2005/10/27 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

# 前回に引続き text p.77 の問題

問 1 の後半
	4 次の置換を、それぞれ互換の積で表し、符号を求める。
		# 黒板が間に合わなかったので.. => 自分でやる

問 2
	S_n の個数は n! であることに注意
	A_n : 偶置換全体の集合
	B_n : 偶置換全体の集合
	\tau : 互換
とすれば、
	L_{\tau} が全射であることは以前行った。
		\sigma \in A_n に対して、L_{\tau}(\sigma} \in B_n
		\sigma \in B_n に対して、L_{\tau}(\sigma} \in A_n
	なので、
		L_{\tau} は、A から B へ全単射
	よって、
		|A| = |B|
	よって、
		|A| = |B| = \frac{1}{2}{|S_n|} = \frac{n!}{2}


問 3
	n = 2m の時
		\sigma = (1 n)(2 n-1)..(m m+1)	
	よって、
		sgn(\sigma) = (-1)^m

	n = 2m+1 の時
		\sigma = (1 n)(2 n-1)..(m m+2)	
	よって、
		sgn(\sigma) = (-1)^m


# 置換は、行列式の所で使うので、行列式で使う部分だけ理解していればよい。
#	行列式に無関係な置換の性質は、2 年生以降でやるので、知らなくてよい。

==

§行列式

[定義] (n 次の多項式の行列式)
n^2 の変数 x_{ij} ( i,j = 1,..,n ) の多項式

\sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma x_{1\sigma{1}}x_{2\sigma{2}}..x_{n\sigma{n}}

を、「 n 次の行列式」と呼び、

	| x_11 x_12 .. x_1n |
	| x_21 x_22 .. x_2n |
	|	..	    |
	| x_n1 x_n2 .. x_nn |

で表す。

# これは、多項式の行列式だが、実際は ( 各々の変数 x_ij に、行列 A =
# {a_ij} の要素 a_ij を代入すれば.. ) 、行列の行列式と同じものなので、
# 以下は区別せずに考える。

[例]
	n = 1 の時

		|x_11| = \sum_{\sigma \in S_1} sgn\sigma x_{1\sigma{1}}

		S_1 は 1_1 しかないので、結局、動かさず、sig 1_1 = 1 なので

			= x_11

	n = 2 の時

		|x_11 x_12| =\sum_{\sigma \in S_2} sgn\sigma x_{1\sigma{1}}x_{2\sigma{2}}
		|x_21 x_22|

		ここで、

			S_2 = { ( 1 2 ), ( 1 2 ) }
				  1 2      2 1

		なので、

			= x_11 x_22 - x_12 x_21

		となる。
		
	n = 3 の時
		サラスの公式


	n = 4 以上の場合は、簡単ではない ( 襷掛けは使えない !! )

定義 ( 行列の行列式 )
	A = (a_ij) : n 次正方行列に対して、

\sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma a_{1\sigma{1}}a_{2\sigma{2}}..a_{n\sigma{n}}

を 「A の行列式」と呼び、

	| a_11 a_12 .. a_1n |
	| a_21 a_22 .. a_2n |
	|	..	    |
	| a_n1 a_n2 .. a_nn |

や、|A|, det A などと表す。

また、
	A = (a_1,..,a_n)
の時
	det ( a_1, .., a_n ) 
も A の行列式である。

[例]
	対角成分以外の成分が、全て 0 であるような行列の行列式の値は、
	対角成分の積になる。

	すなわち、

		|a_11    0 ..   0|
		|  0  a_22 ..   0|  = a_11 a_22 .. a_nn
		|	..	 |
		|  0   ....  a_nn|

	である。
	更に、これから、

		|E| = 1, |O| = 0

	がいえる。

	proof)
		A = (a_ij)
			a_ij = 0	(i\ne j)
			     = a_ii	(i = j)
		とする。
		i \ne \sigma(i) の時
			a_{i\sigma(i)} = 0
		よって、行列式の加える項目内、i \ne \sigma(i) であるような
		項目は 0 になるので考えなくてもよい。
		逆に、考えなければならないのは、
			i = \sigma(i)
		の場合で、これは、\sigma = 1_n の場合で、一通り
		よって、

			|A| = a_11 a_22 .. a_nn


[例]
	行列 A の一つ行 (あるは列) が 0 なら、 |A| = 0
	prof)
		第 i 行が 0 であるとする。
			a_ij = 0 ( \all j )
		よって、
			|A| = \sum sig\sigma ... a_i\sigma(i) ...
				   			||
							0
			    = 0

