2005/09/29 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

[前回までの内容]

基本行列 P, Q, R

基本変形 P, Q, R を右と左からかけるという作業が、基本変形

基本変形の応用
	Rank 計算	: 前期試験でやった
	逆行列の計算	: 後期試験でやる予定
	三つめの応用	: 一次方程式の解法

==

§5 一次方程式の解法

未知数 n 個 ： x_1,..,x_n
式 m 個 の一次方程式系 (1)

	a_11 x_1 + a_12 x_2 + .. + a_1n x_n = c_1
	a_21 x_1 + a_22 x_2 + .. + a_2n x_n = c_2
		...
	a_m1 x_1 + a_m2 x_2 + .. + a_mn x_n = c_m

を考える。

これに対して、

		a_11 a_12 .. a_1n
	A = (	a_21 a_22 .. a_2n )
			...
		a_m1 a_m2 .. a_mn

	      c_1
	c = ( c_2 )
	      ...
	      c_m


	\~A = (A|c)


	      x_1
	x = ( x_2 )
	      ...
	      x_n

	        x_1
	\~x = ( x_2 )
	        ...
	        x_n
	        -1

と置く。すると、元の連立方程式は、次のように表現できる。

	A x = c			(1')
	\~A \~x = 0		(1")

これに対して、P : m 次元正則行列とすると、

	P \~A \~x = o

となる。つまり、正則行列をかけても、式の意味は変えない。
	# 基本変形を利用して、P \~A の形をできるだけ簡単にできると嬉しい。



[定理] (1') と (1") は同値
		正則行列は左からしかかけられない ( Ax の形なので PAx はできるが APx とはできない .. )
			=> 行の基本変形しか使えない

		# 変数の変換をすれば、列の変換に相当する形にできる
			=> 答のと変数の対応が入れ替わるので、最後に答を出す時にまちがえないように..


prof)
	# 2 step で証明を行う
	#	rank A = r を示す
	#	\~A -> \~B とできることを示す。

	[5.1]
		B = ( 1 0 .. 0 b_{1r+1} .. b_n d_1 )
		      0 1 .. 0 b_{1r+1} .. b_n d_1 )
	の時
		r = rank B

		\~A -> \~B なら A -> B なので、
		    \~B = (B|d)
		と置くと、
			rank A = rank B = rank F_m,n(r)=r

	[\~A -> \~B とできること]
		A = 0 の時は Okey
		A \ne 0 の時
			# 本当は、帰納法を使うほうが厳密だが、実際の計算に合せて証明する

	行、列の変換によって、
	(1,1) 成分 \ne 0 とできる
	(1,1) を要に一列を掃き出せば

	1 | ...
	0 | A_1

	A_1 = O なら、Okey、そうでなければ、(2,2) で..以下同様に行う
	できなくなったら、\~B になっている

	# 連立方程式を解くときも、この手順で行う。

==

	変換を繰り返してできた最終結果の式

		\~B x = o		(2')

	が表す、連立方程式は、次のようになる。

	x_1            b_{1r+1} x_{r+1} + .. + b_{1n} x_n = d_1
	  ..
	    x_r        b_{rr+1} x_{r+1} + .. + b_{rn} x_n = d_r
						        0 = d_{r+1}
							 ...
						        0 = d_{m}

	# この方程式の意味は、次のようになる。

	d_{r_1} - d_{m} で 0 でないものがあれば、解なし
	そうでなければ、パラメータ変数 \alpha_{r} 〜 \alpha_{N} を用いて

		x_{r+1} = \alpha_{r}
			..
		x_{N} = \alpha_{N}

	# [注意] N = max(n,m)

	とおいて、

		x_1 = d_1 - b_{1r+1} \alpha_{r} - .. - b_{1m} \alpha_{n}
		x_2 = d_2 - b_{2r+1} \alpha_{r} - .. - b_{2m} \alpha_{n}
			...
		x_r = d_r - b_{rr+1} \alpha_{r} - .. - b_{rm} \alpha_{n}
		x_{r+1} = \alpha_{r_1}
			..
		x_{N} = \alpha_{N}

	が答。

	ベクトル表示すれば

			       - b_{1r+1}	                - b_{1n}
	x = d + \alpha_{r+1} ( - b_{2r+1} ) + .. + \alpha_{n} ( - b_{2n} )
		                 ...				  ...
			       - b_{rr+1}		        - b_{rn}
			          0				   0
			         ...				  ...
			          0				   0

	となる。

	[注意] 列の入れ換えた時には、変数も入れ替える必要がある。

	[5.2] 上記の結果をまとめたもの。

	[例]

		      3 x_2 + 3 x_3 - 2 x_4 = -4
		x_1 +   x_2 + 2 x_3 + 3 x_4 =  2
		x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 + 2 x_4 =  1
		x_1 + 3 x_2 + 4 x_3 + 2 x_4 = -1

	# 途中、列の入れ換えが入るので、その時に変数の順番を変える


		  x_1        7               -1
		( x_2 ) = ( -2 ) = \alpha (  -1 )
		  x_3        0                1
		  x_4        1                0

	# このように形式的に行えば、計算機にも乗りやすい

	[系 5.3] (1) が解を持つ <=> rank A = rank \~A

	prof)
		\~B を考えると、d_r+1 .. d_m が 0 なら、既に標準形式であり
			rank \~B = r
		となる。
		一方、 d_i に 0 でないものがあれば、その要素を r,r 成分に移動して
		掃き出せば、標準形式になり、
			rank \~B = r +1
		になる。

		すなわち、
			(1) が解を持つ <=> d_i = 0
				      <=> rank \~B = r
				      <=> rank \~A = r
				      <=> rank \~A = rank A

		# 連立方程式が解を持つかどうかは、rank だけで判断できる

	[系 5.4]
		m = n で A が正則なら (1) は丁度 1 つの解を持つ

	prof) A が正則なので rank A = n よって、
		\~B = (E|d)
	よって、
		x = d
	となって ( パラメータ変数は現れず.. ) 解は一意

	[別証明]
		A x = c なので、x = A^{-1}c よって、一意

[注意] 大学の連立方程式の場合
	1) 解がない場合がある
	2) 解が不定の場合がある
		その場合は「不定」で済まさず、きちんと「パラメータ形式」で答える

==

[配り物] 成績表

前期の場合	S A,B,C,D,E
後期も場合	点数がかいてある
英語(遠藤先生)	点数がついていない	

	受け取れなかったものは、教務課へ !!