2005/05/19 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

# 本日から、ベクトルの話。しばらくベクトルの話 ( 多分 数 B でやっていると思うが、とりあず、復習から.. )

ベクトル : 方向と大きさを持つ <-> スカラー : 大きさしかない ( 実数、複素数、.. etc )

	# これまでの数は、大きさだけだが、その他に、「方向」もあるという点が違う

	# ベクトルの例

	平面上の二つの点 ( 始点 P と終点 Q ) を指定すると、有向線分 \Vec{PQ} が決る
		色々な有効線分があるが、その中で同じ向き、同じ大きさのものをまとめて一つのベクトルと考え、\Vec{(PQ)} で表す。

		# \Vec{PQ} と \Vec((PQ)} は本来異るものだが、面倒なので、以下、\Vec{PQ} でベクトルを表すものをとする

		# 本来は「同値」を定義し、同値な有向線分を同一視することで、ベクトル空間が定義されるが、これは、「数学入門」話題なので、ここでは高校の範囲で議論する。

	def ベクトルの和
		二つのベクトルの始点を同じにし、その二つのベクトルを二辺とする平行四辺形(この平行四辺形を、その「二つのベクトルの張る平行四辺形」と呼ぶ。)をつくる。
		その共通の始点を始点とし、平行四辺形の対角の頂点を終点とするベクトルを、この二つの「ベクトルの和」と呼ぶ。

	def (0 ベクトル )
		\Vec{PP} = \Vec{0} : 始点と終点が同じベクトルを零ベクトルと呼ぶ
		大きさは 0, 向きは「ない or 全ての方向を向いている」と考える

	def 逆ベクトル
		与えらたベクトル \Vec{PQ} に対して、その始点 P と終点 Q を交換した
		ベクトル \Vec{QP} を、元のベクトル \Vec{PQ} の「逆ベクトル」とよぶ。
		# あるベクトルとその逆ベクトルの和は 0 ベクトルになる。

	def (実数倍)
		与えられた実数 c とベクトル\Vec{x} に対して、\Vec{x}の方向は変えず、
		長さだけを |c| 倍したもの (c\Vec{x}) を、\Vec{x}の実数倍と呼ぶ。
		ただし c>0 の時、c\Vec{x}の向きは元のベクトル\Vec{x}と同じだが、
		c<0 の時は、向きが逆になる。
		(c=0 の時には、c\Vec{x} は 0 ベクトルになることに注意 )

	公理 (線型空間)
		1. \Vec{a} + \Vec{b} = \Vec{b} + \Vec{a}
					(交換法則)
		2. (\Vec{a} + \Vec{b}) + \Vec{c} = \Vec{a} + (\Vec{b} + \Vec{c} )
					(結合法則)
		3. \exist \Vec{v} s.t. \all \vec{a}
			\Vec{a} + \Vec{v} = \Vec{v} + \Vec{a} = \Vec{a}
				# \Vec{v} は 0 ベクトル
					(零元 (単位元) の存在)
		4. \all \Vec{a} \exist \Vec{v} s.t.
			\Vec{a}+\Vec{v}=\Vec{v}+\Vec{a}=\Vec{0}
				# \Vec{v} ( = -\Vec{a} ) は 逆ベクトル
					(逆元の存在)
		5. (a+b)\Vec{x}=a\Vec{x}+b\Vec{x}
					(定数倍の分配)
		6. a(\Vec{x}+\Vec{y})=a\Vec{x}+a\Vec{y}
					(定数倍の分配)
		7. (ab)\Vec{x}=a(b\Vec{x})
					(定数倍の結合)
		8. 1\Vec{x}=\Vec{x}
					(定数倍の単位元)

	def 1 から 8 を満す空間を線型空間と呼ぶ (cf. text p.96)

	# 一般的な線型空間は、来年学ぶが、いま学んでいるベクトルも、線型空間になっている

	def V^2 = {\Vec{v} | \Vec{v} は平面ベクトル } : 平面ベクトル空間
	def V^3 = {\Vec{v} | \Vec{v} は空間ベクトル } : 空間ベクトル空間

	# しばらくは、V^2, V^3 に共通な話題を扱う。区別が必要になってきたら、その時に注意する

	def 成分表示
		直交座標を考え、二点
			点 P ( x_1, y_1, z_1 )
			点 Q ( x_2, y_2, z_2 )
		を考える。この時
			ベクトル \Vec{PQ} = \VTVec{x_2-x_1}{y_2-y_1}{z_2-x_1}
		を、ベクトル\Vec{PQ}の「成分表示」と呼ぶ。