		同様に、j 列が 0 であれば、何処の a_i\sigma(i) で\sigma(i) = j
		となるので、どこかの項目が 0 になり、全体として 0

[例]
	|cA| = c^n|A|

	prof)
		cA = B = (b_ij)=(c a_ij)

		|cA| = |B| = \sum sgn\sigma b1\sigma(1) .. 
			   = \sum sgn\sigma c a1\sigma(1) .. 
			   = c^n \sum sgn\sigma a1\sigma(1) .. 
			   = c^n |A|

[定理 2.1]
	|{}^tA| = |A|

	prof)
		A = (a_ij)
		|A| =  \sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma a1\sigma(1) .. 

	ここで、[定理 1.2] より、\sigma が S_n を動く時、\sigma も S_n 全体を動くので、
		    = \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn\sigma a1\sigma(1) .. 

	ここで、

		\sigma = (        1         2  ..        n )
			   \sigma(1) \sigma(2) .. \sigma(n)

	の時

		\sigma^{-1} =(             1              2  ..             n )
			       \sigma^{-1}(1) \sigma^{-1}(2) .. \sigma^{-1}(n)

 			    = ( \sigma(1) \sigma(2) .. \sigma(n)
			          1         2  ..             n )

		sgn \sigma^{-1} = sgn \sigma

	であることに注意すると、

	    = \sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma a\sigma(1)1 .. 

	となるが、これは、|{}^tA| に等しい。


[定理 2.2] (列に関する、 n 重線型性)

	イ) det ( a_1, .., a_j' + a_j'', .. a_n ) =
		det ( a_1, .., a_j', .. a_n ) +
		det ( a_1, .., a_j'', .. a_n )

	ロ) det ( a_1, .., c a_j, .. a_n ) =
		c det ( a_1, .., a_j', .. a_n )

	proof)
		A = ( a_1, .., a_j' + a_j'', .. a_n )
	とすれば、	
		|A| = |{}^tA|
		    =	\sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma a\sigma(1)1 .. (a_j\sigma{j}+a_j\sigma{j}')...a_n\sigma{n}
		    =
			\sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma a\sigma(1)1 .. a_j\sigma{j}'...a_n\sigma{n}
			\sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma a\sigma(1)1 .. a_j\sigma{j}''...a_n\sigma{n}
			= det ( a_1, .., a_j', .. a_n ) +
				det ( a_1, .., a_j'', .. a_n )


	# ロ) も同様

[定理 2.3]
	\tau \in S_n に対して
		det ( a_\tau(1), .. a_\tau(n) )
			=
		sgn \tau det ( a_1, .. a_n )

	proof)
		det ( a_\tau(1), .. a_\tau(n) )
		= | a_1\tau(1) .. a1\tau(\sigma(1)) ... |
		  |					|

		= \sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma a\sigma(1)\tau\sigma1 .. a_j\tau\sigma{j}...a_n\tau\sigma{n}

	ここで、
		sgn\tau\sigma = sgn\tau sgn\sigma
		(sgn\tau)^2 = 1
	であり、
		\sigma が S_n 全体を動けば \tau\sigma が S_n 全体を動く
	ことから、
		= sgn\tau |A|


# 二つの行を交換するという基本変形は、置換を一度行っていることになるので、行列式の符号を変更していることに繋がる !!

[系 2.4]
	A の二つの列 ( または行 )が一致すれば、|A| = 0
	proof)
		a_i = a_j とする。
			|A| = |(i,j)A| = sig(i,j) |A| = -|A|
		なので、
			|A| = 0

[定理 2.5] ( 基本変形による行列式の変化 )
	A のある行(又は列) を他のある行 (列) に定数倍して加えて得られる行列
	の行列式は元の行列の行列式に等しい。

	proof)
		det( a_1, .., a_i, .., a_j + c a_j, ..., , a_n )
	=
		det( a_1, .., a_i, .., a_j, ..., , a_n )
		+ c det( a_1, .., a_j, .., a_j, ..., , a_n )
	=
		det( a_1, .., a_i, .., a_j, ..., , a_n )
		+ c 0
	=
		|A|

[まとめ]
	基本変形
		c 倍	=> c 倍
		交換 => -1
		定数倍を加える => 変らない