2005/06/16 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

# 今日は、5 分ほど遅刻した.. (_v_)

行列

	A : (m,n) 型行列
	要素が、a_{ij} で、次のように m, n の長方形の形に並べたもの

		a_11 a_12 .. a_1n
	A =   ( a_21 a_22 .. a_2n )
                ...
                a_m1 a_m2 .. a_mn

	この時に A = (a_ij) と表現する。

	# 以下、特に断らない限り a_ij \in \C として話をする
	## いままでのベクトルは、要素が実数だった。

		縦 横
		(m,n)
		行 列

	def 行列 A, B が等しい
	  	A, B が共に (m,n) 型で、
			A = (a_ij), B = (b_ij)
		としたときに、	
			a_ij = b_ij
		が成立する時

	def 特に (m,1) 型は m 項 列/縦 べくとる
	def 特に (1,n) 型は n 項 行/横 べくとる

	def (行列の和)
		A, B, は共に (m,n) 型の行列の時、同じ (m.n) 型の行列 C が
			A+B=C
		であるとは、
			c_ij = a_ij + b_ij

	def (スカラー倍)
		A に対して cA は、( c a_ij )

	特に (-1)A を -A をかき、A+(-1)B を A-B とかく

	要素が全て 0 の (m,n) 行列 ( 0 ) を
		O_{m,n}
	で表現する。

	[定理]
		A+O=A, A-A=O

	[定理]
		(A+B)+C=A+(B+C)
		A+B=B+A
		c(A+B)=cA+cB
		(c+d)A = cA + dA
		(cd)A = c(dA)
		1A = A, 0A = O

	def (行列の積)
		A : (m,n) 型、 B : (n,l) 型の時、
		行列 AB の積 C は、 (m,n) 型になり、

			c_ik = \Sum_{j=1}^n a_ij b_jk

		を成分とする。

	[注意]
		AB は、存在するとは限らない
		存在しても型が同じとは限らない
		同じ型でも AB が BA と同じになるとは限らない
			# この事は、2, 3 次でも解っていた。一般化しても同様


	[定理]
		A:(k,l), B:(l,m), C:{m:n) の時
			(AB)C=A(BC)
		prof)
			# 行列の比較なので..
			#	型が同じ
			#	個々の対応する要素が同じ
			# の二つを示す必要がある。

		AB が (m,n) 型になるので (AB)C は、定義でき、(k,n) 型になる
		(BC) が、(l,n) 型なので、A(BC) は、定義でき、(k,n) 型になる
		よって、両辺の型は同じ。

		AB の (p,q) 成分は
			\Sum_{q=1}^l a_{pq} b_{qr}
		よって、(AB)C の (p,s) 成分は、
			\Sum_{r=1}^m (AB の (p,r)成分)×(C の (r,s) 成分 )
			= \Sum_{r=1}^m (\Sum_{q=1}^l a_{pq} b_{qr})c_{rs}
			= \Sum_{q=1}^l \Sum_{r=1}^m  a_{pq} b_{qr} c_{rs}
				# 有限個数の和なので、交換しても問題ない
				# 各々の要素は、全て複素数なので、交換しても大丈夫
		となる。
		一方、BC の成分は、
			\Sum_{r=1}^m b_{qr} c_{rs}
		となり、A(BC) の (p,s) 成分は、
			\Sum_{q=1}^l (A の (p,q)成分)×(BC の (q,s) 成分 )
			=\Sum_{q=1}^l a_{pq} \Sum_{r=1}^m b_{qr} c_{rs}
			= \Sum_{q=1}^l \Sum_{r=1}^m  a_{pq} b_{qr} c_{rs}
		よって、成分が等しい。	

		# 行列の計算で \Sum を使うのは、慣れが必要
		# 具体的な行列の掛け算の計算はできるようにしておく !!

	[定理]
		A(B+C) = AB+AC
		(A+B)C = AC+BC
		AO=O, OA=O

	def (単位行列)
		# (n,n) 行列のみ意味がある
		(n,n) 行列で、
			(i,i) が 1
			その他が 0
		な行列を、「単位行列」と呼び E_n (=E=1_n) で表す。

	def (クロネッカーのデルタ記号)
		δ_ij = 1 ( i = j )
		      = 0 ( i \ne j )

	単位行列 E は、クロネッカーのデルタ記号 δ_ij を使って
		E=(δ_ij)
	と表現できる。

	[定理]
		A: (m,n) 型の時
			AE_n = A
			E_mA = A
		# 注意、左からかける場合と右からかけるときでは、単位行列の
		# 大きさが違う時に注意。

		# 特に A :(n:n) であれば、 A E_n = E_n A = A となる !!

		prof)
			# 上だけを証明する

			# 型が同じなのは、明らか。成分を比較すると..

			A E_n の (i,k) 成分は
				\Sum_{j=1}^n a_ij δ_jk
			となる。所が、δ_jk の性質より、
				= a_ik
			これは、A の (i,k) 成分なので、
				A E_n = A


