2005/11/10 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

前回やったこと

det(a_1,..,a_n) = \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma a_{1\sigma(1)}..a_{n\sigma(n)}

と、行列式を定義すると

	|{}^tA|=|A|
	|A| は n 重線型性を持つ
	|A| は交代性を持つ

定理 2.6
	F(x_1,..,x_n) がn 重線型性を持つ, 交代性を持てば、
		F(x_1,..,x_n) = F(e_1,..,e_n) det(x_1,..,x_n)
			# F(e_1,..,e_n) は定数であることに注意

	proof)
		任意の n 次元ベクトル x_j は、成分表示を行い、

				x_1j
			x_j = ( x_2j ) = \sum_{i=1}^n x_{ij}e_i
				..
				x_nj

		のように表現できる。

		これを F に代入し、多重線型性を利用すると、

		F(x_1,..,x_n) = F( \sum_{i_1=1}^n x_{ij}e_{i_1}, .., \sum_{i_n=1}^n x_{ij}e_{i_n})
			      = \sum{i_1=1}^n .. \sum{i_n=1}^n x_{i_1 1}..x{i_n n} F(e_{i_1},..,e_{i_n})

			ここで、i_1,..,i_n の中で同じものがある -> 0
				=> 交代性
			ここで、i_1,..,i_n が全て異る -> 1,..,n の並び変え
				すなわち、
					( 1   2   .. n   ) = \sigam \in S_n
					  i_1 i_2 .. i_n
			よって、
				= \sum_{\sigma \in S_n} x_{i_1 1}..x{i_n n} F(e_\sigma(1),..,e_\sigma(n))
				= \sum_{\sigma \in S_n} x_{i_1 1}..x{i_n n} \sig \sigma F(e_1,..,e_n)
			ここで、
				F(e_1,..,e_n) は定数なので前にだせば
				= F(e_1,..,e_n) \sum_{\sigma \in S_n} x_{i_1 1}..x{i_n n} \sig \sigma
				= F(e_1,..,e_n) det(x_1,..,x_n)

	# 多重線型性と、交代性は強い条件なので、殆ど満すものがない
	#	満すものは、せいぜい、行列式とそのスカラー倍だけ..

	## この性質は、後に利用する、

	## 多重線型性と交代性を利用する例

	例 4 ( バンデルモンドの行列式 )

	| 1     1     .. 1     |
	| x_1   x_2   .. x_n   | = F(x_1,..x_n) = Δ(x_1,..,x_n)
	| x_1^2 x_2^2 .. x_n^2 |
	|	..	       |
	| x_1^n x_2^2 .. x_n^n |

	# 帰納法でも証明できるが、ここでは、多重線型性と、交代性質から直接示す

	## この行列式は時々出てくる

	proof)
		F は x_i - x_j で割切れるので、Δで割切れる
		次数を比較すると共に同じ n(n-1)/n と同じなので、F はΔの定数倍
		特定な項に関係して係数を比較すると共に 1 なので F = Δ

定理 2.7
	二つの行列の積の行列式は、元の行列の行列式の積になっている
		|AB|=|A| |B|
	proof)
		|AX| = det( Ax_1, Ax_2, .., Ax_n )
		     = F(x_1,..,x_n)
		すると、F は n 重線型性と、交代性を持つ、実際

			F(x_1,..,x_i+x_i',..,x_n)
			= det( Ax_1,.., x_i+x_i', .., Ax_n )
			= det( Ax_1,.., x_i, .., Ax_n ) + det( Ax_1,.., x_i', .., Ax_n )
			= F(x_1,..,x_i,..,x_n) + F(x_1,..,x_i',..,x_n)

			F(x_1,..,c x_i,..,x_n)
			= det( Ax_1,.., c x_i, .., Ax_n )
			= c det( Ax_1,.., x_i, .., Ax_n )
			= c F(x_1,..,x_i,..,x_n)

			より、n 重線型性

			F(x_{\delta(1)},x_{\delta(2)},..,x_{\delta(n)})
			= det(A\delta(1)},Ax_{\delta(2)},..,Ax_{\delta(n)})
			= sgn(\sigma) det( Ax_1,.., x_i, .., Ax_n )
			= sgn(\sigma) F(x_1,.., x_i,..,x_n)

			より、交代

		よって、定理 2.6 より

			F(x_1,..,x_n)
			= F(e_1,..,e_n)det(x_1,..,x_n)
			= det(a_1,..,a_n)det(x_1,..,x_n)
			= |A||X|

	[別証明] (問)