		\VTVec{a}{b}{c} を縦ベクトル、(a,b,c) を横ベクトルと呼ぶ。

		# 縦ベクトルと横ベクトルは同じ構造をもっている。

		# 大学では、普通縦、( なぜなら、行列を左からかけるのに都合がよい )

		ベクトルの和の成分表示
			\VTVec{a}{b}{c} + \VTVec{x}{y}{z} = \VTVec{a+x}{b+y}{c+z}
		ベクトルの定数倍の成分表示
			c\VTVec{x}{y}{z} = \VTVec{cx}{cy}{cz}

	def 位置ベクトル
		ベクトルの始点を原点 O ( <= 座標を决めると必ずある ) にした場合
		その時の終点に対して、そのベクトルを「位置ベクトル」と呼ぶ
			位置ベクトルの成分は、それが対応する点の座標と同じ
			# 点を一つを决めると、その点に対応する位置ベクトルが定まる
			# ベクトルを一つ决めると、そのベクトルを位置ベクトルとする点が一つ定まる

	def 単位ベクトル
		# 通常は、長さが 1 のベクトルという意味なのだが.次のような特別な
		# ベクトルを意味することがある ( 状況におうじて使い分ける )

		V^3 において、
			\Vec{e_1} = \VTVec{1}{0}{0}
			\Vec{e_2} = \VTVec{0}{1}{0}
			\Vec{e_3} = \VTVec{0}{0}{1}

		V^2 において、
			\Vec{e_1} = \VDVec{1}{0}
			\Vec{e_2} = \VDVec{0}{1}

	def 線型(一次)表示
		# 「一次」と「線型」は全く同じ意味で、どちらでもよいのだが、この本では、「一次」より「線型」の方がメジャー

		v^3 の全てのベクトル
			\Vec{v} = \VTVec{x}{y}{z}
		に対して、
				= \VTVec{x}{0}{0} + \VTVec{0}{y}{0} + \VTVec{0}{0}{z}
				= x\VTVec{1}{0}{0} + y\VTVec{0}{1}{0} + z\VTVec{0}{0}{1}
				= x\Vec{e_1} + y\Vec{e_2} + z\Vec{e_3}

		とかける。

	def (線型(一次)結合)
		ベクトル a, b, c と実数 x, y, z に対して
			xa + by + zc
		をベクトル a, b, c の「線型(一次)結合」と呼ぶ

	def (線型独立) a_1, a_2, .., a_n のどの一つでも残りの線型結合で表せないとき
		a_1, a_2, .., a_n は、「線型独立」とよぶ

	def (線型従属)
		線型独立でなければ、線型従属

	# 以下、幾何学的な定義 ( テキストと同じ )。上は厳密な/一般的な定義

	n = 2 のとき
		a, b が平行 => a, b は線型従属
		           <= ( a, b, が 0 でなければ成立 )
			# 0 は、向きがないので、微妙

	n = 3 のとき
		a, b, c が同一平面上 <=> a, b, c は線型従属

	def (ベクトルの長さ)
		x = (a,b) の時、
			|x| = \sqrt{a^2+b^2}
		x = (a,b,c) の時、
			|x| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}

	# ベクトルの長さも「ノルム」で定義する。これを |a| で表すか ||a|| で表すかは好みの問題
	## テキストでは ||a|| と書くが、講議では |a| を使うので注意 !!

	def (ベクトルの内積)
		ベクトル a と b のなす角度(交角)を \thita (0 \le \thita \le \pi ) とするときに、

			|a||b|\cos{\thita} = \frac{1}{2}(|a|^2+|b|^2-|b-a|^2)
		を、ベクトル a, b の「内積」とよび
			a ・ b あるいは (a,b) で表す。
			# 記号は色々あるので、一つだけでなく他の表現にもなれること
			## 線型空間の話は、2 年以降で、色々な場面で使うが、記号が異る可能性がある

	定理 (ベクトルの内積の成分表示)			

	二次元
		x = (a,b), y = (a', b')
	の時
		(x,y) = aa' + bb'

	三次元
		x = (a,b,c), y = (a', b',c')
	の時
		(x,y) = aa' + bb' + cc'


	def (直交)
		a と b が直交するときに a \prep b と書く

	定理
		a \prep b <=> (a,b) = 0

	定理(シュラワルツの不等式)
		(a,b) \le |a||b|
		# \cos{} の絶対値は、1 以下なのであたりまえ

	定理(三角不等式)
		|a+b| \le |a| + |b|
		# 三角形の辺の関係から、
	定理
		c(a,b) = (c a, b) = (a, c b)
			# ベクトル a,b の成分が実数の場合。a, b の成分が複素数の時は話がちょっと違う
		(a, b+c) = (a, b) + (a, c)
		(a+b,c) = (a, c) + (b, c)
		(a,b) = (b,a)

	定理(平行四辺形の面積)
		二つのベクトルが作る平行四辺形の面積 S を考える
		ベクトルの交角を \thita とすれば
			S = |a||b|\sin{\thita}
			  = |a||b|\sqrt{1-\cos^2{\thita}}
			  = \sqrt{|a|^2|b|^2-(|a||b|\cos^2{\thita})^2}
			  = \sqrt{|a|^2|b|^2-(|a||b|\cos^2{\thita})^2}
			  = \sqrt{|a|^2|b|^2-(a,b)^2}

