二項定理
	(x+y)^n = \sum_{k=0}^n _nC_k x^{n-k}y^k

二項定理の応用
	定理
		x=y=1 とすれば
		2^n = \sum_{k=0}^n _nC_k 
	定理
		x=1 y=-1 とすれば
		0 = \sum_{k=0}^n (-1)^k_nC_k 
			# 偶数項と奇数項の数の和は等しい

==

	f(x), g(x) \in K[x] に対して
		\exist q(x) \in K[x] s.t. f(x)=g(x)q(x)
	の時
		f(x) は g(x) で割切れる ( g(x) の倍数 )
	と呼ぶ

	また、
		g(x) は、f(x) を割切る ( f(x) の約数, f(x) の因数 )
	と呼ぶ
		# この用語は、自然数の時と同じ

	f(x) の約数が、
		自分自身の定数倍
		0 次多項式	# 0 次多項式は、0 でない定数であることに注意
	だけしかない時
		f(x) は既約である
	という。
		# これは、自然数における、素数に対応する。

		[例]
			x^2+1
				R[x] では既約
				C[x] では既約でない
					x^2+1 = (x+i)(x-i)
			# どこで考えているかによって、答が違うことに注意

	定理
		f(x) が g(x) で割切れ、
		g(x) が h(x) で割切れる
			=> f(x) は h(x) で割切れる
	定理
		f(x), g(x) が共に h(x) で割切れる
			=> \forall u(x),v(x) \in K[x] u(x)f(x)+v(x)g(x) は h(x) 割切れる

	定理 f(x), g(x) \in K[x], g(x) \ne 0 とすると
		\exist 1 q(x), r(x) \in K[x]
			s.t. f(x)=g(x)q(x)+r(x)
				かつ r(x)=0 又は、deg r(x) < deg g(x)
				# 後半の条件を付けないと唯一性が出てこない !!

		この時
			q(x) を整商	# 整数の商と余りに対応する
			r(x) を余り
		と呼ぶ。		

		# 証明は、教科書を参照

	# この定理から、直に次の定理が出てくる	

	定理(剰余定理)
		f(x) \in K[x], \alpha \in K に対して
			f(x) を x-\alpha で割った余りは f(\alpha)
		[証明]
			f(x)=(x-\alpha)q(x)+r(x)
			上記の定理より、r(x) は 0 か、次数が 0 ( つまり、何れも定数 )
			つまり、
				r(x)=r
			よって、
				f(\alpha)
					=	(x-\alpha)g(\alpha)+r(\alpha)
					=	0 * g(\alpha) + r
					=	r

	[定義](公約数)
		h(x) が f_1(x),..,f_n(x) のそれぞれを割切る時、
			h(x) は、f_1(x),..,f_n(x) の公約数
		公約数の中で、最も次数の高い公約数を最大公約数と呼ぶ

	[定義](公倍数)
		h(x) が f_1(x),..,f_n(x) のそれぞれで割切れる時、
			h(x) は、f_1(x),..,f_n(x) の公倍数
		公倍数の中で、最も次数の低い公倍数を最小公倍数と呼ぶ

		# 次数が同じだが、係数が異る多項式がある

	[定理]
		d(x) が f_1(x) .. f_m(x) の最大公約数
			=>
				\exsit u_1(x),..,u_m(x) \in K[x]
					s.t. f_1(x)u_1(x)+..+f_m(x)u_m(x) = d(x)
			# このような u_1,..,u_m の組は色々あるかもしれないが、少くても一つはあるということ !!

		[証明]
			A = { f_1(x)u_1(x)+..+f_m(x)u_m(x) | u_1,..,u_m \in K[x]}
				# このような形をしたものを全部集めてみる

			とする。この A の中で、次数の最低なものを \phai(x) とする
				# A には 0 も入るが、0 の場合は次数を考えないので、\pha(x) は 0 でない
			\phai(x) \in A なので、\phi(x) = \sum_{i=1}^m f_i(x)u_i(x) の形でかける。
			f_i(x)=\phai(x)q_i(x)+r_i(x)
				r_i(x)=0 または dig r_i(x) < dig \phai(x)
			ところが、
				r_i(x) = f_i(x)-\phi(x)q(x)
			なので、
				r_i(x) \in A
			ここで、\phi(x) は、最低次数をとったので、
				dig r_i(x) < dig \phai(x)
			とはならない。即ち
				r_i(x) = 0
			よって、
				\phi(x) は、f_i(x) を割切る
			これは、任意の i について成立するので、\phi(x) は f_i の公約数
			d(x) は最大公約数なので
				dig \phi(x) \ge dig d(x)
			一方、
				\phi(x) = \sum_{i=1}^m f_i(x)u_i(x)
			なので、
				\phi(x) は、d(x) の倍数
			即ち
				\phi(x) = c(x)d(x)
			処が
				dig \phi(x) \ge dig d(x)
			だったので c(x) の次数は 0 となり
				c(x)=c
			つまり、
				\phi(x) = c d(x)
			よって、
				d(x) =  \sum_{i=1}^m f_i(x)\frac{1}{c}u_i(x)

	[系]
		f_1(x),..,f_m(x) の最大公約数は任意の公約数で割切れる
		最大公約数は定数倍を除いて一つ

		[証明]
		(前半)
			d(x) =  \sum_{i=1}^m f_i(x)\frac{1}{c}u_i(x)
		なので、
			右辺が、公約数で割切れるので、左辺も割切れる

		(後半)
			d'(x) が d(x) と異る多項式とする。
			すると、前半より、d(x) は、d'(x) の倍数
			処が、次数は同じなので、結局定数倍になる

==

ユークリッドの互除法
	f(x), g(x) \in K[x], deg f(x) \ge deg g(x), g(x) \ne 0

		f(x)        =   g(x)  q(x)+r_1(x)	deg q(x)   > deg r_1(x)
		g(x)        = r_1(x)q_1(x)+r_2(x)	deg r_1(x) > deg r_2(x)
		r_1(x)      = r_2(x)q_2(x)+r_3(x)	deg r_2(x) > deg r_3(x)
			..
		r_{k-2}(x) = r_{k-1}(x)q_{k-1}(x)+r_k(x)	deg r_{k-1}(x) > deg r_3(x)
		r_{k-1}(x) = r_k(x)q_k(x)+r_k(x)
			# この操作を割切れるまで繰り返す

	この操作は、必ず有限回数で終る !!
		これは、最初の次数が有限で、割る度に少くても 1 は減る
		次数は、0 より小くならないので、結局有限であることが解る

	この r_k(x) は、f(x), g(x) の最大公約数

		[証明]
			h(x) が f(x) と g(x) の約数ならば、r_i(x) 

	# 約数を求める場合、因数分解をすればできるのだが、因数分解は難しい。この方法は、割り算だけで、因数分解しなくても、約数を求めることができる点がおいしい

	[例]
		f(x)=x^5+2x^4+x-1
		g(x)=x^4+3x^3-3x+1

	# 来年「ソフトウェア概論」で使うので、覚えておくこと

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次回、代数の基本定理