代数幾何 I 古津先生 (2006/04/27)

複素平面上ので図形
	図形の性質は、その図形上の点に対応する複素数の性質で表現される。

	[例]
	|z| < 2
		原点から距離が 2 未満の円の内部 ( 等号がないので演習は含まれない )
	Re Z >= 1		
		直線 x = 1 で区切られた半平面の右側

	z = 3+2i に対応した点を考える
		x 軸に対称な点		\bar{z}	=3-2i
		y 軸に対称な点		-\bar{z}=-3+2i = \bar{-z}
		原点に対称な点		-z	=-3-2i
		90 度回転した点		iz	= 2-3i
		180 度回転した点		-z	= -3-2i
		270 度回転した点		-iz	= 2-3i

		何れの点も、|z| = \sqrt{13} になる ( 円周上の点 )
			iz と -z の間にある点も z で表現できるが、それは各自で..


極座標表示 ( 普通の平面 )
	(x,y) に対して、\r, \thita があり、
		x = r\cos{\thita}
		y = r\sin{\thita}
	との関係で、1 対 1 になる
		この (r,\thita) を (x,y) の極座標と呼ぶ
		\thita は、2\pi 加えると、元に戻るので、適当な範囲 ( 例 [0,2\pi], [-\pi,\pi] ) で、一つに決める。
	逆対応は、
		r = \sqrt{x^2+y^2}
		\thita = \arctan{x/y}
	となる。

極座標表示 ( 複素平面 / 複素数 )
	z = x + iy ( \in \C ) に対して、
		= r\cos{\thita}+ir\sin{\thita}
		= r(\cos{\thita}+i\sin{\thita})
	を、z の極形式と呼ぶ。

	この時、
		r = |z|
		\thita ( z の偏角と呼ぶ ) = arg z
			[注意] 偏角 は一意に決らない。\thita + 2n\pi も偏角 ( n \in Z )

	# 極形式はなぜ嬉しい => 掛け算が簡単になる。

	z_1 = r_1 ( \cos{\thita_1} + i \sin{\thita_1} )
	z_2 = r_2 ( \cos{\thita_2} + i \sin{\thita_2} )

	とすると、
		z_1z_2 = r_1r_2\{
			(\cos{\thita_1}\cos{\thita_2}-\sin{\thita_1}\sin{\thita_2}) +
			(\sin{\thita_1}\cos{\thita_2}-\sin{\thita_1}\sin{\thita_2}) \}
			= r_1r_2(\cos{\thita_1+\thita_2}+i\sin{\thita_1+\thita_2})

			つまり、
				|z_1z_2| = |z_1||z_2|
				arg(z_1z_2) =  arg(z_1)arg(z_2)

			# 大きさは掛け算、角度は足し算になる

		# これを繰り返し適用することができる。
		## 成分表示だと、延々と計算する必要がある

		特に、これから、
			z_1^n = r_1^n ( \cos{n\thita_1}+i\sin{n\thita_1} )
		であり、更に、r_1 = 1, \thita_1 = \thita とおくと
			( \cos{\thita}+i\sin{\thita} )^n = ( \cos{n\thita}+i\sin{n\thita} )
				これを、「ド・モアブルの式」と呼ぶ

	\bar{z_1} = \bar{r_1 ( \cos{\thita_1}+i\sin{\thita_1} )}
		  = r_1 ( \cos{\thita_1}-i\sin{\thita_1} )
		  = r_1 ( \cos{\-thita_1}+i\sin{-\thita_1} )
	よって、
		|\bar{z_1}| = |z_1|
		arg(\bar{z_1}) = - arg(z_1)

	\frac{z_1}{z_2}
		= \frac{r_1 ( \cos{\thita_1}+i\sin{\thita_1} )}{r_2 ( \cos{\thita_2}+i\sin{\thita_2} )}
		= ... (略)
			# 大きさは商, 角度は差になる

	[例] ( 極形式への変換の例 )
		# 極形式は便利だけど、それには極形式に変換する

		z = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}

		の時、
			|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}
			[注意] \sqrt の中には、「実数」のみ、(\frac{1}{2})^2 を(\frac{「i」}{2})^2 と間違える人がいるが注意 !!