		特に、a, b が平面ベクトルで、a=(x_1,y_2), b=(x_2,y_2) と
		成分表示できる場合は
			S=|x_1y_2-x_2y_2|
		となる。
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§平面ベクトルと平面図形

# 以下、話題を平面ベクトルに限定して議論を行う
## 以下の話題は、今週だけで終らず、次ぎの週に続く

	def (平面上の直線のベクトル表示)
		直線 l の方程式
			a x + b y + c = 0
				# a, b, c は実数、x, y は (x,y) が 直線 l 上の点の座標となっていることに注意
		を考える。

		直線 l 上の点 P_1 を考え、その位置ベクトル
			\Vec{OP_1} = \Vec{x_1}
		l 上の P_1 以外の点を P_2
			\Vec{P_1P_2} = \Vec{a}
		l 上の任意の点を P とし、その位置ベクトル
			\Vec{OP} = \Vec{x} 
		すると、
			P が l 上
				<=>
					\Vec{PP_1}=t\Vec{P_1P_2} ( \exist t \in R )
					∴ x - x_1 = t a
					∴ x = x_1 + t a
		この最後の形式を、「直線のベクトル表示」と呼ぶ。
		ベクトル a を、直線 l の「方向ベクトル」と呼ぶ。
			# 方向ベクトルは色々ある (a が l の方向ベクトルならば、a の 0 以外の定数倍は、全て、 l の方向ベクトル) ことに注意

	定理 ( 直線のベクトル表示と成分 )
		p = (x,y), p_1 = (x_1,y_1), p_2 = (x_2,y_2)

		l : p = p_1 + t ( p_2 - p_1 )

		より、
			x-x_1 = t(x_2-x_1)
			y-y_1 = t(y_2-y_1)
		よって、( t を消去して.. )

			\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}

		# 分母が 0 になる場合があるので、注意

			(x-x_1){y_2-y_1) = (y-y_1)(x_2-x_1)

		としてもよい。

	問 1 の イ)
		2 x + 3y = 4
			直線上の異る 2 点をとってくる
				P_1(2,0), P_2(-1,2)
				# 点の取りかたらは、色々ありうることに注意
			これから、答
				(x,y) = (2,0) + t (-3,2)

	問 2 の ロ)
		答 y = -2

	定理 ( 直線の式のもう一つの表し方 : 法線ベクトルを使った直線のベクトル表示 )
		l : ax+by=c とする、これと平行で原点を通る直線の式は
		l_0 : ax+by=0

		a=(a,b), x=(x,y) とすると、
			l_0 = (a,x) = 0
			l = (a,x) = c

		この最後の形も、「直線のベクトル」表示となる
			この a を l の「法線ベクトル」と呼ぶ

	定理 ( 直線と点の距離 )
		# 直線の表現が三つあるので、それぞれの形での距離を求める

		l と、l 上のない点 P との距離
			P から l への垂線を引き、その脚を P' とすると
				l と P の距離 = |PP'|
			となることに注意

		[1] 今、 l = x = x_1 + ta とすれば
			OP = x_0
			OP' = x_0'
		また、l \prep P'P なので、
			(a, x_0-x_0' ) = 0
		P' \in l より
			x_0' = x_1 + t a ( t \in R )
		これらより、
			(a , x_0 - x_1 - t a) = 0
		なので、
			t = \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)}
		よって、
			x_0' = x_1 + \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)} a
		ここで、
			d = |x_0 - x_0'|
			  = | x_0 - x_1 - \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)} a |
			  = \sqrt{ (x_0 - x_1 - \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)} a, x_0 - x_1 - \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)} a) }
			  	# ここで (a,a) = |a|^2 という性質を利用している
			  = ...
			  = \frac{\sqrt{}a|^2|x_0-x_1|^2-(a,x_0-x_1)^2}}{|a|}

		[2] 今、l : (a,x) = c とすると
			x_0 - x_0' = s b ( s \in R )

			P' \in l より ( b, x ) = c

			∴ (b, s_0-sb) = c

			∴ s = \frac{(b,x_0)-c}{(b,b)}

			∴ x_0' = x_0 - \frac{(b,x_0)}{(b,b)}b

			∴ d = | x_0 - x_0' |
			     = \frac{|(b,x_0)-c|}{|b|}

		[3] 今 l : ax+by=c とすると P(x_0,y_0) の公式は
			d = \frac{|a x_0 + b y_0 - c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

		# [3] は、[2] から簡単に出る
		# 状況におうじて、この [1] から [3] の内の一つを利用する

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# 「0 ベクトルは、全てのベクトルと平行」としてもよいが、今度は、「0ベクトルが全てのベクトルに対して、垂直」とするときに困る。

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# ここで、教科書と、ちょっと順番を変更する

平面上の図形 : 円、楕円、放物線、双曲線 ( 一般的な二次曲線 text p.161-162 )

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[連絡事項]

# 履修科目の再度の変更は、来週の木曜日まで ( Network Only )