==

	def
		A の 第 j 列
		# 行で表すということもあるのだが、今はまだ、転置行列を学んでいないでの
		# 書き表すのが面倒 => 必要になった時にまた、改めてやる。	

		        a_1j
		a_j = ( a_2j )
			...
			a_mj	

	を、縦ベクトルとみたときに、これを 「Aの j 列ベクトル」と呼ぶ

	この時、
		A = ( a_1, .., a_n )
	とも表現する。

	def 単位行列 E_n の列ベクトルを「n 項単位ベクトル」とよび e_i で表す

		       1
		e_1 =( 0 )
		       .
		       0

		       0
		e_2 =( 1 )
		       .
		       0
	
		..
		       0
		e_n =( 0 )
		       .
		       1

	[定理]
		A : (l,m) 型, B : (m,n) 型の時 
			B = (b_1, .., b_n)
		とすれば、
			AB=(Ab_1, .., Ab_n)
		となる。
			# 行列の積の性質を利用する
		特に、B=E_m として、
			A=(Ae_1, .., Ae_m)

		# 2, 3 次でも同じ記法を使ったが、一般でも利用する。

				   x_1
	[定理] 任意の縦ベクトル x = ( x_2 ) に対して
				   ..
				   x_n

		x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + .. + x_n e_n

	となる。
		# 任意のベクトルは、単位ベクトルの線型和で表現できる !!
		# 証明の時によく利用するので、良く理解しておくこと。今後も良く出てくる

	def)
		一般に、
			ベクトル a_1, .., a_n に対して
				x_1 a_1 + x_2 a_2 + .. + x_n a_n
			を、 「a_1, .., a_n の線型結合」と呼ぶ

	def) A = ( a_ij ) に対して、\Bar{A} = ( \Bar{a_ij} ) を
		A の複素共役行列とよぶ。
			# [注] \Bar{a_ij} は a_ij の共役複素数

	[定理]
		\Bar{\Bar{A}}=A
		\Bar{A+B}=\Bar{A}+\Bar{B}
		\Bar{cA}=\Bar{c}\Bar{A}
		\Bar{AB}=\Bar{A}\Bar{B}
		prof)
			# 最後のだけ
				\Bar{AB} の (i,j) 成分
				=	\Bar{ AB の (i,j) 成分 }
、				=	\Bar{ \Sum_{j=1}^m aij bjk }
、				=	\Sum_{j=1}^m \Bar{aij} \Bar{bjk}
				=	\Bar{A}\Bar{B} の (i,j) 成分


	def) 転置

		行列 A = (a_ij) に対し ^tA = ( a_ji ) を A の転置行列と呼ぶ
			# 普通は、右上に記号を付けることがおおいのだが、転置の記号だけは左につけるので、めずらしい。
			# 転置は、行と列を交換した形になっている。

		A が (m,n) 型ならば、^tA は (n,m) 型

	[定理]
		^t(^tA)=A
		^t\Bar{A}=\Bar{^tA}
		^t(A+B)=^tA+^tB
		^t(cA) = c^tA
		^t(AB) = ^tB^tA		# <= 積だけ反対になること注意 !!

		# 最後のだけ証明 : 間に合わない !!

==

	def) 区分け
		# 具体的な、行列では理解りやすいが、抽象的に行うと面倒

	[例] 
		      1 2 -1 0
		A = ( 2 1  3 2 )
		      1 2  3 4

	を、次のように成分を区切り、

		      1 2 -1 | 0
		A = ( 2 1  3 | 2 )
                      -------+--
		      1 2  3 | 4

	それぞれの区画の領域の要素を持つ行列 A_ij を、それぞれ、次のようにする

		A_11 = ( 1 2 -1 )	A_12 = ( 0 )
		         2 1  3			 2

		A_21 = ( 1 2  3 )	A_22 = ( 4 )

	この時、元の A を A_ij を利用して、次のように表現し、

		A = ( A_11 A_12 )
		      A_21 A_22

	これを、行列 A の「区分け」と呼ぶ

	def) 一般に A=(a_ij) : (l.m) 型とし、
		横に p - 1 本、
		縦に q - 1 本
	の線で、行列を区切、pq 個の区画に分る。
	この時、上から s 番目、左から t 番目の区画を表す行列 A_st とする
		A_st は ( l_s, m_t ) 型
		l_1 + l_2 + .. + l_p = l
		m_1 + m_2 + .. + m_q = m
	となる。

		# これらの A_ij を、A の区分けと呼ぶ。

	[定理] B=(b_ij) を (m,n) 型とする。
		横に q - 1 本、
		縦に r - 1 本
	の区分けをし、A と同様、縦は、m_1, .., m_q に分割する
	横は、自由に n_1, .., n_r に分割する。
	すると、行列 AB の積 C に対して、

		( \Sum_{j=1}^m A_ijB_jk )

	は、C の (p,s) に分割する区分けになっている。

		prof)
			C_su = A_s1 B_1u + A_s2 B_2u + .. + A_sq B_qu
		であることを確かめればよい。
			型は、
				左は (l_s, n_u) 型
				右は (l_s, m_j) × (m_j,n_u) = (l_s, n_u) 型
			なので一致

			値は、を比較すると
				.. 同様に成分同士の比較を行う
				   # ノートが取れないのでパス

# 区分けの話は、具体的にしないと理解しにくいので、次回は、具体的な例を示す。

# 一般的な性質を説明するときには、多数に分割するが、普通は、2 x 2 位に
# 分けて使うことの方が多い。

一学期は、このままずっと、行列の話、できれば、Rank 位までやりたい。