			\cos{\thita} = \frac{\sqrt{3}}{2}
			\sin{\thita} = \frac{1}{2}
				より、\thita = \frac{\pi}{6}
		なので、

			z = \cos{\frac{\pi}{6}} + i \sin{\frac{\pi}{6}}

		z = 2-2i

			|z| = \sqrt{2^2+(-2)^2} = 2\sqrt{2}

			\cos{\thita} = \frac{Re{z}}{|z|}
			\sin{\thita} = \frac{Im{z}}{|z|}

			# 略

	# 極形式を利用すると n 乗根が簡単に求めることができる。
		# 実数の n 乗根は既に、学んでいる
		#	=> 複素数の n 乗根を学ぶ

	複素数の n 乗根
		n \in \N, \alpha, \beta \in \C
	に対して
		\alpha = \beta^n
	の時、
		\beta を \alpha の n 乗根
	と呼び、
		\beta = \alpha^{\frac{1}{n}}
	で表す。

		# この表現は、実数の時と同じ形であることに注意


		\alpha = r ( \cos{\thita}+i\sin{\thita} )
		\beta = r_1 ( \cos{\thita_1}+i\sin{\thita_1} )

		とすると、

		# ド・モルガンの定理より
		\beta^n = r_1^n ( \cos{n\thita_1}+i\sin{n\thita_1} )

		なので、
			r_1^n = r
			n\thita_1 = \thita + 2k\pi ( k \in \Z )
		これより、
			r_1 = {}^n\sqrt{r} = r^{\frac{1}{n}}
			\thita_1 =\frac{\thita}{n} + \frac{2k\pi}{n} ( k = 0, .., n - 1 )
				# k = n の時には、結局、2\pi を加えることになるので、k = 0 の時と同じ
				# n 乗根は、k が違えば、異るの、n 個 ( 0, .., n-1 ) あることが解る。


	例 (1+i)^{\frac{1}{3}}

		1+i = \sqrt{2}(\cos{\pi}{4}+i\sin{\pi}{4})

	なので、
		(1+i)^{\frac{1}{3}}
			= 2^\frac{1}{6}(\cos{\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}})	( k = 0, 1, 2 )

			# 結局角度は、\frac{1}{12}\pi, \frac{3}{4}\pi, \frac{17}{4}\pi の三つ

		# これらの根は、図示すると、円周上の三等分点になっている。

	# 今後は、根号の中に複素数が入っていても外れるはず !!
	## その為には極形式に変換し、arg を求めることができないと駄目

[オイラーの公式]

	e^{i\thita} = \cos{\thita}+i\sin{\thita}

	# これが、本当に、きちんとした関数になっていることを示す必要があるが、
	# 現時点では、それを示すために十分な知識がないので、ここでは、天下り的に与える

	この公式を利用すると、複素数の極形式は次のように簡単にかける

	z = r(\cos{\thita}+i\sin{\thita}) = r e^{i\thita}

		# [メリット] \thita を二度かかずに済む
		#	積の計算をするときに、指数法則の形になるので覚えやすい


	|e^{i\thita}| = 1
	e^{i\thita_1}e^{i\thita_2} = e^{i(\thita_1+\thita_2)}
	(e^{i\thita_1})^{-1} = e^{-i\thita} = \cos{\thita}-i\sin{\thita}
	(e^{i\thita})^n = e^{i n\thita}

	この\thita に n\pi を代入すると、

		e^{n\pi i} = (-1)^n
		e^{(n\pi + \frac{\pi}{2}) i} = (-1)^n i

	となる。

		\cos{\thita} = \frac{e^{i\thita}+e^{-i\thita}}{2}
		\sin{\thita} = \frac{e^{i\thita}-e^{-i\thita}}{2i}


	[例] ( ド・モアブルの定理の応用 )
		(\cos{\thita}+i\cos{\thita})^2 = \cos{2\thita}+i\cos{2\thita}

		左辺は、普通に展開を行うと

			\cos^2{\thtia}-\sin^2{\thita} + i 2\sin{\thita}\cos{\thita}

		複素数が等しいということは、実部同士、虚部同士がそれぞれ等しいということ。なので、..両辺を比較し..

		\cos{2\thita} = \cos^2{\thita} - \sin^2{\thita}
		\sin{2\thita} = 2\sin{\thita}\cos{\thita}

		これは、「倍角の公式」になっている。

		同様に、「三倍角の公式」も導くことができる。


		# n 乗根はもう大丈夫なはず...

		z = -2i の平方根が欲しい
			まず、極形式にする
				|z| = 2
					\cos{\thita}=0
					\sin{\thita}=-1
				より、
					\thita = \frac{3}{2}\pi
			よって、
				z = 2 ( \cos{\frac{3}{2}\pi}+i\sin{\frac{3}{2}\pi} )
				  = 2e^{i\frac{3}{2}\pi}
		これから、
			z^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}}e^{(\frac{3}{4}+k\pi)i}
		となる。
			k = 0 の時
				-1 + i
			k = 1 の時
				1 - i
		よって、
			(-2i)^{\frac{1}{2}} = \pm (1-i)

			# 2 乗根は、円周を二つに分ける => \pm で表現できるはず

			# 残りは、3 年生の「複素間数論」で学ぶ..

	# 今日やったことは、代機 I / 代機 II で使うので、覚えておく !!