2005/06/30 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

# また、5 分遅れた..

§行列と線型写像

# 実 2 次行列と平面の線型変換には、対応関係があった。これを一般に拡張することを考える

C^n = { n 項列ベクトル } としたとき

[定義]	C^n から C^m への写像 T が線型性を持つとは
		T(x+y) = T(x)+T(y)
		T(cx) = cT(x)
	が成立すること

[定義] A:(m,n) 行列に対して、 T_A(x) を Ax で定義する

	[定理] T_A は 線型写像
		証明 : 略 (定義を満すことをチェック)

[定理] \forall T : C^n -> C^m に対して \exist A : (m,n) 行列, st. T = T_A
	prof)	
		e_1, .., e_n を n 項列単にベクトルとする
		a_i = Te_i とし、A = (a_i) とする。
			すると
				T(e_i) = a_i = Ae_i
		ここで、任意の n 項列ベクトル x = (x_i) を考えると、
			x = \sum_{i=1}^n x_i e_i
				# この形は、今後も良く利用する !
		すると
			T_A(x)	= T_A(\sum_{i=1}^n x_i e_i)
				= \sum_{i=1}^n x_i T_A(e_i)
				= \sum_{i=1}^n x_i T(e_i)
				= T(\sum_{i=1}^n x_i e_i)
				= T(x)
		よって任意の x に対して
			T_A(x) = T(x)
		より、
			T_A = T

[注意]
	{ (m,n) 型の行列 } <--(one-to-one)--> { C^n -> C^m : 線型写像 }
		\in			      		\in
		A	<--------------------------->   T_A

[定理]
	T : C^n -> C^m <-> A (m,n) 型
	S : C^m -> C^l <-> B (n,l) 型
の時
	S・T : C^n -> C^l の線型写像 <-> BA : (l,m) 型と対応する

	prof)
		# 証明すべき内容は
		#	S・T が線型写像であること
		#	S・T に対応する行列が BA であること
		# の二点あるが、それを同時に示す。

		T=T_A, S=T_B である。
		T_B・T_A = T_{BA} を示す

		T_B・T_A(x) = T_B(T_A(x))
			    = T_B(Ax)
			    = B(Ax)
			    = (BA)x
			    = T_{BA}

	# [注意] 二つの線型写像の合成は、行列の積に対応する
	# 	実は、これが成立するように、BA を定義した !!

[定義] 特に m = n の時に
	{ n 次行列 } <-(1-to-1)-> { C^n の変換 }
		# A から A の写像を A の変換と呼ぶ

[定理]
	A が正則の時 T_{A^{-1}} = T_A^{-1}
	prof)
		T_A^{-1}・T_A = T_A・T_{A^{-1}} = T_E = I : 恒等変換

[定理]
	T_A が逆変換をもつならば、A は正則
	prof)	# T_A の逆変換が、線型写像であることが分かれば、後は簡単

		T_A^{-1} = S とする
		x, y \in C^n に対して
			x' = Sx
			y' = Sy
		とすると、
			T(x') = T_A(S(x))=x
			T(y') = T_A(S(y))=y
		となる。
		この状態で、
			S(x+y) = S(T(x')+T(y'))
			       = S(T(x'+y'))
			       = x' + y'
			S(cx)  = S(cT(x'))
			       = S(T(cx'))
			       = cx'
		つまり、S は線型写像。

		よって、
			S = T_B
		となる行列 B があり、
			T_B・T_A = T_A・T_B = I
			  ||        ||       ||
			  T_{BA}   T_{AB}    T_E
		となる。
		つまり、B = A^{-1} であり、A は正則。

# これまでの議論は、複素数の世界で議論したが、実数の世界でもまったく同じく成立する

	R^n = { n 項実列ベクトル }
	{ (m,n) 型実行列 } <--(1-to-1)--> { R^n -> R^m : 線型写像 }
	{ n 次実行列 } <--(1-to-1)--> { R^n の線型変換 }
	n = 2, 3 の時に V^2, V^3 に対応
		# ここらへんは、1 章でやった。

# 線型写像の話は、来年 ( Text では 4 章 ) で沢山やるが、今年は、あまりしない

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§ 基本変形

# 基本変形で、rank を計算したり、逆行列を求めたり、連立方程式を解くことができる
#	非常に重要なので、きっちりと身に付けること !!

# 基本変形は、まず、三つの基本行列を理解することから始まる。

[定義] ( 3 種類の基本行列 )
	P_n(i,j)	( i \ne j )
	Q_n(i;c)	( c \ne 0 )
	R_n(i,j;c)	( i \ne j )

	P_n(i,j) の定義 ( 間に合わないので、Text p.46, 47 参照 !! )

	[定理]
		P_n(i,j) P_n(i,j) = E
			prof)
				( 0 1 )( 0 1 ) = ( 1 0 )
				  1 0    1 0       0 1
			よって、正則。

		# P 型の逆行列は P 型

	Q_n(i;c) の定義 ( 間に合わないので、Text p.46, 47 参照 !! )

	[定理]
		Q_n(i;c) Q_n(i,c^{-1}) = E
			よって、正則。

		# Q_n 型の逆行列は Q_n 型

	R_n(i;c) の定義 ( 間に合わないので、Text p.46, 47 参照 !! )

	[定理]
		R_n(i,j;c) R_n(i,j,-c) = E
		prof)
			(1 c)(1 -c) = (1 0)
			 0 1  0  1     0 1
			よって、正則。

