2005/11/24 代数学幾何学及び演習 I (古津先生)

クラーメルの公式
	連立方程式を
		Ax=b
	とするとき
		x=A^{-1}b
		 =\frac{1}{|A|}\~Ab

		A の j 列目を b に入れ替えたものを Aj とすれば、
			x_j = \frac{|Aj|}{|A|}
		となる

		# これは、連立方程式を解く公式だが、実際の計算には使わない
		## 既に、学んだ、掃き出し法の方が速い。

		文字を含んだ式の公式を作る場合などに利用できる

		[例] a,b,c が互いに異る場合
			 x + y + z = 1
			ax + by + cz = d
			a^2x + b^2y + c^2z = d^2
		の時
			      1    1   1
			A = ( a    b   c )
			      a^2  b^2 c^2

		これは、バンデルモンドの行列式なので

			|A| = (a-b)(b-c)(c-a) \ne 0

		|A| が 0 でないので、A は正則となり、クラーメルが使える

			      1    1   1
			A1= ( d    b   c )
			      d^2  b^2 c^2
		となり、

			|A1| = (d-b)(b-c)(c-d)


		よって、
			x = \frac{|A1|}{|A|}
			  = \frac{(d-b)(b-c)(c-d)}{(a-b)(b-c)(c-a)}
		y, z も同様

==

以上で、後期の内容は終り。
以下は、章末問題を行う。

[章末問題]

問 1 イ)
			 x   -1   0   0 .. 0
	|A_{n+1}| = |    0   x   -1   0 .. 0  |
		         0   0    x   0 .. 0
			......................
			 0   0    0   x   -1
			 an an-1      a1  a0

		  = (-1)x|A_n| + (-1)^{n+1}an |Bn|

		ここで Bn は、下三角行列で、対角要素が、全て -1 なので、
			|Bn| = (-1)^n
		よって

		  = x|An| + an

		# つまり、漸化式ができた。
		## 後は、一般形を考えて、帰納法で証明する。


		|A0| = a0
		|A1| = | x -1 | = a0x+a1
			a1 a0
			..

		よって、
			|An| = a0x^n + a1x^{n-1}+ .. + a_n
		と予想できる。

		後は、帰納法


	# サイズの大きな ( n に関係するような.. ) 行列式の一般形の計算は、
	# 一つ次数を落し、漸化式を作って、帰納法を適用するのが原則

問 1 ロ)

	  x  a1 a2 .. an
	| a1 x  a2 .. an |
	  a1 a2 x  .. an
	  ............
	  a1 a2    an x

	# これは、 x を順番に入れ替えているだけなので、各々の行の要素の和は等しい
	# 各々の列の和の値が等しい場合
	#	その場合は、「全部の列の和を求める」のが定石

	## そこで、一列目に他の列を加える
	### この基本操作は、行列式の値を変えないことに注意

	  x + a1 + .. + an   a1 a2 .. an
	| x + a1 + .. + an    x a2 .. an |
	  x + a1 + .. + an   a1  x .. an
	  ............
	  x + a1 + .. + an   a2        x

	すると一列目は、同じなので、基本変形で同じ要素を括りだす


			     1  a1 a2 .. an
	(x + a1 + .. + an) | 1   x a2 .. an |
				  ..........
			     1   a2       x

	# ここで、実際は、x + a1 + .. + an が 0 だと基本行列は使えない
	# のだが、その場合は、何れにせよ、 0 になるので、上の式は、0 でない場
	# 合も 0 の場合も成立するので、場合分けが不要

	ここで、 j 列に第 1 列の -a_{j-1} 倍を加えると、次のようになる。


			     1   0          0 .. 0
	(x + a1 + .. + an) | 1   x -a1      0 .. 0 |
			     1   a2-a1 x-a2 0 .. 0
 				  ..........
			     1   a2-a1  a3-a2 x-an

	後半は、下三角行列なので、

		(x + a1 + .. + an)(x-a1)(x-a2)..(x-an)