		AX=B=(b_ij) とする
		|AX| = \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma b_{1\sigma(1)} .. b_{n\sigma(n)}
		     = \sum_{\sigma \in S_n}(\sum_{j_1=1}^n a_{1j_1}x_{j_1\sigma(n)) .. (\sum_{j_n=1}^n a_{1j_n}x_{j_n\sigma(n))
		     =\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_n=1}^n a_{1j_1}..a_{n j_n}) \sum_{\sigma \in S_n} sgn\sigma x_{1\sigma(1)}..x_{n\sigma(n)}

			これの後半は、det(x_1,..,x_n)

		この和で、j_1,..,j_n の中に同じものがあれば 0
		この和で、j_1,..,j_n が異れば、並べ替えなので、

			すなわち、
				( 1   2   .. n   ) = \tau \in S_n
				  j_1 j_2 .. j_n

		よって、
			= \sum{\tau \in S_n} a_{1\tau(1)}..a_{n\tau(n)}..sum_{\tau \in S_n} x_{\tau(1)}..x_{\tau(n)}
			= \sum{\tau \in S_n} a_{1\tau(1)}..a_{n\tau(n)}..sum_{\tau \in S_n} sgn\tau x_1}..x_n}
			= |A||X|

	# 定理 2.6 を利用しなくても、定義からも証明はできる。

	# ポイント : 沢山の和が出るが、交代性より、ほとんどが 0 になって、
	# 省略出来る所。これは、2.6 でも同じ。

	定理 2.8
		行列 |A| の対称区分けを考える
			A = ( A_11 | A_12 )
				O  | A_22
		又は
			A = ( A_11 | O )
			      A_21 | A_22
		の時
			|A| = |A_11| |A_22|

	proof) A_11 が n 次, A_22 が m 次とする。
		A_22 が E の場合を考える

		|A| = \sum_{\sigma\inS_n} a_{1\sigam(1)}+..+a_{n+m\sigam(n+m)}
			i > m + 1 では、sigma(1) = 1 でない時には 0 になる
				よって、
					\sigma = ( 1   2 .. m   m+1  m+n )
						   i_i      i_n m+1  m_n )
				すなわち、
		   = |A_11|	

		一般の場合
			X=(x_1,..,x_n) 
			F(x_1,..,x_n) = | A_11 O |
					| A_21 X |
			とすれば、n 重線型と交代性が成立するので
			F(a_1,..xn)=F(e_1,..,e_n)|X|
			ここで F(e_1,..,e_1) は上記より |A_11|
			よって、F(x_1,.x_n) = |A_11||X|

	# 定理 2.6 はえらく強力
	#	なので後半は簡単

	##  定理 2.6 が応用できる問題があるとよいのだが、定理 2.6 が強力すぎるので、その応用も難しいものが多く、数少い

	# 行列の計算の時に凄く便利(計算が楽になる)
	## § 3 をすると、機械的に計算する方法を学ぶが、この方法も是非、使える時にはつかって欲しい。

	系列 2.9

	イ)
		| a_11 a_12 .. a_1n |
		|  0   a_22 .. a_2n | = a_11 |a_22 .. a_2n |
		|  0        ..      |        |     ..      |
		|  0   a_n2 .. a_nn |	     |a_n2 .. a_nn |

		proof) 定理 2.8 より

	ロ) ( 上三角行列 )
		| a_11 a_12 .. a_1n |
		|  0   a_22 .. a_2n | = a_11 a_22 .. a_nn
		|  0   0    ..      |
		|  0   0    .. a_nn |

		proof) イ) の繰り返し

==

# 話題が少し変る

行列の階数と行列式

A(m,n) 型の行列

	A の任意に p 個の業と p 個の列を取り出して作った p 次正方行列を A の p 次症行列という
		=> {}_mC_p \times {}_nC_p 個あることに注意

定理 2.10
	(m,n) 型行列 A の階数は、A の 0 でない小行列式の最大次数に等しい
		# (1,1) の時は簡単

	# これの証明は来週行うことにして、今週は、次の系を先に示す。

系 2.11 A : n 次元正方行列の時
	A が正則 <-> |A| \ne 0

	proof)
		既に、
			A が正則 <-> rank A = n
		なる。
		ところが、定理 2.10 より
			rank A = n <-> |A| \ne 0
		なので、よって、
			A が正則 <-> |A| \ne 0

==

[12 月の話]

	第三章の内容

	メインは行列式の計算

	第二章の内容の最後も少し入るかも

# 名前と番号が重要 !!

	4 次元, 5 次元の具体的な数の問題が出る
	n 次元の問題 ( 未知数が入っている場合 )

	# 基本は、「次元を下げる」
	## 基本変形で 0 の項目を沢山ふやす
	##	行の交換は符号が変換	
	##	行の定数倍は、外にでる

12/8, 12/15 で計算問題もやる