先週は、複素数をやった。
今週は、多項式 (予定では、今回と次回)

[多項式]

1 変数多項式

x : 変数 a_0, a_1, ..., a_n を定数とするときに、

	a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + .. + a_n x^n = f(x)

を、「x の多項式」と言う。

a_0, .., a_n を多項式の係数と呼ぶ。

	a_m を x^m の係数
	a_0 を定数項
	a_0, a_1 x, a_2 x^2, .., a_n x^n を多項式の項
	a_m x^m を m 次の項

という。

	a_n \ne 0 のとき、多項式 ( の次数は n | は n 次式 ) という。

多項式 f(x) の次数を

	deg f(x)

で表す。f(x) の次数が n ならば、

	deg f(x) = n

が成立する。

	f(x) = a_0, a_0 \ne 0 の時には、deg f(x) = 0
	f(x) = 0 の時には、次数は定めない

	# ものの本によっては、-∞とするものもあるが、ここでは、単に定めない。

2 つの「多項式 f(x), g(x) が等しい」とは
		次数が等しく
	かつ
		全ての係数が等しい
こと、この場合に、

	f(x) = g(x)

と書く。

[記号の定義]
	Z[x] = { x を変数とする 整数   係数多項式 }
	Q[x] = { x を変数とする 有理数 係数多項式 }
	R[x] = { x を変数とする 実数   係数多項式 }
	C[x] = { x を変数とする 複素数 係数多項式 }
いま、

	f(x) = a_0 + a_1 x + .. a_n x^n = \Sum_{k=0}^n a_k x^k
	g(x) = b_0 + b_1 x + .. b_m x^m = \Sum_{l=0}^m b_l x^l

としたときに、

「多項式の和」を次のように定める。

	m \le n の時
		b_{m+1} = b_{m+2} = .. = b_n = 0
	と定め
		f(x) \pm g(x) = \Sum_{k=0}^n (a_k \pm b_k ) x^k 
	で、逆に、 n < m の時は、
		a_{n+1} = a_{n+2} = .. = a_m = 0
	と定め
		f(x) \pm g(x) = \Sum_{k=0}^m (a_k \pm b_k ) x^k 
	とそれぞれ、定義する。


「多項式の積」を次のように定める。

	f(x)g(x)
		= (\Sum_{k=0}^n a_k x^k) (\Sum_{l=0}^m b_l x^l)
		= \Sum_{k=0}^n\Sum_{l=0}^m a_kb_l x^(k+l)
		= \Sum_{i=0}^(n+m) ( \Sum_{ k+l=i, 0\le k\le n, 0\le l\le m ) x^i 

		= a_0b_0 + (a_1b_0 + a_0b_1) x + ..		

「多項式の合成」を次の通りに定める。

	f(g(x))
		= \Sum_{k=0}^n a_k g(x)^k
		= \Sum_{k=0}^n a_k (\Sum_{l=0}^m b_l x^l)^k

		# 展開は面倒なので、やらない。

f(x) = a_n x^n の時に、「単項式(モノミアル)」と呼ぶ(多項式は、ポリノミアル)。

# ここまでは、高校で学んだことを、難しく ( 一般的かつ、厳密に.. ) やりなおしただけ

[多変数多項式]	複数の変数を含む式

	[例 1] f(x,y) = x^3y^2+2xy^5+7x^2y^2+4xy+6

	f(x,y)
		=  \Sum_{k=0}^n (\Sum_{l=0}^m a_{k,l} x^k y^l)
		= a_{0,0} + a_{1,0} x + a_{0,1} y

	# 係数は、一時変数

[次数]
	y の定数と思って f(x,y) を変数 x の多項式と考えた時の次数を
	f(x,y) の x に関する次数と呼び、 deg_x f(x,y) で表す。
同様に
	x の定数と思って f(x,y) を変数 y の多項式と考えた時の次数を
	f(x,y) の y に関する次数と呼び、 deg_y f(x,y) で表す。

[総次数]
	x^i y^i を i+j の次の項と考え a_{i,j} \ne 0 となるものの中で
	i+j が最大のものを、f(x,y) の(総) 次数と呼び deg f(x,y) で表す。

	# n 変数多項式は、行列式を学ぶ時に必要になる。

	[例] 先ほどの例の f(x,y) の場合
		deg_x f(x,y) = 3
		deg_y f(x,y) = 5
		deg   f(x,y) = 6

一般に n 変数の多項式
	f(x_1,x_2,..,x_n)
		= \Sum_{ (k_1,k_2,..,k_n) \in S ) a_{k_1,k_2,..,k_n} x_1^{k_1}x_2^{k_2}..x_n^{k_n}

	# (k_1,..,k_n) の取りうる範囲を限定しないと、無限次元になるの
          で、これは考えたくない、そこで、その範囲 (S) を限定している。

「f(x_1,..,x_n) が斉次式 ( 同次式 ) である」とは、f の全ての項について
	a_{k_1,k_2,..,k_n} \ne 0 => k_1 + k_2 + .. + k_n = m
が成立すること。

	[例]
		定数式は 0 次の同次式
		x y の 3 斉次式
			a_{3,0} x^3 + a_{2,1} x^2y + a_{1,2} xy^2 + a_{0,3}y^3


