2005/11/17 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

# 前回のやりのこしから..

定理 2.10
	rank(A) = r(A)
	A の 0 でない小行列式の最大次数を s(A)
		# s(A)=r(A) を示したい
	A を基本変形で標準形にすると F(r) になる。
		s(F(r)) を考えると、
			|E_r| = 1 なので、s(F(r)) >= r であることが解る
			逆に、r+1 個数の列を選ぶと、全ての列が 0 の列を選ぶ必要がある
				この場合、r+1 のサイズ小行列は 0 になる
			これにより、
				s(F(r))=r=r(F(r))
					# つまり、標準形では、s と r が一致する
					# r が標準変形で、影響を受けないので..
		よって、
			s(A) が基本変形によって、変化しないことを示せばよい。
				A を B に基本変形する
				A の 0 でない s(A) 次の小行列の一つをΔとする
				B の対応する小行列をΔ' とする。
			# 基本変形は、三種類あるが、どれでも変らないならば Okey
			# 個々に確かめる。

				(1) 2 つの行の入れ換え
					# 行列式の符号は変るが、0 かそうでないかには関係ないので、
					s(A)=r(A)
				(2) ある行に 0 でない数をかける
					Δ' = cΔ =\= 0
				よって、
					s(A)=r(A)
				(3) i 行に j 行目の c 倍を加える
					# i, j が Δにはいるかどうかで場合わけ
					a) i が共にΔにはいらなければ
						Δ'はΔと同じ
					b) i と j が共にΔに入る
						Δ' はΔ の i 行目が変化するが
							他の行の定数倍を加えても変化なし
					c) i は中だが、j は外の場合
						Δ_1 を i 行目を j 行目に置き換えたものとする。
							Δ_1' は ( この変形で影響をうけないので.. ) Δ_1 に等しい
							すると、
						Δ' = Δ+cΔ_1 より
						Δ' - cΔ_1' = Δ =\= 0
					よって、
						Δ' と Δ_1 のどちらか一方は =\= 0
					すなわち、
						s(B) >= s(A)
			基本変形は逆変形も可能なので、
				s(B)= s(A)

==

§3 行列式の展開

A: n 次正方行列
	第 i 行と第 j 列を取り除いた n-1 次の小行列式を A の第(i,j)行列式といい
		Δ_{i,j}
	で表す。
	さらに、符号(-1)^{i+j} を掛けたものを A の第(o,j) 余因子とよび、
		\~a_{i,j} 
	で表す。

定理 3.1 A=(a_{i.j}) : n 次元正方行列
		|A| = a_{1,j}\~a{1,j}+a_{2,j}\~a{2,j}+..+a_{n,j}\~a{n,j}
			( j = 1, n )
				第 j 列に関する展開

		|A| = a_{i,1}\~a{j,1}+a_{i,2}\~a{i,2}+..+a_{i,n}\~a{i,n}
			( i = 1, n )
				第 i 行に関する展開

	proof)
		j=1 の場合

		  a_11       a_11       0               0
		( a_21 ) = ( 0    ) + ( a_21 ) + .. + ( 0 )
		  a_31       0          0
		  ..         ..         ..
		  a_n1       0          0              a_n1

		とすると、多重線型性を用いれば ( 定理 2.2 より )

			a11 a12 .. a1n 	     0   a12 .. a1n           0   a12 .. a1n 
		|A| = | 0   a22 .. a2n | + | a12 a22 .. a2n | + .. +| 0   a22 .. a2n |
			..............	     ..............	     ..............
			0   an2 .. ann 	     0   an2 .. ann  	      an1 an2 .. ann 

		# 系 2.9 を使いたいので、行の交換を行う符号がかわり
			= a_11 Δ_11 - a_12 Δ_21 + . + (-1)^{n-1} a_1n Δ_1n
			= a_11\~a_11 + a_11\~a_11 + .. + a_1n\~a_1n

		一般の j の場合、
			j 列を先頭にもってくれば、
				|A| = (-1)^{j-1} | ... |
			あとは、j=1 の場合と同様に行う。


	# この展開の定理を用いれば、n 次の行列式を n - 1 次の行列式に変形できる。
	#	実際の計算では、最悪の場合は、これで行う。これが重要 !!

	## 来月のテストで出る !!

	[例]
		       3 -2  5  1
		Δ = | 1  3  2  5 |
		       2 -5 -1  4
		      -3  2  3  2

		# これを上の定理で展開すると、三次の行列式が 4 つでる
		# 4 つも計算するのは大変なので、できれば 0 の多い行で展開したい
		# 0 の多い行がなければ、作ればよい => 基本変形の R が使える !!

		       0 -11 -1 -14
		   = | 1  3   2   5 |	# R の基本変形を三回行った
		       0 -11 -5  -6
		       0  11  9  17


				    -11 -1 -14
		   = 1 (-1)^{2+1} | -11 -5  -6 |
				     11  9  17

			   -1 -1 -14
		   = -11 | -1 -5  -6 |	# Q の基本変形を行った
			    1  9  17

			   1  1  14
		   = -11 | 0  4  -8 |	# R の基本変形を 2 回行った
			   0  8   3

		   = -11 (1)(-1)^{1+1} | 4 -8 |
				         8  3
		   = -11 (76) = -836

	# できるだけ 0 をふやすが、全部 0 にする必要はない
	## 文字式の場合は、無理に 0 にしようとすると、場合分けが必要になるので大変
	## 複数の行列式がでてもきにしない

定理 3.2
	a_1j\~a_1l + a_2j\~a_2l + ... + a_nj\~a_nl = δ_jl |A|
	a_i1\~a_k1 + a_i2\~a_k2 + ... + a_in\~a_kn = δ_ik |A|

	proof)
		j=l の時は、定理 3.1 と同じ形なので
			左辺 = |A| = δ_jl |A|
		j=/= の時、左辺は、j 行目と l 行目が同じ行列の行列式なので 0
		即ち
			左辺 = 0 = δ_jl |A|
		いずれの場合も、成立する。


定義 (余因子行列)
	\~a_{j,i} を (i,j) 成分とする n 次行列を A の余因子行列と呼び \~A で表す
		# 「\~a_{j,i} が (i,j) 成分」と、i と j が交換していることに注意

	\~AA の (l,j) 成分を考えると
		# 行列の積の定義から
		\sum_{k=1}^n ( \~Aの (l,k) 成分 \times A の (k,j) 成分 )
			     = \sum_{k=1}^n \~a_kl a_kj
			     = δ_jl |A|
	同様に A\~A の (i,k) 成分も
			       δ_jk |A|
	即ち、
		A\~A = \~AA = |A| E_n

系[3,3]
系[3,4]
	A : n 次行列
		A が正則 <=> |A| \ne 0
		A が正則の時
			A^{-1} = \frac{1}{|A|}\~A

		# 逆行列をこの系で逆行列を計算してもよい
		## が、実際には計算が大変なので、やっぱり、基本変形

	proof)
		# 上の部分は、すでに証明したので、下だけ
		\frac{1}{|A|}\~A = E_n より A^{-1} = \frac{1}{|A|}


# 基本変形に関する注意

	基本変形を行う場合は、原則としてやじるしを使う必要がある
		# しかし、場合によっては、等号でもよい場合があるので注意

	Rank の計算
		rank A = rank B
	逆行列
		(A|E) → (E|B)
	行列式
		|A| = k |B|
			P の時 k は -1
			Q の時 k は 1/c
			R の時 k は 1

==

12/8, 12/15

12/8
	比較的前のほう
		2 章の終から3 章の§1 まで
			逆行列
			連立方程式
			置換

12/15
	行列式の展開を山程