複素数

# 高校でやっていた人は、復習だが、そうでなければ、最初からしっかり、身に付けること

まず、複素数というものが何処ら出て来たか ? を説明する。

自然数 { 1, 2, 3, ... } = N は、最初からあった。

次に、単純な一次方程式

	a + x = b	a, b \in N

を考える。ここで、

	a = 3
	b = 2

の場合を考えると、この一次方程式を満す数は、 N の中に存在しない。

そこで、このような方程式を満すような数 ( 0 と、負の数 ) を考えて、
数を広げた

	整数 = { 0, \pm 1, \pm 2, ... } = Z

これで、上記のような、方程式を満す解は全て得ることができた。

次に、

	a x = b		a, b \in N ( a \ne 0 )

	a = 3
	b = 5

を考えると、同様に整数 Z に解がなかった。そこで、

	有理数 { p/q | p,q \in Z, p \ne 0 } = Q

を考えた。

# 長い間、有理数だけが数であるような時代が続いたが...

	x^2 = a		a > 0 \in Q
	a = 3

の解もほしくなり

	実数 R

が作られた。

# 実際は、この他に、「代数的数」などの議論もあるのだが、ここでは省略

しかし、

	x^2 = a		a < 0 \in Q
	a = -2

の解は R の中になかった

# 長い間、しょうがないので、このような方程式は「解なし」と扱われる時代が続いた

しかし、結局、二乗すると -1 になる数を i ( = \sqrt{-1} ) で表し、
虚数単位と呼ぶことにし、形式的に何らかの数を表すことにした。

すると、

	x^2 = -2

の解もあり

	x = \pm \sqrt{2} i

とすることができるようになった。

この様に二乗すると負になる数
	=> 純虚数

実数と純虚数の和からなる数

	a + bi	( a, b \in R )

を複素数と呼ぶ。

	複素数 = { a + bi | a, b \in R } = C

特に、複素数 α = a + bi に対して

	a : αの実(数)部	( Re α で表す )
	b : αの虚(数)部	( Im α で表す )

と呼ぶ。

	Col.
		b = 0 <=> αは実数
		a = 0 ( b \ne 0 ) <=> αは純虚数

# ここまで、新しい(代数)方程式を作る度に、その解を求めるために数を拡張する
# 必要があった。では、まだ必要なのだろうか... ? 実は..
	
	Th. 一般の代数方程式
		a_n x^n + a_{n-1}x^(n-1) + .. + a_1 x + a_0 = 0
		( n \in N, a_n \in C )
	の解は、全て複素数

	# 証明はなし

# つまり、もう、代数方程式を解くために、数の範囲を広げる必要はなくなった。

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二つの複素数について

	α = a + bi	( a, b \in R )
	β = c + di	( c, d \in R )

複素数の等価性

	α = β	<=>	(a = c) \and (b = d)

	特に
		α = 0	<=>	a = b = 0

複素数の四則

	α + β	= ( a + bi ) + ( c + di )
		= ( a + c ) + ( bi + di )
		= ( a + c ) + ( b + d )i

	α - β	= ( a + bi ) - ( c + di )
		= ( a - c ) + ( bi - di )
		= ( a - c ) + ( b - d )i

	αβ	= ( a + bi )( c + di )
		= ac + ad i + bc i + bd i^2
		= ac + ad i + bc i - bd
		= ( ac - bd ) + ( ad + bc )i

	α/β	= ( a + bi ) / ( c + di )
		= [ ( a + bi ) ( c - di ) ] / [ ( c + di )( c - di ) ]

		# 分母の実数化 : ここで何処らともなく c + di に対応した c - di を
		# ( これを共役複素数と呼ぶ.. ) をもってくる所がポイント

		= [ ( ac + bd ) + ( bc - ad ) i ] / ( c^2 + d^2 )
		= ( ac + bd ) / ( c^2 + d^2 ) + ( bc - ad ) / ( c^2 + d^2 ) i

共役複素数

	α = a + bi に対して

		\bar{α} (α^*) = a - bi = a + (-b)i

	を共役複素数と呼ぶ。

	Re α = Re \bar{α} = ( α + \bar{α} ) / 2 
	Im α = - Im \bar{α} = ( α - \bar{α} ) / (2i)
	\bar{\bar{α}} = α
	α\bar{α}  = a^2 + b^2 ( \ge 0 )
	\sqrt{a^2 + b^2} を αの絶対値(又は長さ)と呼び、|α| で表す
	|α|^2 = α\bar{α}

	Th.	α = 0  <=> |α| = 0
	∵ (=>)
		α = 0 より a = b = 0 だから |α|^2 = a^2+b^2 = 0 なので
		|α| = 0
	∵ (<=)
		|α| = 0 より、a^2+b^2 = 0
		ここで、a, b は実数なので、
			   このような方程式を満す a, b の組は、0 と 0 しかない
		よって、a = b = 0 なので、α = 0