	[例] (二項定理)
		二項係数とは
			nCr = ( n )
				r
			    = \frac{n(n-1)(n-2)..(n-r+1)}{r(r-1)..1}
			    = \frac{n!}{r!(n-r)!) ( n \in N, r=0,1,..,n ) 
		ただし、
			0! = 1, nC0 = 1
		と定義する。

		二項係数の性質
			nC0 = nCn = 1
			nC1 = nC(n-1) = n
			nCr = nC(n-r)		# 左右対称
			nCr + nC(r-1) = (n+1)Cr
				∵ 計算すれば良い

			# 最後の性質を利用すると、「パスカルの三角形」が作れる。

					1   1
				     1    2    1
				  1     3    3   1
			       1     4    6    4   1
			    1     5    10   10   5    1

			# 二項係数の対称性は、このパスカルの三角形からも解る
		# ここまでが、二項係数

		二項定理とは
			(x+y) = \Sum_{k=0}^n nCk x^ky^{n-k}
			証明は、n に関する帰納法

	[例] (多項定理 : 二項定理の一般化 )
		# 定理は、一般に n 種類の変数を利用するが、取りあえず 三変数で試す

		(x+y+z)^n
			= (x + α)^n
					α = y + z とおいた
			= \Sum_{k=0}^n nCk x^kα^{n-k}
					二項定理より
		ここで、
			α^k
				= (y+z)^k
				= \Sum_{l=0}^k kCl y^lz^{k-l}
		なので、結局、

		(x+y+z)^n
			= \Sum_{k=0}^n\Sum_{l=0}^k nCk kCl x^{n-k} y^{k-l} z^m
				ここで、
					p = n - k
					q = k - l
					r = l
				と置き換えると

			= \Sum_{p+q+r=n} \frac{n!}{p!q!r!} x^p y^q z^r

		となる。

		より、一般的に、n 変数にすると..

		(x_1 + x_2 + .. + x^m)^n
			= \Sum_{k_1+k_2+..+k_m = n} \frac{n!}{k_1!k_2!..k_m!} x_1^{k_1} x_2^{k_2}...x_m^{k_m}
				(where 0 \le k_i)

		となる。


==

# 整数の時と同様、多項式の和、差、積は、再び、多項式となるが、商は多項
# 式とならない場合がある(割り算は、閉じていない)。そこで、整数の時と同
# 様に、「余り」を考える

[定理] f(x), g(x) を K-係数多項式 ( Text p.226 定理 1.2 ) とする
		( K は、Q, R, C のいずれか )
の時に、
	f(x) = h(x) g(x) + r(x)
		(where deg r(x) < deg g(x), または r(x) = 0)
		# r(x) = 0 の時 deg r(x) は定めなかった時に注意

を満す、多項式
	h(x) : 商
	r(x) : 余り
が一意に定まる ( 証明は、Text 参照 )

特に、
	r(x) = 0
の時に
	「g(x) は、f(x) を割切る」
と呼び
	g(x) は、f(x) の因数とか、約数とか因子と呼ぶ。
また、逆に、
	f(x) は、g(x) で割切れるとか、倍数であると呼ぶ。

[定義] 多項式 f(x), g(x) に対して、
	f(x) と g(x) の公約数の内で、次数が最大のもの : 最大公約数
	f(x) と g(x) の公倍数の内で、次数が最小のもの : 最小公倍数

	[例] f(x)=4x^2, g(x) = 2x^2 + 6x
		最大公約数: x, 2x, 5x, -3/2 x, ... : 沢山
			# 沢山あることに注意。一つの約数の定数倍は、約数なので..
			# 一意に决めたい場合は、最上位の次数の係数を 1 にするなど指定する。
		最小公約数: x^3+2x^2,  x4^3+8x^2, ...


[定理] 剰余定理
	f(x) を x-α を割った余りは、f(α) となる。
		∵ f(x) = g(x)(x-α) + r なので、f(α) = g(α)(α-α) + r = r

[定理] 因数定理
	f(x) を x-α を割り切れる
		<=>
	f(α) = 0

[deg の性質]
	deg(f(x)\pm g(x)) = max(deg f(x), deg g(x))
	deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x)

	f(x) = h(x)g(x)+r(x) ( h(x) \ne 0, h(x) は商 ) の時
		deg h(x) = deg f(x) = deg g(x)

==

次回の予告 ( ユークリッドの互除法 )

	510 と 303 の最大公約数を求めたい.. どうするか ?

	取りあえず、大きい方を小さい方で割り、その余りを計算する
		510 ÷ 303 = 1 .. 207
	その余りで、小さい方を割る
		303 ÷ 303 = 1 .. 207
	同様に..
		207 ÷ 96  = 2 .. 15
		96  ÷ 15  = 6 .. 6
		15  ÷ 6   = 2 .. 3
		6   ÷ 3   = 2 .. 0  <= 割切れた

	最後の割切れた数 3 が、実は、元の二つの数 510, 303 の最大公約数

	このようなやり方を「ユークリッドの互除法」と呼ぶ

# 来年の「ソフトウェア概論」で使う !!