		# R_n 型の逆行列は R_n 型

# 基本行列を、左、あるいは右からかけるという行為が、「基本操作」

[定義] 基本変形 ( 6 種類 = 左右(2) x 三つの基本行列(3) )

	(左1) # P_n(i,j) を左からかける
		第 i 行と第 j 行を入れ替える

	(左2) # Q_n(i;c) を左からかける
		第 i 行を c 倍する

	(左3) # R_n(i,j;c) を左からかける
		第 i 行に第 j 行を c 倍した結果を加える

	(右1) # P_n(i,j) を右からかける
		第 j 列と第 i 列を入れ替える

	(右2) # Q_n(i;c) を右からかける
		第 i 列を c 倍する

	(右3) # R_n(i,j;c) を右からかける
		第 j 列に第 i 列を c 倍した結果を加える

# 左と右では、列と行、i と j が入れ替わるだけ

	# 「操作」と「基本行列の掛け算」が『対応している』ということが重要 !!

	[定理] A に基本変形を何度か適用した結果が B だとすると、
		B から基本変形を繰り返すと A に戻るということを意味する
		prof)
			A が基本操作で B に移るということは、
				B = PAQ
					P, Q は基本行列の組み合わせ
			とかけるること意味する。ところが、基本行列自身や
			その積は、正則なので、P{-1}, Q{-1} が存在し
				A = P^{-1}BQ^{-1}
			となることを意味する。
			基本行列(の積)の逆行列も基本行列(の積)なので、これは、基本操作で B から A が作れることを意味する。

	# 以下、基本変形がよく出てくるが、良く間違える例として、
	#	A を基本変形した結果を B とするときに
	#		A = B
	#	と書く人がいるが、これは「間違い」
	#		A → B
	#	と書こう

[定義] A=(a_ij) に対して、
	『(p,q)をかなめとして、左から第 q 列を掃き出す』
	という操作は次のように定義される。

		1) 第 p 行を a_{pq} でわる
			# 左から Q_n(q,\frac{1}{a_{pq}}) をかける

		2) 第 i 行を 第 p 行の -a_{iq} 倍を加える
			# 左から R_n(i,p;-a_{iq}) をかける
				\forall i \ne p

	# この結果、q 列目は、e_p に等しくなる。

[定義] 同様にして、
	『(p,q)をかなめとして、上から第 p 行を掃き出す』
	も定義される ( 基本行列は、右からかける )

[定理] A : n 次行列
	\exist X, s.t. XA=E ならば、A は正則
		# 定義は、 XA=AX=E となる X の存在
		#	実は、一方だけで Okey という話
	prof)
		n に関する帰納法による
		n=1)
			XA=(x_11)(a_11)=E=(1)
		よって、
			x_11 a_11 = 1
		よって、
			a_11 \ne 0 かつ x_11 = a_11^{-1}
		よって、
			AX=(a_11)(a_11^{-1})=(1)=E

		n=k+1) ( n = k の時は成立するとする )
		A \ne O なので、0 でない成分がある
		そこで、行と列の入れ換えを使って、1,1 成分が 0 でないようにする。
		更に、第 1 行と第 1 列を共に掃き出した行列を B とする。
			A -> B
		これまでの操作は、基本変形なので、ある基本行列の積 P, Q があり、
			B = PAQ
		とかけることがわかる。
		つまり、
			A = P^{-1}BQ^{-1}
		一方 B は
			1 0 .. 0
		   B=(  0	 )
			.   A_1
			0
		の形である。
		ここで、Q^{-1}XP^{-1} を考えると

		Q^{-1}XP^{-1} = ( u | {}^tZ )
			          --+-------
				  y |  X_1

		となる。

		Q^{-1}XP^{-1} B = Q^{-1}XP^{-1}PAQ
			        = E

		なので、B は逆行列をもち、それはQ^{-1}XP^{-1}
		ところが、Q^{-1}XP^{-1} B を計算すると

		Q^{-1}XP^{-1} B = （ u | {}^tz A_1 )
			            ---+-----------
				     y | X_1A_1

		となる。これが、E_{k+1} に等しいので、
			X_1 A_1 = E_k
		である。

		ここで、帰納法の仮定より、
			A_1 は正則
		したがって、
			B = ( 1 | 0 .. 0 )
			     ---+-------
			      0	|
			      ..|  A_1
			      0	|
		も正則
			A = P^{-1}BQ^{-1}
		なので、
			A も正則

==

# 時間があるので、ちょっと別の話
#	定理 2.7 の <= は証明したが => は後回しだった。これを残りの時間にやる

	対称区分け A = ( A_1 |			)
		       -----+-----+-
			    | A_2 |
		       -----+-----+---
				  | A_3
			              ...
				      	A_n
	で、
		A 正則 <-> \forall j [ j A_j 正則 ]

	prof) (=>)
		A^{-1} = ( X_{pq} )	# 同様な区分け
	とすると、
		E = AA^{-1} = ( A_i X_{ij} )
	なので、成分同士を比較して
		A_j X_{jj} = E
	より、同様に、A^{-1}A
		X_{jj} A_j = E
	よって、
		A_j は正則

	# 反対は、rank を使うと簡単だったのだが、別に対称区分けをつかっても Okey

==

# ちょっと、お話

	rank の計算はできるようしておいた方が良いな..
	三次の行列式は計算できるようにしておいた方が良いな..

	# とりあえずは、ここまで..