は、 fill-in をさけることができない
			=> つまり、「必ず、反復法で解かないといけない(直接方法はない)」ということに対応する
			# 数値計算での「直接法」は「有限回で必ず根が得られる方法」のこと


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	補間 : n 点が与えらえると n 次元の多項式を作ることができる
		次元が高いと、暴れてしまうので、あまり高い次元での補間は行わない

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	数式処理 - 数値計算
		お互いの得手、不得手の部分をおぎなうと良い
			数式処理 : 小林先生や、竹島先生が御詳しい
		# 数値計算の前処理に数式処理を使う

	並列処理 : ある意味で大変
		一つの仕事を二人でやると上手く行かないかも..
			一般には難しいが...

		# 以下の場合を目的に利用されている

		今の CPU の限界
			既に、光の速度 ( 3 x 10^10 cm ) の限界にきている
			1 Ghz の One Clock で光の移動速度は、たった 30cm !!
				# 半導体の中では、更に遲い..
			半導体はもう、速くならない
				速くしようとすると、電圧をあげないといけない
					電圧を上げると熱 (消費電力) が上がる
						半導体が溶けてしまう !!
			並列化を行う !!
				消費電力をかえず、電圧を下げて、速度を上げる
					# 今後はこのパターン
				速度をかえずに、電圧を下げて、消費電力を下げる
					# 今後はこのパターン

		大規模計算
			一年かかる計算を半年にできれば..

		リアルタイム性
			特定の時間内に答えが出ないと意味がない


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試験 2/1 9:30- 教室は.. ?

来年はカリキュラムが変るので、教科書も変る

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