	となる。

	# x に a_1 を代入すると |A| が 0 になるので、|A| が (x-a_1) で割切れるとやってゆく方法もある。

ハ)

	1+x^2   x    0     0 0 .. 0
|Cn| =|  x    1+x^2  x     0 0 .. 0 |
	 0      x   1+x^2  x 0 .. 0
	...........................
	 0      0    0     0 x  1+x^2	


	# 二つ位ならば、そのまま展開した方がよい
	#	特に文字列の場合は、その文字の値が 0 になるかどうかによって場合わけ必要になるので、大変

	= (-1)^2 (1+x^2)|C_{n-1}| + (-1)^3x | x 0     0 .. 0  |
					    | x 1_x^2 x .. 0  |
					    | ............... |
					    | 0 0     0  1+x^2|
	= (1+x^2)|C_{n-1}| - x(-1)^2x|C_{n-2}|
	= (1+x^2)|C_{n-1}| - x^2|C_{n-2}|

	# 漸化式が出たので、漸化式をといてもよいし、帰納法でもよい。

	帰納法でやるには、一般形を予測する必要がある

		|C1| = 1+x^2
		|C2| = 1+x^2+x^4
		|C3| = 1+x^2+x^4+x^6

	よって、

		|Cn| = 1 + x^2 + .. + x^{2n}

	後は、帰納法

	## |C_n| = (1+x^2)|C_{n-1}| - x^2|C_{n-2}|
	## より
	## |C_n| - |C_{n-1}| = x^2 ( |C_{n-1}| - |C_{n-2}| )
	## よって、
	##	|C_n| - |C_{n-1}| = x^{2n-4}( |C_2| - |C_1| )
	##			  = x^{2n}
	## よって、
	##	|C_n| = 1 + ..


ニ)
	 0  a^2 b^2 1
	a^2  0  c^2 1
	b^2 c^2  0  1
	 1   1   1  0

	= (c-a-b)(c+a+b)(c-a+b)(c-b+a)
	= -(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

問 2 イ)
	# 4 次の交代行列の一般形

	|  0  a  b  c | = (af-be+cd)^2
	  -a  0  d  e
	  -b -d  0  f
	  -c -e -f  0

	proof) 実際に展開して両辺を比べる

問 2 ロ)
	A : n 次元の交代行列 n : 奇数
		|A| = 0

	proof)
		定義より
			{}^tA = -A
		よって、
			|{}^tA| = |-A|
		ここで、
			|{}^tA| = |A|
			|-A| = (-1)^n|A|
		より、(n が奇数なので..)
			|A| = -|A|
		これより、
			|A| = 0

	# n が偶数の時には、|A| が何かの平方数になることが解る。
	## これは、3 年生になってもやらないかも ..

問 3 イ)
	A, B : n 次元
		| A B | = |A+B| |A-B|
		  B A
	を示せ。

	proof)
		基本操作より
		# 第 i 行目に第 i+n 行目を加える

		| A+B B+A |
		    B   A

		基本操作より
		# 第 j 列目を第 j+n 列目から引く

		| A+B     0 |
		    B   A-B

		= |A+B| |A-B|

問 3 ロ)
	
	A, B : n 次元
		| A -B | = | |A+iB| |^2 ( = | det(A+iB) |^2 )
		  B  A
	を示せ。

	proof)
		基本操作より
		# 第 k 行目に第 k+n 行目の i 倍を加える

		| A+iB  -B+iA |
		   B      A

		基本操作より
		# 第 n+j 列目に第 j 列目の -i 倍を加える


		| A+iB    0 |
		   B    A-iB

		= |A+iB||A-iB|
		= |A+iB| \bar{|A+iB|}	(where A,B は実要素)
		= | |A+iB| |^2

		# 元々、実要素の行列式なので、結果は実数になるに決っている。

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来週は、この続き

その次は、試験 ( 試験がおわったら今年は終り )

来年は 1 月に、講議があるので、その時に残りの演習問題をする