2005/10/06 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

連立方程式

	Ax = c		(4)

で、c = 0 の時に、これを「斉次一次方程式」と呼ぶ。

[定理] (4) は自明な解 x = 0 を持つ


[定理] x_1, x_2,..,x_k が (4) の解なら、その線型和も解
(prof) 略					## 間に合わなかった

[5.5] (4) において、rank A = r ならば、(4) は n-r 個の特別な自明でない解
x_{r+1},..,x_{n} をもち、任意の解は、これらの線型結合として表すことができる。
また、x_{r+1},..,x_{n} は、どの一つも他の n-r-1 個のベクトルの線型和として
表すことができない。

# 最後の部分は、本当は、「線型独立」を意味するが、一般の n 次元での定義がされていないので、このような表現になっている。

[証明] (3') より

	  x_1	    d_1		       -b_1r+1
	( x_2 ) = ( d_2 ) + \alpha_1 ( -b_2r_1  )
	  ..        ..			 ..
	  x_n       d_r
		    0

	  ||	    ||			||
	  x	    0		        x_{r+1}


	(略)


系 [5.6] n>m なら、(4) は少くても、一つの自明でない解を得る
	prof)
		rank A = r <= min(m,n) = m < n なので、n-r>=1
		[5.5] より、n-r 個の自明な解を持つ

# 定理 5.5 では、 n-r が 0 の可能性もあったが、5.6 では、n-r>0 なので、自明でない解がある。

[5.7] m=n とする。
	(4) が自明でない解を持つ <=> A は正則でない
	prof) # 対偶同士の同値を示す
		(4) が自明でない解をもたない <=>
			n = r = rank A <=>
			A が正則

[5.8] A が正則 <=> 「x\ne0 => Ax \ne 0」 ( (4) は自明な解を持たない )
      prof) [5.7] より
		# この定理は、線型空間の所でよく使う

==

# 斉次でないものと斉次なものの関係を考える

	Ax=c (1')

に対して

	Ax=0 (4)

を(1') に対する、斉次方程式と言う。

[5.9] (1') の一つの解を x_0 を固定すると、(1') の任意の解は、 x_0 に(4) の解を加える
ことによって、得られる。

	{x|Ax = c} = {x| x=x_0+y, Ay=0}

	prof)
		(=>)
		y を (4) の解とすると、
			A(x_0+y) = Ax_0 + Ay = c + 0 = c
		(<=)
		x を (1') の解とすると、
			y=x-x_0
		とすれば、
			Ay = Ax - Ax_0 = c-c = 0
		よって、
			y は(4) の解
		で、
			x = x_0 + y
		となる。

	# n = 3 つまり、空間の場合を考えてみる。
	(1') 解は、
		r-3 = 1 の時

		x = p_0 + \alpha v

		# 点 p_0 を通って、適当な距離だけ、v の方向に進んだもの
		#	空間上の直線

		r-3 = 2 の時

		x = p_0 + \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2
		# 点 p_0 を通って、適当な距離だけ、v_1, v_2 の方向
		#	空間上の平面

	とくに、(4) は、p_0 が 0 すなわち、原点なので、それぞれ
		上と並行で原点を通る直線
		上と並行で原点を通る平面
	に対応する。

==

問 イ)
	解なし

	# \~A から \~B への変形ができること
	# \~B から解が作れること
	#	解が不定の場合でも、答が必要
	#	途中で、列の交換があった場合も正確に答えられること


==

§6 内積とユニタリ行列・直交行列

def [内積]
	x, y : n 項目列ベクトル (n,1) 行列
とする。すると、
	{}^tx : n 項目行ベクトル (1,n) 行列
となる。この時
	{}^tx\bar{y} : (1,1) 行列
		=> これを単なる複素数と同一視する
この値を、x と y の「内積」と呼び
	(x,y)
で表現する。

# これを、こんどは、成分表示でやってみる。

	      x_1          y_1
	x = ( x_2 ), y = ( y_2 )
	      ...	   ...
	      x_n	   y_n

の時、
	(x,y) = \sum_{i=1}^n x_i \bar{y_i}	(1)
となる。

特に、x,y が実ベクトルならば、
	(x,y) = \sum_{i=1}^n x_i y_i
		# 実数では、\bar を付けてもいみがないので..

