2005/10/13 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)


C^n = n 項ベクトル
R^n = n 項ベクトル

A : m,n 型

[6.3]
	(Ax,y) = (x,{}^t\bar{A}y)
逆に
	(Ax,y) = (x,By)	
		=> B = {}^t\bar{A}

proof)
[前半]
	(Ax,y)	= {}^t(Ax)\bar{y}
	      	= {}^tx {}^tA\bar{y}
	      	= {}^tx {}^t\bar{\bar{A}\bar{y}
	      	= {}^tx {}^t\bar{\bar{Ay}}
		= (x,{}^t\bar{A}y)
[後半]
	0	= (Ax,y)-(x,By)
		= (x,{}^t\bar{A}y)-(x,By)
		= (x,({}^t\bar{A}y-B)y)
	ここで、x = ({}^t\bar{A}y-B)y とすると、
		= ({}^t\bar{A}y-B)y),({}^t\bar{A}y-B)y)
	より、
		({}^t\bar{A}y-B)y = 0
	よって、
		{}^t\bar{A}y-B = O
	よって、	
		{}^t\bar{A}y = B 

[注意]
	A = O	<-> Ax = 0
		<-> (Ax,y) = 0


[def] {}^t\bar{A} を A の随伴行列(アジョイント行列)と呼び、A^* (エースター)で表す

[Th]
	(A^*)^* = A
	(A+B)^*=A^*+B^*
	(AB)^* = B^*A^*

[def]	A が正方行列 = (a_ij) の時
	A = A^* の時、「エルミート行列」と言う
		( <=> a_ij = \bar{a_ji} )
	更に、A が実行列の時には、「実対称行列」と言う
		( <=> a_ij = a_ji \in R )
	A*A = E の時「ユニタリ行列」と言う
	更に、A が実行列の時には、「直交行列」と言う

[Th.]
	A : ユニタリ
		=> A は正則
	proof) A^{-1} = A^*

[Th.]
	A,B : ユニタリ => AB : ユニタリ
	proof) (AB)^*(AB)	=	(B^*A^*)(AB)
				=	B^*(A^*A)B
				=	B^*EB
				=	B^*B
				=	E

[Th.]
	A : ユニタリ => A^{-1} : ユニタリ
	proof)
		(A^{-1})^*(A^{-1}) = (A^*)^*(A^{-1})
				   = AA^{-1}
				   = E

# これより、ユニタリ全体は、群になるが、ここでは、群を学んでいないので、
# 詳しくは述べない。ここらへんは二年生で学ぶ。

[6.4] A : n 次正方行列の時、次の四つは同値
	イ) A はユニタリ
	ロ) |Ax| = |x|
	ハ) (Ax,Ay)=(x,y)
	ニ) A = (a_1,..,a_n) としたとき、(a_i,a_j) = \delta_{i,j}
proof)
	[方針] ロ) => ハ) => イ) => ロ)
				<=> ニ)
	[イ=>ロ]
		|Ax|^2	=	(Ax,Ax)
			=	(x,A^*Ax)
			=	(x,x)
			=	|x|^2
	[ロ=>ハ]
		|x+y|^2 = |x|^2 + (x,y) + \bar{(x,y)} + |y|^2
		|Ax+Ay|^2 = |Ax|^2 + (Ax,Ay) + \bar{(Ax,Ay)} + |Ay|^2
		ここでロより
		(x,y) + \bar{(x,y)} = (Ax,Ay) + \bar{(Ax,Ay)}
		これに x の所に i x を代入すると、
		i((x,y) - \bar{(x,y)}) = i{(Ax,Ay) - \bar{(Ax,Ay)})
		この二つより、
			(x,y) = (Ax,Ay)
		となる。

	[ハ=>ロ]
		o	= (Ax,Ay) - (x,y)
			= (x,A^*Ay) - (x,y)
			= (x,(A^*A-E)y)
		よって、
			A^*A - E = 0
			A^*A = E

	[イ<=>ニ]
		{}^tA\bar{A} = ( {}^ta_1 )(\bar{a_1} \bar{a_2} .. \bar{a_n})
			     	 {}^ta_2
				 ....
			     	 {}^ta_n

	     = ( ({}^ta_1 \bar{a_1} ) ({}^ta_1 \bar{a_2}) .. ({}^ta_1 \bar{a_n} )
	       ( ({}^ta_2 \bar{a_1} ) ({}^ta_2 \bar{a_2}) .. ({}^ta_2 \bar{a_n} )
				...
	       ( ({}^ta_n \bar{a_1} ) ({}^ta_n \bar{a_2}) .. ({}^ta_n \bar{a_n} )

		# ここまでは、常に成立

		E とこの積を比較することにより、
			{}^tA\bar{A} = E <=> (a_i,a_j) = \delta_{i,j}
		が解る。	

[Col 6.4]
	A が実の時も同様 ( 証明もにたようなもの [ロ=>ハ] の後半がいらない )