	Th.	|αβ| = |α| |β|
	∵
		# 計算する

	# 共役複素数の性質 => 証明は略
	#	共役複素数に於ける四則 (和/差/積/商) の性質

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複素平面 ( 数と図形の関係 )

	実数 <=> 数直線

	複素数 <=> 複素(数)平面
	 \in	    \in
	a + bi <-> (a,b)

	Y
	^
	|
       b+   (a,b) α = a + bi
        |  /
	| / <- この線分の長さはピタゴラスの定理から \sqrt{a^2+b^2} = |α|
	|/
      --+---+------> X
	|   a

	つまり、αの絶対値 |α| は、複素平面上での、αに対応する点と原点の距離
	あるいは、原点から、その点へ引いた線分の長さになっている。

	同様に、

		α = a + bi	点 P ( a, b ) に対応
		β = c + di	点 Q ( c, d ) に対応

	を考えると、点 P, Q の間の距離は、

		|PQ| = |β-α|

	で表現できる ( これも、両辺を計算して確かめる )。

	Col. ( 三角不等式 )
		| α + β | \le |α| + |β|
		|α| - |β| \le | α - β |

		# 等号は、αとβが一直線上にある場合に成立する
		# 後半の証明は、省略

	証明は、計算によって、求めることができるが、作図をすることによって、
	直観的に成立することが理解できる

		# 図形的な性質が、計算により確かめることができる
		# 計算の性質が、図形から、予測することができる

[極座標形式]
	点 P ( a, b ) を、
		P の 原点 O からの距離 r
	と
		線分 OP と x 軸のなす角度 θ ( 反時計回り )
	で表現することを考えると、

		α = r ( cos(θ) + i sin(θ) )

	となることがわかる。

	この形式を、αの極形式(極表示)と呼ぶ

		r = |α|
		θを αの偏角とよび、 arg θ で表す。

	[注意] 	θ がαの偏角ならば、θ+2πもαの偏角となる。
		つまり、偏角は一つに定まらない
		通常は、θの取り得る範囲を [0 2π] とか、 [-π π] とかに、
		範囲を決めて一つに定めて扱うことが多い

# 極座標形式は、足し算や引き算には都合が悪いが、かけ算や、割り算では都合がよい。

	α1 = r1 ( cos(θ1) + i sin(θ1) )
	α2 = r2 ( cos(θ2) + i sin(θ2) )

	において、積

		α1α2 = r1 r2 ( cos(θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2) )

	となる。

	つまり、二つの複素数の積は
		大きさは、かけ算
	に
		角度は、足し算
	なる。

	# 図形的な性質

		(1,0) : α1 = α2 : α1α2

	商も同様に、

		α1/α2 = (r1/r2) ( cos(θ1-θ2) + i sin(θ1-θ2) )

[ド・モアブルの公式]

	(cos(θ)+ i sin(θ))^n = cos(nθ)+ i sin(nθ)

[複素数の n 乗根]
	複素数 α に対して、
		α = β^n	( α, β \in C, n \in N )
	を満す複素数βを
		αの n 乗根
	と呼ぶ。

	# この n 乗根を求めてみる。

		α = r  ( cos(θ) + i sin(θ) )
		β = ρ ( cos(φ) + i sin(φ) )

	とすると

		β^n = ρ^n ( cos(nφ) + i sin(nφ) )

	なので、
		r = ρ^n
		nφ = θ + 2kπ ( k \in Z )
	より
		ρ = r^(1/n)
		φ = θ/n + 2kπ/n ( k = 0, 1, 2, ..., n - 1  )

	# n 乗根は、n 個ある

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x 軸に対する線対称

	α に対して\bar{α} は、x 軸に線対称な点を表している

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[オイラーの公式]

	e^(iθ) = cos(θ) + i cos(θ)

	# 三年生の複素関数論で学ぶ。ここでは、天下り的に与える
	#	つまり、ここでは、上記の式の左辺の意味を右辺で定義する

	これを利用すると、

		α = r( cos(θ) + i sin(θ) ) = r e^(iθ)

	と、極形式が簡単に表現できるようになる。

		|e^(iθ)| = 1

		e^(iθ1)e^(iθ2) = e^(i(θ1+θ2))

	# 普通に指数関数で成立する方式が、複素数の指数関数でも成立する

	特に
		(e^(iθ))^n = e^(inθ)
		(e^(iθ))^(-1) = e^(-iθ)

		cos(θ) = (e^(iθ)+e^(-iθ))/2
		sin(θ) = (e^(iθ)-e^(-iθ))/(2i)

# e^z は、複素関数と呼び、複素解析で詳しく行う。

	なお、
		1/β = \bar{β}/(β\bar{β}) = \bar{β}/(|β|^2)
	特に
		|β| = 1
	であれば、
		1/β = \bar{β}
	となる。

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次回は、多項式
	係数は、複素数の場合も実数の場合の両方がある
	複素数係数の話の時に思い出せるように !!