更に、
	n=2 の時 => 平面ベクトルの内積
	n=3 の時 => 空間ベクトルの内積
となるので、一般化になっている


[6.1]
	(x_1+x_2,y) = 	(x_1,y) + (x_2,y)
	(x,y_1+y_2) = 	(x,y_1) + (x,y_2)
		# これは、定義が、行列の掛け算なので、当然成立する
	(cx,y) = c(x,y)
	(x,cy) = \bar{c}(x,y)
		# この \bar を忘れることが多い
	(x,y) = \bar{(y,x)}
		# この \bar を忘れることが多い
	## ここまでの 5 つを、「共役線型性」と呼ぶ
	(x,x) >= 0
	(x,x)=0 <-> x = 0
	## この 2 つを「正値性]と呼ぶ
		prof)
			(x,x) = x_1\bar{x_1}+x_2\bar{x_2}+..+x_n\bar{x_n}
			      = |x_1|^2 + .. + |x_n|^2
			      >= 0 ( 0 の時は、x_1 = .. = x_n = 0 なので x=0 )

	||x|| = |x| = \sqrt{(x,x)} を x の「長さ」あるいは「ノルム」と呼ぶ

[6.2]
	イ) |(x,y)| <= |x| |y|
		(シュワルツの不等式)

	ロ) |x+y| <= |x| |y|
		(三角不等式)
		# 三角形を作ったときに、一つの辺の長さは、他の辺の長さの和より小さい

	prof)
	イ)
		y = 0 の時
			両辺が共に 0 なので、式は成立
		y \ne 0 の時
			任意の複素数 a, b に対して
				0 \le |ax+by|^2
			となる。これより、
				a\bar{a}(x,x)+a\bar{b}(x,y)+\bar{a{b}(y,x)+b\bar{b}(y,y)
			=	|a|^2|x|^2+a\bar{b}(x,y)+\bar{a{b}(y,x)+|b|^2|y|
			これは任意の a, b で成立するので、
				a=|y|^2, b=-(x,y)
			を代入すると、
				0 \le |y|^4|x|^2-|y|^2|(x,y)-|y|^2|(x,y)|^2-|y|^2|(x,y)|^2
				   =  |y|^4|x|^2-|y|^2|(x,y)|^2
			よって、
				   |y|^4|x|^2 \ge |y|^2|(x,y)|^2
			ここで、|y| \ne 0 より |y| > 0 なので、両辺を |y|^2 でわると、
				   |y|^2|x|^2 \le|(x,y)|^2
			|x||y|, |(x,y)| は共に正なので、両辺の平方根をとれば、
				   |y||x| \le |(x,y)|

	ロ)
		|x+y|^2 = |x|^2 + (x,y)+\bar{(x,y)}+|y|^2
			\le |x|^2 +2|(x,y)|+|y|^2... (☆)
				# (☆)の所は、「複素数の性質」を利用している
				# これは次ぎに示す。
			\le |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2	(これは イ から)
				= (|x|+|y|)^2
		よって、
			|x+y| \le |x| + |y|

		(☆) の証明
			z \in C => z + \bar{z} \le 2|z|
			prof)
				z = x + iy, x, y \in R
			とすると、
				2 |z| = 2 \sqrt{x^2+y^2} \ge \sqrt{x^2|
				\ge 2x = (x+iy)+(x-iy) = z + \bar{z}

def [直交]
	(x,y) = 0 の時、x,y は直交すると呼ぶ。
		# 角度が定義されていないのだが..それでも、「直交する」と呼ぶ


問 1.
	|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2+|y|^2)
	prof)
		# 左辺を、定義通り計算するだけで右辺になる

問 2.
	(x,y) = 0 => |x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2
	# これは、図形的には、ピタゴラスの定理と同じ
	#	逆は、実ベクトルでは成立するが、複素ベクトルの場合は成立しない場合がある
	prof)
		左辺 - 右辺 = (x,y) + \bar{(x,y)}
			   = 2 Re (x,y)
			ここで、(x,y) = 0 なら Re (x,y) = 0 なので、
			   = 0
	# 次は逆
		もし、x,y が実ベクトルならば、
			Re (x,y) = (x,y)
		なので、
			|x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2
		の時、
			Re (x,y) = 0
		よって、
			(x,y) = 0
		すなわち、直交

	# 複素数の場合は逆が成立しない反例を作ることができる

	[反例]
		x = ( 1 ), y = ( i )
		      0		 0
	とすると、
		(x,y) = -i
		|x| = 1
		|y| = 1
		|x+y| = \sqrt{2}
	なので、
		|x|^2 + |y|^2 = |x+y|^2
	ところが、
		|(x,y)| \ne 0
	なので、逆が成立しない。

		# 内積の計算ができるように !!
		#	後期の問題が解けない !!

==

後期の履修登録をすること
来週の木曜に配布するので受け取ること !!