[例]
	A = (  \cos{\theta} -\sin{\thita} )
	       \sin{\theta}  \cos{\thita}

	は、二次直交行列

	proof)
		A^* = (  \cos{\theta}  \sin{\thita} )
	 	        -\sin{\theta}  \cos{\thita}
		    = (  \cos{-\theta} -\sin{-\thita} )
	 	         \sin{-\theta}  \cos{-\thita}
		なので、
			A^*A = E

		# これはイを使っているが、ロやハでも証明できる

==

def 合同変換
	空間または、平面の点の変換で、二点間の距離を変えないものを空間
	または平面の合同変換と呼ぶ

	すなわち、

		T : P -> P'	=>	|PQ| = |P'Q'|
		    Q -> Q'

	ということ。

	# 空間と平面は並行して説明できるが、空間の内容を平面に制限すれ
	# ば成立するので、以下では、主に空間だけで行う。


空間に一つの直交座標系を固定する。すると、空間の点の変換を V^3 の変換と同一視できる。

合同変換は、線型変換とは限らない、
	なぜなら、平行移動は、合同変換だが、線型変換ではないから。
	# 線型変換は、原点を移動しないが、平行移動は、移動してしまう
	## 回転は、線型な合同変換

	T_o : 原点 O を O 自身に移す合同変換とする。

	一直線上に三点 P,Q,R があるとき
		|PQ|+|QR|=|PR|
	となる。この時、T_o によって変換された結果 P', Q', R' でも
		|P'Q'|+|Q'R'|=|P'R'|
	となる。
	すなわち、
		 P', Q', R' は一直線上にある
			=> T_o は、直線を直線に移す

	# ここまでが準備、以下、線型性を示す。

	x \in V^3, c \in R に対して
		OP = x, OQ = cx
	となる、P,Q を取る。
	すると、T_o は、原点を原点、直線を直線に移すので、
		OP'=cOQ'
	となる。
	即ち
		T_o(cx) = cT_o(x)	# 定数倍が外に出る
	となる。

	x, y \in V^3 に対して、
		x = OP, y = OQ, x+y = OR
	とすれば、
		OP=OP', OQ'=OQ, PQ=P'Q'
	より、
		三角形 OPQ は OP'Q' と合同
	同様にして、
		平行四辺形 OPRQ は OP'R'Q' と合同
	これから、
		OR' = OP' + OQ'
	がいえる。
	すなわち、
		T_o(x+y) = T_o(x) + T_o(y)	# 和が外に出る
	となる。

	この二つより、T_o は、線型変換。また、T_o は、長さをかえないので、
		\exist A : 三次正方行列 s.t.
			T_o(x) = T_A(x) = Ax
		で、しかも、A は直交行列になっている。

	# ここまでで、原点を移動しない変換が解ったので、今度は、原点を移動する変換

	T_1 : 平行移動とし、
		T_1 : O -> O'
	とする。
	この時
		OO' = a
	とすれば、
		T_1(x) = x + a
	と表現できる。

	T:一般の合同変換 とすると
		T : O -> O'
	となる。
	そこで、
		OO' = a
	とおき、
		T_1(x) = x + a
	と考えれば、
		T_1^{-1}(x) = x - a
	となる。

	今、
		T_o = T_1^{-1} T
	とおくと
		T_o : O -> O
	となる。

	これは、原点を変えない合同変換なので、
		\exist A : 三次直交行列 s.t
			T_o(x) = Ax
		T = T_1 T_o
	となるので、
		T(x) = Ax + a
	となる。

	# このままだと、線型変換にならないので、これまでの議論が使えない
	#	仮想的に、線型の形に変形して扱う方法がある

	x, A に対して、

		\~x =  (x) \in R^4
			1

		\~A = ( A a )
			0 1

	とおくと

		\~A\~x = ( Ax + a ) = ( T(x) )
			     1		1

	となる ( つまり、行列の掛け算の形になった.. )

	この \~x を「非斉次位置ベクトル」と呼ぶ。

[Th. 7.1]
	逆のこの形の変換は全て、合同変換
	prof)
		T(x) = Ax+a = T_1 T_o (x)

T^{-1} : T の逆変換も合同変換で

	\~A^{-1} = ( A^{-1}  -A{-1}a )
		      0         1
となる。
	proof)
			T = T_1 T_o
		より
			T^{-1} = T_o^{-1} T_1^{-1}
		よって、
			T^{-1}(x) = A^{-1} ( x - a )
				  = A^{-1}x - A^{-1}a
		これから、上の式が成立

		逆に、上記で定義された \~A^{-1} が \~A の逆行列かどう
		かは掛けてみれば解る

[Th]
	T , S が合同変換 => T S も合同変換
	# T も S も長さを変えないので、合成しても長さをかえないのは明らかだが..
	proof)
		S T (x) = S(Ax+a)

	# 合同変換の全体も群になるが.. ( やるのは来年 )