2005/07/14 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

# 講議を進めてても、どうせ中途半端なので、今日は演習問題を解く

P.71 問 6

A : n 次 ( k \in N ) の時
	イ) A^k = E => A: 正則
		∵ k = 1 なら、A=E より、A は正則
		   k>1 のときは、 A^k = A^{k-1}A = AA^{k-1} = E
			つまり、A^{k-1} = A^{-1} となるので、正則
	ロ) A^2 = A かつ、 A \ne E => A は正則でない。
		# 背理法で示す
		A が正則だと仮定する、すると A^{-1} が存在するので、
			A^2 = A
		の両側に A^{-1} をかけると
			A^2A^{-1} = AA^{-1}
		より
			A = E
		ところが、これは、条件に反するので、仮定が誤り
		よって、A は正則でない。

	ハ) A^k = O => A は正則でない
		# A^k = O となる A を「羃零行列」と呼ぶ
		∵ k=1 なら、A = O より、正則でない
		   k>1 の時、A が正則と仮定すると、両辺に逆行列 A^{-1} をかけると
			A = O
			よって矛盾
	ニ) A : 羃零 => A \pm E : 正則
		∵ A^k = O
			k=1 の時
				E \pm A =  E \pm O = E
				なので、正則
		  	k>1 の時
				(E-A)(E+A+A^2+..+A^{k-1}) = E - A^k = E
				よって、E-A は、正則
			上の A に -A を代入して、
				(E+A)(E-A+A^2+..+(-1)^{k-1}A^{-1}) = E -(-1)^kA^k = E
				よって、E+A は、正則

		# この最後の ニ) の性質は、証明などで時々使う

	P.71 問 7
		XY-YX=E となる n 次行列 XY は存在しない
		∵)
			Tr(XY-YX) = Tr(XY)-Tr(YX)
			          = Tr(XY)-Tr(XY)
				  = 0
			一方、
				Tr(E) = n
			なので、
				Tr(XY-YX) \ne Tr(E)
			なので、
				XY-YX \ne E
		# XY-YX は O になることは、あるが、E になることはない

	P.71 問 8
		A:(l,m) 型, B:(m:n) の時
			rank AB \le rank A
			rank AB \le rank B

			# やり方は同じなので、一方だけを示す。
		∵ rank B = r とすると、
			\exist P, Q : 正則
				s.t. PBQ = F_{m,n}(r)
			∴ B=P^{-1}F(r)Q^{-1}
			∴ ABQ=AP^{-1}F(r)
				# ここで区分けをおこなうと、

			   r     m-r	  r     n-r
			( A_11 | A_12 ) ( E_r | O )  r
		          -----+------    ----+----
			  A_21 | A_22     O   | O    m-r

			     r
			= ( A_11 | O ) r
			    -----+---     -----> F_{l,n}{s}
			    A_21 | O

			こうだとすると、実は、同じ行列をかけることにより

			     r
			= ( A_11 ) r
			    ----          -----> F_{l,r}{s}
			    A_21

			とできるので、これより、

				s \le r = rank B	# s は、l, r より小さい
				||
				rank ABQ
				||
				rank AB		# Q は正則なので、rank は変らない

	P.30 問 4
		T : を原点の囘りの角θの回転とする。
		S_1, S_2 : (原点を通り X 軸とのなす角度をαとなる直線) l_1 と
			(l_1 と X 軸に対して線対称な直線) l_2 に対する線対称
		T, S_1, S_2 に関する行列を A, B_1, B_2 とする。

		A = ( \cos(θ)  -\sin(θ) )
		      \sin(θ)   \cos(θ) 

		B_1 = ( \cos(2α)   \cos( 2α-π/2 ) )
			\sin(2α)   \sin( 2α-π/2 )
		    = (  \cos(2α)   \sin(2α) )
			 \sin(2α)  -\cos(2α)

		# これが、線対称の公式

		B_2 = (  \cos(2α)  -\sin(2α) )	# B_1 で、αに-αを代入
			-\sin(2α)  -\cos(2α)

		これより、S_1 と S_2 の合成に対応する行列は、
			B_1 B_2 = (  \cos(4α)   \sin(4α) )
		 		     \sin(4α)  -\cos(4α)
		となるので、4α=θとすれば、
			A = B_1 B_2
		すなわち、T は S_1 と S_2 の合成によって、作られる

	p.30 問 5
		平面 π : (a,x)=0
			# これは、x に 0 を入れても成立するので、原点を通る平面
			# a は、πに垂直なベクトル
		に関する対象変換 T は線型
		∵)πは原点を通るので、今、S を πへの射影子とすると、
			Tx + x = 2 Sx
		となる。
		よって、
			Tx = 2 Sx - x
		ここで、
			S は、線型なので、2 倍も線型
			-x も線型
		なので、
			T も線型変換
		更に、
				 (a,x)
			Sx = x - ----- a
				 (a,a)
		より、
				   (a,x)
			Tx = x - 2 ----- a
				   (a,a)

			# この最終形をみても、線型性が解る

	P.30 問 8
		a, b, c \in V
			      (a,a)  (a,b)  (a,c)
			B = ( (b,a)  (b,b)  (b,c) )
			      (c,a)  (c,b)  (c,c)

			A = ( a, b, c )
		の時
			|B| = |A|^2
		である。


			     ta
		∵) tAA =  ( tb ) ( a b c ) = B
			     tc
		よって、
			|B| = |tAA| = |tA||A| = |A||A| = |A|^2

==

大問は、6 位あった

	多項式		最大公約数	(ユークリッドの互除法)
	複素数		計算二題		掛け算、足し算、共役、オイラー
	第1章				内積, 外積 (他)
	第1章		行列式二題	三次の行列の計算
	第2章		階数二題		階数の計算
	第2章				基本変形他

	# ほとんど、計算、計算問題ができるように !!

	[採点基準]
		原則として答しかみない
			# 途中で計算が間違っていても、最終的な答があっていればよい
			# cf. rank の計算では、基本行列はかかなくてもよい

	講議が 70 点で、これに演習の 30 点数がつく

	# 前期は、点数が取れる人が多いが、後期は点数が取れない
	#	=> 前期で稼いでおこう !!